時(shí)間非均勻介質(zhì)中兩種群競(jìng)爭(zhēng)格點(diǎn)系統(tǒng)的廣義行波

張 巧 珍

(南京航空航天大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 南京 210016)

0 引 言

本文考慮下列一般時(shí)間非均勻介質(zhì)中兩種群競(jìng)爭(zhēng)格點(diǎn)系統(tǒng)中廣義行波的存在性：

(1)

其中:i∈,t∈; 對(duì)任意的t∈,ai(t)∈,bi(t)>0,ci(t)>0, 且ai(t),bi(t),ci(t)(i=1,2)關(guān)于t∈是局部H?lder連續(xù)的.

系統(tǒng)(1)是下列兩種群競(jìng)爭(zhēng)反應(yīng)擴(kuò)散系統(tǒng)的空間離散形式:

(2)

當(dāng)有機(jī)體的運(yùn)動(dòng)或內(nèi)部擴(kuò)散分別發(fā)生在非鄰近與鄰近的位置之間時(shí), 系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)被廣泛用于模擬競(jìng)爭(zhēng)物種的種群動(dòng)力學(xué)[1-4].系統(tǒng)(1)用于競(jìng)爭(zhēng)物種種群密度進(jìn)化模型中, 其中有機(jī)體內(nèi)部相互作用或運(yùn)動(dòng)發(fā)生在非相鄰空間位置之間, 用差分算子描述； 系統(tǒng)(2)用于模擬競(jìng)爭(zhēng)物種種群密度的進(jìn)化, 其中有機(jī)體內(nèi)部相互作用或運(yùn)動(dòng)發(fā)生在相鄰空間位置之間, 并用微分算子描述.在系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)中, 系數(shù)a1,a2表示兩種群的增長(zhǎng)率,b1,c2表示兩種群的自我調(diào)節(jié)能力,b2,c1表示兩種群間的競(jìng)爭(zhēng)能力.空間傳播速度和廣義行波是系統(tǒng)(1)和系統(tǒng)(2)的中心動(dòng)力學(xué)問題.關(guān)于系統(tǒng)(2)在空間和時(shí)間齊次介質(zhì)中[5-14]或者在空間和/或時(shí)間周期介質(zhì)中[15-17]的空間傳播速度和廣義行波目前已有很多研究成果.文獻(xiàn)[18]研究了時(shí)間回復(fù)下擴(kuò)散合作/競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的空間傳播速度和線性確定性； 文獻(xiàn)[19]研究了在一般時(shí)間非均勻介質(zhì)中競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的空間傳播速度和廣義行波.

關(guān)于競(jìng)爭(zhēng)模型中格點(diǎn)系統(tǒng)的研究目前報(bào)道較少: 文獻(xiàn)[20-22]研究了時(shí)間獨(dú)立介質(zhì)中競(jìng)爭(zhēng)格點(diǎn)系統(tǒng)的空間傳播速度和廣義行波； 文獻(xiàn)[23-27]研究了齊次或周期或時(shí)間非均勻介質(zhì)中KPP(Kolmogorov-Petrovsky-Piskunov)型單一種群格點(diǎn)方程空間的傳播速度和廣義行波. 本文研究具有一般時(shí)間依賴兩種群競(jìng)爭(zhēng)格點(diǎn)系統(tǒng)廣義行波的存在性和不存在性, 建立兩種群格點(diǎn)系統(tǒng)的比較原理, 并構(gòu)造系統(tǒng)合適的上下解.

1 基本假設(shè)、 概念及主要結(jié)果

先給出一些記號(hào)及關(guān)于系統(tǒng)(1)的假設(shè). 令

l∞()()={u∈l∞():

對(duì)任意給定的(u0,v0)∈l∞()×l∞(), 系統(tǒng)(1)有滿足初值條件(u(s;s,u0,v0),v(s;s,u0,v0))=(u0,v0)唯一的(局部)解

(u(t;s,u0,v0),v(t;s,u0,v0))={(ui(t;s,u0,v0),vi(t;s,u0,v0))}i∈.

(3)

注意到, 若u0∈l∞,+(),v0∈l∞,+(), 則(u(t;s,u0,v0),v(t;s,u0,v0))關(guān)于所有的t≥s存在, 且u(t;s,u0,v0)∈l∞,+(),v(t;s,u0,v0)∈l∞,+(),t≥s.若系統(tǒng)(1)的一個(gè)解(u(t),v(t))={(ui(t),vi(t))}i∈滿足對(duì)所有的i,j∈, 均有ui(t)=uj(t),vi(t)=vj(t), 則稱(u(t),v(t))是空間齊次的.

系統(tǒng)(1)包含以下兩個(gè)子系統(tǒng),

(4)

(5)

本文假設(shè)：

(H1)表明系統(tǒng)(1)有兩個(gè)半平凡空間齊次正解(u+(t),0)∈Intl∞,+()×l∞,+() 和(0,v+(t))∈l∞,+()×Intl∞,+(), 其中u+(t)是系統(tǒng)(4)唯一的空間齊次正解,v+(t)是系統(tǒng)(5)唯一的空間齊次正解[23].

(H2) (0,v+(t))在l∞,+()×l∞,+()上是線性不穩(wěn)定的, 即在l∞,+()×l∞,+()上是線性全局穩(wěn)定的, 即對(duì)任意的(u0,v0)∈l∞,+()×l∞,+()(u0≠0), 當(dāng)t→∞時(shí),ui(t+s;s,u0,v0)-u+(t+s)→0,vi(t+s;s,u0,v0)→0關(guān)于i∈和s∈一致地成立.

在假設(shè)(H1)～(H3)下, 一個(gè)有趣的中心動(dòng)力學(xué)問題就是研究系統(tǒng)(1)連接(u+(t),0)和(0,v+(t))廣義行波的存在性.為解決該問題, 先把系統(tǒng)(1)通過下述變量代換轉(zhuǎn)化為一個(gè)合作系統(tǒng)：

進(jìn)一步將系統(tǒng)(1)轉(zhuǎn)化為

(6)

其中

Hui(t)∶=ui+1(t)-2ui(t)+ui-1(t),i∈,t∈.

顯然, 系統(tǒng)(6)在ui(t)≥0和0≤vi(t)≤v+(t)區(qū)域內(nèi)是合作系統(tǒng), 且系統(tǒng)(1)的平凡解(0,0)轉(zhuǎn)化為(0,v+(t)), 系統(tǒng)(1)的半平凡解(0,v+(t))和(u+(t),0)分別轉(zhuǎn)化為(0,0)和(u+(t),v+(t)).從而研究系統(tǒng)(1)連接(u+(t),0)和(0,v+(t))的廣義行波即等價(jià)于研究系統(tǒng)(6)連接(u+(t),v+(t))和 (0,0)的廣義行波.

將系統(tǒng)(6)滿足初值條件(u(s;s,u0,v0),v(s;s,u0,v0))=(u0,v0)∈l∞()×l∞()的解記作(u(t;s,u0,v0),v(t;s,u0,v0))={(ui(t;s,u0,v0),vi(t;s,u0,v0))}i∈.對(duì)任意的(u1,u2)∈l∞()×l∞()和(v1,v2)∈l∞()×l∞(), (u1,u2)<(v1,v2)((u1,u2)≤(v1,v2))即為對(duì)每一個(gè)分量i, 都有ui

定義1(廣義行波) 如果存在函數(shù)Φ(x,t),Ψ(x,t)(x∈)和c(t), 使得

(7)

假設(shè)滿足式(7)的(u(t),v(t))={(ui(t),vi(t))}i∈是系統(tǒng)(6)一個(gè)廣義行波.若對(duì)所有的t∈,Φ(x,t)和Ψ(x,t)關(guān)于x是非增的, 則稱廣義行波(u(t),v(t))是單調(diào)的.若存在, 使得則稱為其下平均速度.

下面給出本文的主要結(jié)果：

定理1假設(shè)(H1)～(H3)成立, 則有:

2) 當(dāng)下平均速度小于c0時(shí), 系統(tǒng)(6)不存在廣義行波.

2 比較原理及上下解的構(gòu)造

首先考慮系統(tǒng)(6)的空間連續(xù)形式:

(8)

其中u=u(x,t),v=v(x,t),Hu(x,t)∶=u(x+1,t)-2u(x,t)+u(x-1,t),x∈,t∈.令

l∞()

對(duì)任意的(u0,v0)∈l∞()×l∞(), (u(t;s,u0,v0),v(t;s,u0,v0))={(ui(t;s,u0,v0),vi(t;s,u0,v0))}i∈是系統(tǒng)(6)滿足初值條件(i∈)的解.對(duì)任意的(u0,v0)∈l∞()×l∞(), 令(u(x,t;s,u0,v0),v(x,t;s,u0,v0))是系統(tǒng)(8)滿足初值條件(u(x,s;s,u0,v0),v(x,s;s,u0,v0))=(u0(x),v0(x))的解.對(duì)任意的(u1,u2),(v1,v2)∈l∞()×l∞(), (u1,u2)<(v1,v2)((u1,u2)≤(v1,v2))即為對(duì)每個(gè)i, 都有ui

令

f(t,u,v)=u(a1(t)-b1(t)u-c1(t)(v+(t)-v)),

g(t,u,v)=b2(t)(v+(t)-v)u+v(a2(t)-2c2(t)v+(t)+c2(t)v).

若對(duì)任意給定的x∈(x∈),u(x,t)和v(x,t)關(guān)于t∈[s,T)是絕對(duì)連續(xù)的, 且

ut(x,t)≥Hu(x,t)+f(t,u,v),vt(x,t)≥Hv(x,t)+g(t,u,v)

或

ut(x,t)≤Hu(x,t)+f(t,u,v),vt(x,t)≤Hv(x,t)+g(t,u,v)

關(guān)于幾乎處處的t∈[s,T)成立, 則在×[s,T)上關(guān)于t連續(xù)的一組函數(shù)(u(x,t),v(x,t))稱為系統(tǒng)(8)(系統(tǒng)(6))的一個(gè)上解或者下解.有限個(gè)上(下)解的下確界(上確界), 稱為該系統(tǒng)的一個(gè)廣義上(下)解.

下面建立系統(tǒng)(8)解的比較原理, 關(guān)于系統(tǒng)(6)解的比較原理類似可證.

命題1(比較原理) 假設(shè)(u2(x,t),v2(x,t))和(u1(x,t),v1(x,t))分別是系統(tǒng)(8)在[s,T)上的有界上解和下解, 且(ui(x,t),vi(x,t))∈[0,u+(t)]×[0,v+(t)](i=1,2)關(guān)于x∈,t∈[s,T]成立.若(u1(·,s),v1(·,s))≤(u2(·,s),v2(·,s)), 則(u1(·,t),v1(·,t))≤(u2(·,t),v2(·,t))關(guān)于t∈[s,T)成立.

證明: 令

w1(x,t)=ect(u2(x,t)-u1(x,t)),w2(x,t)=ect(v2(x,t)-v1(x,t)),

其中c待定.對(duì)任意給定的x∈, [s,T]上存在一個(gè)Lebesgue測(cè)度為0的可測(cè)子集E, 使得

(9)

關(guān)于t∈[s,T]E成立, 其中

因?yàn)橄到y(tǒng)(8)在[0,u+(t)]×[0,v+(t)]上是合作的, 則b1(x,t)≥0,a2(x,t)≥0.由ui(x,t)和vi(x,t)(i=1,2)的有界性知, 存在一個(gè)c>0, 使得b2(x,t)≥0和a1(x,t)≥0成立.

斷言wi(x,t)≥0(i=1,2)關(guān)于x∈,t∈[s,T]成立.令下面只需證明關(guān)于x∈,t∈[s,T0], 該斷言成立即可, 其中,使得或則存在t0∈(s,T0), 使得

因?yàn)閣1(xn,s)≥0, 從而

令n→∞, 則

矛盾.因此wi(x,t)≥0(i=1,2)關(guān)于x∈,t∈[s,T]成立, 從而(u1(x,t),v1(x,t))≤(u2(x,t),v2(x,t))關(guān)于x∈,t∈[s,T]成立.

命題2假設(shè)(un,vn)∈l∞,+()×l∞,+()(n=1,2,…), (u0,v0)∈l∞,+()×l∞,+(), 且{‖un‖},{‖vn‖}是有界的.若當(dāng)n→∞時(shí), (un(x),vn(x))→(u0(x),v0(x))關(guān)于x在有界集上一致地成立, 則當(dāng)n→∞時(shí), 對(duì)每個(gè)t>0, 都有(u(x,t+s;s,un,vn),v(x,t+s;s,un,vn))→(u(x,t+s;s,u0,v0),v(x,t+s;s,u0,v0))關(guān)于x在有界集和s∈上一致地成立.

證明: 令

un(x,t+s;s)=u(x,t+s;s,un,vn)-u(x,t+s;s,u0,v0),

vn(x,t+s;s)=v(x,t+s;s,un,vn)-v(x,t+s;s,u0,v0),

則

其中

取λ>0, 令

X(λ)={(u,v):→2: (u(·)e-λ|·|,v(·)e-λ|·|)∈l∞()×l∞()},

進(jìn)而

由Gronwall不等式, 可得

‖(un(·,t+s;s),vn(·,t+s;s))‖X(λ)≤e(α+M2)tM‖(un(·,s;s),vn(·,s;s))‖X(λ).

又因?yàn)楫?dāng)n→∞ 時(shí), ‖(un(·,s;s),vn(·,s;s))‖X(λ)→0關(guān)于s∈一致地成立, 因此當(dāng)n→∞時(shí), (un(x,t+s;s),vn(x,t+s;s))→(0,0)關(guān)于x在有界集和s∈上一致地成立.證畢.

引理1令a(t)∈C(,(0,∞)), 則

引理1的證明可參見文獻(xiàn)[28].

引理2令(u0,v0)∈l∞,+()×l∞,+(), 若存在一個(gè)常數(shù)使得

(10)

關(guān)于s∈一致地成立.

(11)

|uin(tn+sn;sn,u0,v0)-u+(tn+sn)|+|vin(tn+sn;sn,u0,v0)-v+(tn+sn)|≥ε0

(12)

成立.

(13)

關(guān)于所有的i∈,s∈,成立;

(14)

關(guān)于任意的i∈,s∈,成立.注意到當(dāng)n→∞時(shí),因此存在

(15)

注意到

由比較原理, 可知

關(guān)于任意的i∈,t>0和n≥N成立, 其中由的定義可知關(guān)于i∈局部一致地成立.因此, 由命題2知, 對(duì)每個(gè)t>0, 均有

(18)

關(guān)于i∈局部一致地成立.由式(13),(16)～(18)可知

關(guān)于n?1成立.由式(14), 有

uin(tn+sn;sn,u0,v0)

關(guān)于n?1成立, 則

|uin(tn+sn;sn,u0,v0)-u+(tn+sn)|+|vin(tn+sn;sn,u0,v0)-v+(tn+sn)|<ε0

關(guān)于n?1成立, 與式(12)矛盾.因此式(10)成立.證畢.

由假設(shè)(H3)可知, 下列方程存在一個(gè)嚴(yán)格的正解h(t):

記c(t,μ)=(e-μ+eμ-2+a1(t)-c1(t)v+(t))/μ.下面構(gòu)造系統(tǒng)(8)合適的廣義上下解.

關(guān)于x∈,t∈成立, 從而有

關(guān)于x∈,t∈成立.

令

因此,

令

則可得

關(guān)于所有的x∈,t≥s,s∈成立.從而滿足引理3中3).

滿足

(19)

關(guān)于所有的t∈(tk,tk+1),k∈成立.

固定上述δ>0和A(t), 令

其中d>1待定.則有

又由c(t,μ)=(e-μ+eμ-2+a1(t)-c1(t)v+(t))/μ, 可得

關(guān)于t∈(tk,tk+1)成立.再注意到

類似證明式(20)的結(jié)論, 可得

關(guān)于t∈(tk,tk+1)成立.令

定義

關(guān)于x∈,t≥s成立.

3 廣義行波的存在性

下面證明定理1.

由引理3可得

uτ2(x,t)≤uτ1(x,t), ?x∈,t>-τ1,

vτ2(x,t)≤vτ1(x,t), ?x∈,t>-τ1.

斷言

(23)

關(guān)于t∈一致地成立.事實(shí)上, 令由及式(22)和可得

令(u0(x),v0(x))恒為(u0,v0), 其中

關(guān)于s∈和x∈一致地成立.因此對(duì)任意的ε>0, 存在T∶=T(ε)>0, 使得

u+(T+s)>u(x,T+s;s,u0,v0)>u+(T+s)-ε, ?s∈,x∈.

從而由c(t)的定義可知

關(guān)于所有的s∈和x∈成立.由命題2知, 存在N∶=N(ε)>1, 使得

即

注意到

則可得

則有

關(guān)于t∈一致地成立.

2) 令

關(guān)于s∈一致地成立, 其中

斷言c*=c0.事實(shí)上, 考慮

(24)

對(duì)任意的u0∈l∞,+(), 令u-(t+s;s,u0)是式(24)滿足u-(s;s,u0)=u0的解.由比較原理知, 對(duì)任意的(u0,v0)∈l∞,+()×l∞,+(), 有

(25)

關(guān)于s∈一致地成立.從而可得c*≥c0.

(26)

關(guān)于s∈一致地成立.

ui(t+s;s,u0,v0)≤ui(t+s;s,us,vs),vi(t+s;s,u0,v0)≤vi(t+s;s,us,vs)

關(guān)于i∈,s∈和t≥0成立.聯(lián)合式(26)可推出

(27)

關(guān)于s∈一致地成立.再注意到由定理1中1)可得

則

關(guān)于s∈一致地成立.由式(27)和式(28)可得矛盾.因此c*=c0.

假設(shè)滿足式(7)的(u(t),v(t))={(ui(t),vi(t))}i∈是系統(tǒng)(6)連接(u+(t),v+(t))和(0,0)的廣義行波.下面證明其下平均速度注意到關(guān)于所有的z∈成立.因此, 可選取(), 使得(u0,v0)≤(Φ(x,s),Ψ(x,s))關(guān)于所有的s∈成立.令0<ε?1, 則由c*=c0和比較原理, 有