借助逆向思維巧解高中數(shù)學(xué)難題

【摘 要】逆向思維又被稱為求異思維，借助逆向思維，教師可在總結(jié)既有的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的前提下，從相反的角度引導(dǎo)學(xué)生思考，從而獲得解題的新思路。在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題難度較大且較為抽象，教師可讓學(xué)生在逆向思維的引導(dǎo)下確定解題方向，從而更好地完成解題指導(dǎo)任務(wù)。

【關(guān)鍵詞】逆向思維;高中數(shù)學(xué);解題

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）22-0042-02

逆向思維是高中數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中常用的一種思維意識(shí)，借由對(duì)解題思路的顛覆，學(xué)生能夠選擇假設(shè)結(jié)果、合理推論、完全否定等多種方式進(jìn)行解題，依靠“從答案到問(wèn)題”的全新模式確定解題的基本方向。在逆向思維的推動(dòng)下，數(shù)學(xué)解題活動(dòng)無(wú)需被已知條件所限制，學(xué)生能夠根據(jù)解題的指導(dǎo)要求確定新的解題方法，從而提高解題效率。部分難題是數(shù)學(xué)教學(xué)指導(dǎo)活動(dòng)中的“攔路虎”，讓學(xué)生學(xué)會(huì)應(yīng)用逆向思維，才能在源頭上解決數(shù)學(xué)難題。

1? ?在概念理解環(huán)節(jié)應(yīng)用逆向思維，夯實(shí)基礎(chǔ)

從定義上來(lái)看，概念理解類(lèi)問(wèn)題似乎與難題并不搭邊，但對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，部分概念理解類(lèi)問(wèn)題將多個(gè)概念融合起來(lái)，要求學(xué)生對(duì)概念、定理與數(shù)學(xué)關(guān)系進(jìn)行判斷，學(xué)生往往容易混淆。引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維從相反的角度思考數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠有效提升學(xué)生的概念辨識(shí)能力，加快學(xué)生吸收數(shù)學(xué)知識(shí)的速度。部分教師在數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中要求學(xué)生死記硬背，并不重視逆向思維的應(yīng)用[1]。但對(duì)復(fù)雜的概念理解問(wèn)題來(lái)說(shuō)，合理應(yīng)用逆向思維來(lái)講解，能夠幫助學(xué)生更為迅速地找到解題突破口，提高解題速度。

以“集合”的教學(xué)為例，學(xué)生會(huì)遇到這樣一道題：現(xiàn)有一個(gè)全集U={2，3，a2+2a?3}，其中集合A={|a+1|，2}，CUA={5}，那么a取值為多少？對(duì)此，教師可引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合集合的有關(guān)概念應(yīng)用逆向思維來(lái)思考該問(wèn)題。當(dāng)CUA的值已知，可通過(guò)反推得出集合A，隨后根據(jù)全集U確定a的取值，保障a2+2a?3等于5。在解答這一問(wèn)題的過(guò)程中，必須強(qiáng)調(diào)集合中取值的大小關(guān)系，借助集合的概念完成解題任務(wù)。在部分情況下，該題以選擇題的形式出現(xiàn)，這種命題模式下，逆向思維的應(yīng)用更為有效，可將答案代入到各集合當(dāng)中，確保其符合集合的取值范圍即可。讓學(xué)生配合相關(guān)概念理解數(shù)學(xué)知識(shí)，以概念為核心應(yīng)用逆向思維，能夠更為迅速地解決概念理解類(lèi)問(wèn)題。

2? ?在數(shù)學(xué)解題環(huán)節(jié)應(yīng)用逆向思維，開(kāi)發(fā)思維

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題活動(dòng)以計(jì)算、歸納和總結(jié)為核心，強(qiáng)調(diào)學(xué)生數(shù)學(xué)思維在整個(gè)解題活動(dòng)中的表現(xiàn)。在引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用逆向思維解題的過(guò)程中，教師必須歸納題目的類(lèi)型、考查方向與解題要求，嘗試?yán)媚嫦蛩季S幫助學(xué)生“走直線”，讓學(xué)生在逆向思維的引導(dǎo)下主動(dòng)理解數(shù)學(xué)解題要求，感受逆向思維便捷、高效的特點(diǎn)，從而形成主動(dòng)應(yīng)用逆向思維解題的良好習(xí)慣。部分學(xué)生對(duì)逆向思維的理解停留在“反向解題”的層次，認(rèn)為逆向思維只是一種從新角度、利用新方法解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的手段[2]。但實(shí)際上，逆向思維能夠?qū)⒖此茮](méi)有關(guān)系的事物串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)建教學(xué)指導(dǎo)新思路，能夠更好地開(kāi)發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。以人教版高中數(shù)學(xué)教材中的空間幾何問(wèn)題為例，在這一部分的教學(xué)中，幾何問(wèn)題已經(jīng)脫離了體積、面積的限制，開(kāi)始強(qiáng)調(diào)空間內(nèi)點(diǎn)和直線的位置關(guān)系。

以下列問(wèn)題為例：四面體ABCD被平面a所截，對(duì)棱AB、CD與a平行且等距，如果a截得截面四邊形的面積為S，對(duì)棱AB、CD距離為h，求四面體的體積。在嘗試解題的過(guò)程中，學(xué)生的思維容易被四面體的形狀所限制，局限于空間幾何的結(jié)構(gòu)，導(dǎo)致解題出現(xiàn)錯(cuò)誤。教師可引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維對(duì)四面體進(jìn)行加工：根據(jù)數(shù)學(xué)定理“等底等高的兩個(gè)四面體的體積相等”，可暫時(shí)忽略四面體的形狀，在添加幾個(gè)等體積的四面體之后，將其組成一個(gè)平行六面體進(jìn)行計(jì)算。根據(jù)ABCD四條棱和相關(guān)平面的平行關(guān)系，六個(gè)平面相交之后得到平行六面體，減去組成六面體的四面體的體積，即可得出答案。在利用逆向思維解答數(shù)學(xué)難題的過(guò)程中，學(xué)生必須大膽嘗試，才能找到解題新思路。

3? ?在數(shù)學(xué)拔高環(huán)節(jié)應(yīng)用逆向思維，調(diào)整方向

部分?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題的難度較大，能夠被歸入拔高題的行列。該類(lèi)問(wèn)題在顯性的解題要求之下，一般包含著隱性的解題條件，導(dǎo)致解題流程與解題方法向著復(fù)雜的方向發(fā)展。教師可借助逆向思維幫助學(xué)生突破拔高題，在幫助學(xué)生掌握解題技巧的同時(shí)，更好地提升學(xué)生的解題信心，進(jìn)一步提高其解題能力。讓學(xué)生應(yīng)用逆向思維獨(dú)立解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，理解逆向思維的應(yīng)用優(yōu)勢(shì)，才能使其真正接受逆向思維[3]。以下列問(wèn)題的解答為例：已知x、y∈R+，求證。在求解計(jì)算的過(guò)程中，學(xué)生會(huì)嘗試結(jié)合方程、幾何的有關(guān)知識(shí)化簡(jiǎn)這一數(shù)學(xué)問(wèn)題，但實(shí)際上，這一問(wèn)題重在考查學(xué)生應(yīng)用三角函數(shù)知識(shí)的能力。對(duì)原式進(jìn)行變形處理之后，和都能夠轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，且?jiàn)A角的關(guān)系已知。對(duì)于該類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題，依靠數(shù)字思維進(jìn)行計(jì)算只會(huì)浪費(fèi)更多的時(shí)間，教師可引導(dǎo)學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，通過(guò)繪圖將題中的未知量轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，將數(shù)字求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段求解問(wèn)題，提高解題效率。數(shù)學(xué)問(wèn)題不應(yīng)該只有一種解答思路，學(xué)生只有學(xué)會(huì)反思、歸納，才能更好地應(yīng)用逆向思維打破限制，提升解題能力。

4? ?在測(cè)試檢驗(yàn)環(huán)節(jié)應(yīng)用逆向思維，激發(fā)靈感

測(cè)試是檢驗(yàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的重要手段，也是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)行開(kāi)發(fā)的有力工具。在測(cè)試中，以證明為核心的數(shù)學(xué)問(wèn)題并不少見(jiàn)，這類(lèi)問(wèn)題在強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)分析能力的同時(shí)，也能幫助學(xué)生查缺補(bǔ)漏。教師讓學(xué)生對(duì)逆向思維進(jìn)行合理應(yīng)用，在分析數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中掌握解答數(shù)學(xué)難題的一般技巧，能夠加快學(xué)生吸收數(shù)學(xué)知識(shí)的速度[4]。以高中數(shù)學(xué)解題活動(dòng)中的證明題為例，部分問(wèn)題的解題要求并不復(fù)雜，但解題的流程十分復(fù)雜，由于這類(lèi)問(wèn)題往往沒(méi)有給出具體的解題思路，學(xué)生很難作出準(zhǔn)確的解答。

以下列問(wèn)題為例：一個(gè)整數(shù)的平方可以被4整除，

求證這個(gè)數(shù)為偶數(shù)。如果只是重復(fù)列舉數(shù)字，則根本無(wú)法解答這一數(shù)學(xué)問(wèn)題。教師可引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維導(dǎo)入反證法，證明結(jié)論成立，將否定命題視為已知條件進(jìn)行解題：如果x不是偶數(shù)，則x的值可以用整數(shù)a來(lái)表示，x=2a+1，通過(guò)算式得出數(shù)學(xué)表達(dá)式x2=

（2a+1）2=4a2+4a+1，得出x2為奇數(shù)，假設(shè)不成立，故x為偶數(shù)。應(yīng)用逆向思維能夠從相反的角度解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，教師在引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維解題的過(guò)程中，也要對(duì)這一特點(diǎn)進(jìn)行應(yīng)用，從而使學(xué)生掌握解答數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般思路。

5? ?在課后總結(jié)環(huán)節(jié)應(yīng)用逆向思維，主動(dòng)反思

在長(zhǎng)期的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)積累了一定的數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，對(duì)逆向思維也有了一定的理解。教師要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)中多應(yīng)用逆向思維，并交流逆向思維的應(yīng)用方法，在他人的方法中汲取靈感，發(fā)展自己的思維能力。此外，教師還要讓學(xué)生在課后做好總結(jié)，主動(dòng)反思，這樣學(xué)生的逆向思維能力才能得到提升。

教師可引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展總結(jié)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生分享應(yīng)用逆向思維解題的經(jīng)驗(yàn)。以高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的組合問(wèn)題為例，教師可設(shè)計(jì)如下問(wèn)題：大街上有8盞燈，編號(hào)分別為1，2，3……8，如果要關(guān)閉三個(gè)路燈，但不關(guān)閉相鄰的兩個(gè)路燈或三個(gè)路燈，也不關(guān)閉兩端的路燈，有多少種關(guān)燈方式？在解題的過(guò)程中，一些學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力較差，他們會(huì)選擇做圖、匯總等方式解答這一數(shù)學(xué)問(wèn)題，這種解題方式耗時(shí)較長(zhǎng)、效率低、更容易出錯(cuò)。部分學(xué)生則應(yīng)用逆向思維解題：將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)椤霸?個(gè)亮著的路燈的空隙中插入三個(gè)關(guān)閉的路燈，有多少種組合方式”。這部分學(xué)生借由逆向思維提高了解題效率，其他學(xué)生也能在這種解題方法中獲得靈感，掌握數(shù)學(xué)解題的一般思路。

總之，合理應(yīng)用逆向思維能夠幫助學(xué)生找到新的數(shù)學(xué)解題思路，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率。教師應(yīng)該對(duì)逆向思維進(jìn)行合理應(yīng)用，將逆向思維引入到解題、分析、互動(dòng)等各環(huán)節(jié)，加快學(xué)生的解題速度，并合理應(yīng)用已知信息對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]田肅安.淺談如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力[J].考試周刊，2021（9）.

[2]謝翠琴.借助逆向思維? 巧解數(shù)學(xué)難題[J].高考，2020（36）.

[3]隆占平.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維能力的培養(yǎng)分析[J].學(xué)周刊，2020（31）.

[4]桂凱.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)探析[J].智力，2020（29）.

【作者簡(jiǎn)介】

唐杰（1983～），男，漢族，甘肅慶陽(yáng)人，本科，一級(jí)教師。研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。