Black-Scholes模型下美式期權(quán)定價的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法

宋海明, 侯 頔

(吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 長春 130012)

0 引 言

期權(quán)根據(jù)行權(quán)時限劃分, 可分為歐式期權(quán)和美式期權(quán). 歐式期權(quán)只能在到期日實施, 美式期權(quán)可在到期日前的任意一個交易日實施. 因此關(guān)于美式期權(quán)定價的研究備受關(guān)注. 本文考慮Black-Scholes模型下的美式看跌期權(quán)定價問題, 給出一種新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解算法. 經(jīng)典的Black-Scholes模型為

(1)

其中美式看跌期權(quán)價格P是依賴于時間t和標(biāo)定資產(chǎn)價格S的函數(shù),σ,q,r,T和K分別表示標(biāo)定資產(chǎn)的波動率、 紅利、 無風(fēng)險利率、 到期日和敲定價格,B(t)表示未知的最佳實施邊界,Z+=max{0,Z}.

美式期權(quán)定價模型(1)是一個自由邊界問題, 不存在顯式表達(dá)式, 因此關(guān)于其數(shù)值方法的研究備受關(guān)注, 目前已取得了許多成果[1-8], 其中最經(jīng)典的是由Cox等[1]提出的二叉樹法, 該方法思路簡單、 易實現(xiàn), 但收斂速度較慢, 且不易推廣到高維. Monte Carlo方法[2]因其不依賴維數(shù)的優(yōu)勢, 廣泛應(yīng)用于期權(quán)定價問題的求解中, 但該方法需要大量的采樣才能達(dá)到較高的精度, 在實際應(yīng)用中難以實現(xiàn).

傳統(tǒng)的數(shù)值方法通常是針對低維方程設(shè)計的, 當(dāng)維度增加時數(shù)值格式設(shè)計較困難, 且計算量呈指數(shù)增長, 會導(dǎo)致維度災(zāi)難.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為一種機(jī)器學(xué)習(xí)技術(shù), 易實施, 為高維問題的數(shù)值求解提供了可能.因此, 本文提出一種新的求解美式期權(quán)定價問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法, 并通過與經(jīng)典的二叉樹方法對比說明該算法的優(yōu)越性.

1 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)

圖1 深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of architecture of deep neural network

本文針對美式期權(quán)定價問題, 設(shè)計一種全連接深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法(full connected deep neural networks, DNN), 其基本思想是: 利用含有多個未知參數(shù)的多層非線性復(fù)合函數(shù), 逼近一個映射f:n→m.經(jīng)典的DNN包含一個輸入層、 一個輸出層和多個隱藏層, 輸入層和輸出層的神經(jīng)元個數(shù)由輸入和輸出值的維度確定.圖1為含兩個隱藏層的DNN結(jié)構(gòu), 其中“○”表示神經(jīng)元, 其將輸入向量進(jìn)行加權(quán)求和, 加上偏置項系數(shù)后, 再與一個非線性函數(shù)復(fù)合, 得到輸出值.特別地, 給定一個n維向量x作為輸入向量, 含有L層隱藏層的DNN可定義為

z(k+1)=σ(W(k)z(k)+b(k)),k=0,1,…,L-1,

(2)

y=W(L)z(L)+b(L),

(3)

其中z(0)=x為輸入值,W(k)∈dk+1×dk和b(k)∈dk+1分別為網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重和偏置項,dk為第k層的神經(jīng)元個數(shù),σ表示激活函數(shù).激活函數(shù)主要包括Sigmoid函數(shù)、 雙曲正弦函數(shù)和ReLU函數(shù)等.定義網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)后, 基于已知訓(xùn)練集, 可利用優(yōu)化方法得到未知參數(shù)θ={W(k),b(k)}.即根據(jù)數(shù)據(jù)集定義損失函數(shù)優(yōu)化問題為

(4)

通?？刹捎秒S機(jī)梯度下降法(SGD)和交替方向乘子法(ADMM)等對該優(yōu)化問題進(jìn)行求解.

針對期權(quán)定價模型(1), 本文將方程組殘差函數(shù)2-范數(shù)的平方和作為損失函數(shù), 通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解該優(yōu)化問題, 得到原方程的近似解.可以證明, 通過該方法求得的解是原方程的唯一解.

定理1若方程組(1)的解在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的逼近空間內(nèi), 且足夠光滑, 則利用損失優(yōu)化問題:

(5)

證明： 若P(S,t)是定價模型(1)的解, 且在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)逼近空間內(nèi), 則對應(yīng)的損失函數(shù)為

2 網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

(6)

其中vi(i=1,2,3,4,5)表示相應(yīng)離散節(jié)點的l2范數(shù).

由文獻(xiàn)[9]可知, 期權(quán)價格在(Kmin{r/q,1},T)處光滑性較差, 故本文利用幾何網(wǎng)格提高精度.對任意給定的區(qū)間[a,b], 約定其對應(yīng)n個節(jié)點的幾何剖分為

(7)

下面給出vi(i=1,2,3,4,5)對應(yīng)離散點列的取法：

2)v2.在v1搜索過程中, 對于每個固定的tn, 將其停止搜索時對應(yīng)的后續(xù)點列(Sk,tn)(k=m,m+1,…,M)依次加入v2中.

3)v3.固定Smin, 依次選取點(Smin,tn)(n=1,2,…,N).

4)v4.固定T, 依次選取點(Sm,T)(m=1,2,…,M).

5)v5.固定Smax, 依次選取點(Smax,tn)(n=1,2,…,N).

由于v1與v2對應(yīng)的點列會隨每次網(wǎng)絡(luò)參數(shù)的優(yōu)化更新而變化, 故每次更新網(wǎng)絡(luò)參數(shù)后需都重新選取點列.在對神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行訓(xùn)練時, 先選取N=20,M=40, 當(dāng)損失函數(shù)誤差足夠小時, 增大M,N為N=50,M=100重新選取訓(xùn)練點進(jìn)行加細(xì), 并再次進(jìn)行訓(xùn)練.

3 數(shù)值算例

下面對美式看跌期權(quán)定價問題(1)進(jìn)行數(shù)值模擬, 以驗證神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法的正確性.在方程(1)中, 令σ=0.2,T=1,K=10.r和q按下列3種情形取值:

1)r=0.005,q=0.01; 2)r=0.01,q=0.01; 3)r=0.05,q=0.01.

選取5層全連接神經(jīng)網(wǎng)絡(luò), 單層神經(jīng)元個數(shù)為50.激活函數(shù)選取Sigmoid函數(shù).網(wǎng)絡(luò)的輸入變量為(S,t), 輸出為期權(quán)價格P(S,t).

為驗證利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)得到結(jié)果的準(zhǔn)確性, 本文將其計算初始時刻的期權(quán)價格與二叉樹方法的結(jié)果進(jìn)行對比, 數(shù)值結(jié)果如圖2所示.由圖2可見, 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計算的結(jié)果與二叉樹方法得到的結(jié)果吻合, 均大于支付函數(shù), 說明本文提出的算法能較準(zhǔn)確地得到美式期權(quán)價格.用本文方法得到期權(quán)價格的三維圖像如圖3所示.

圖2 不同方法初始時刻美式期權(quán)價格的對比Fig.2 Comparison of initial American option price by different methods

圖3 期權(quán)價格的三維圖像Fig.3 Three dimensional images of option price

綜上, 本文基于幾何網(wǎng)格選點法, 設(shè)計了一種針對美式期權(quán)定價問題的深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法, 并通過與傳統(tǒng)的二叉樹方法對比, 驗證了算法的可靠性.