拋物線定義在無(wú)理函數(shù)最值的應(yīng)用演繹

王淼生 葉建聰

（1.廈門(mén)第一中學(xué)，福建 廈門(mén) 361003；2.福建教育學(xué)院數(shù)學(xué)教育研究所，福建 福州 350025；3.廈門(mén)市五顯中學(xué)，福建 廈門(mén) 361100）

拋物線作為圓錐曲線“大家庭”中的一員，其定義在很多方面有突出表現(xiàn).以下通過(guò)三個(gè)具體案例，凸顯拋物線定義在無(wú)理函數(shù)最值（最大值、最小值）上的精彩應(yīng)用，彰顯拋物線（圓錐曲線的精髓）的精髓——數(shù)形結(jié)合思想：以數(shù)構(gòu)形，由形助數(shù).

一、案例呈現(xiàn)

構(gòu)造點(diǎn)A(2,3)，B(1,0)，P(x2,x)，則上式表明f(x)max就是|PA|-|PB|的最大值.

事實(shí)上，動(dòng)點(diǎn)P(x2,x)的軌跡方程為y2=x（之所以配方就是為了構(gòu)造拋物線），即在拋物線y2=x上尋找點(diǎn)P，使得|PA|-|PB|有最大值，如圖1 所示.觀察圖1 易得：

圖1

此時(shí)，線段AB的延長(zhǎng)線與拋物線y2=x的交點(diǎn)正是滿足題意的點(diǎn)P.

解法2：其實(shí)，還可以將函數(shù)f(x)的表達(dá)式適當(dāng)變形為：

構(gòu)造點(diǎn)C(3,2)，D(0,1)，Q(x,x2)，則上式表明f(x)max就是|QC|-|QD|的最大值.

事實(shí)上，動(dòng)點(diǎn)Q(x,x2)的軌跡方程為x2=y，即在拋物線x2=y上尋找點(diǎn)Q，使得|QC|-|QD|的最大值，如圖2 所示.觀察圖2 可得：

圖2

此時(shí)，線段CD的延長(zhǎng)線與拋物線x2=y的交點(diǎn)正是滿足題意的點(diǎn)Q.

解：函數(shù)g(x)表達(dá)式后半部分的根號(hào)表示動(dòng)點(diǎn)P(x,x2)與定點(diǎn)之間的距離|PA|.動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為準(zhǔn)線l方程為、焦點(diǎn)為的拋物線x2=y，定點(diǎn)A為該拋物線外一定點(diǎn).函數(shù)g(x)表達(dá)式前半部分“x2”的含義即為動(dòng)點(diǎn)P到x軸的距離|PB（|B為垂足），如圖3 所示.據(jù)此可知g(x)=|PB|+|PA|.觀察圖3 可得：

圖3

依據(jù)拋物線定義可得|PC|=|PF|，于是得到

此時(shí)，線段AF與拋物線x2=y的交點(diǎn)正是滿足題意的點(diǎn)P.

解：依據(jù)兩點(diǎn)間距離公式，不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)h(x,y)表達(dá)式前半部分的根號(hào)表示動(dòng)點(diǎn)P(x,lnx) 與動(dòng)點(diǎn)之間的距離|PQ|，而動(dòng)點(diǎn)P(x,lnx)在曲線y=lnx上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在準(zhǔn)線l方程為y=-1、焦點(diǎn)為F(0,1)的拋物線x2=4y上運(yùn)動(dòng).函數(shù)h(x,y)表達(dá)式后半部分就是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)，即為Q到x軸的距離|QN|（N為垂足），如圖4 所示.據(jù)此可知h(x,y)=|PQ|+|Qn|.觀察圖4 可得

圖4

依據(jù)拋物線定義可得|QM|=QF，于是得到

這表明h(x,y)最小值取決于F到曲線y=lnx上的動(dòng)點(diǎn)P之間距離的最小值.

再一次利用兩點(diǎn)間距離公式得到|PF|=

構(gòu)造函數(shù)φ(x)：φ(x)=x2+(hnx-1)2，則有φ(x)=

再構(gòu)造函數(shù)ω(x)：ω(x)=x2+lnx-1，則有

因x∈(0,+∞)，則ω(x) ＞0 恒成立，即ω(x) 在x∈(0,+∞) 為單調(diào)增函數(shù).當(dāng)x→+∞ 時(shí)，ω(x) →+∞；當(dāng)x→0+時(shí)，ω(x) ＞0.注意到ω(1)=0，則當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，ω(x) ＜0；當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，ω(x) ＞0，也就是說(shuō)x∈(0,1) 時(shí)，φ(x) ＜0；當(dāng)x∈(1,+∞) 時(shí)，φ(x) ＞0，于是φ(x)在x∈(0,1)上為單調(diào)減函數(shù)，φ(x)在x∈(1,+∞)上為單調(diào)增函數(shù)，則φ(x)min=φ(1)=2，即故h(x,y)min=此時(shí)，R(1,0)正是滿足題意的點(diǎn)P.

當(dāng)然，作為填空題，可以借助圖形直觀性直接看出|PF|的最小值.因?yàn)榍€y=lnx在點(diǎn)R(1,0)處的切線方程為y=x-1，而此時(shí)直線FR的方程為y=1-x，恰好這兩條直線相互垂直，如圖5 所示，因此|PF|的最小值就是即1，此時(shí)R就是滿足條件的點(diǎn)P.

圖5

值得特別說(shuō)明的是：案例2、案例3 均可以類似于上述案例1 中的解法2 那樣，將函數(shù)g(x)與h(x,y)的表達(dá)式分別變形為：

請(qǐng)讀者模仿案例1 中的解法2 的過(guò)程，自行推理.

二、回顧反思

案例1 是一道競(jìng)賽題.f(x)表達(dá)式中不僅含有與而且根號(hào)里面均為高次.即使移項(xiàng)、平方去掉根號(hào)也難以處理，因此需要將f(x)表達(dá)式適當(dāng)變形.變形的本質(zhì)就是構(gòu)造拋物線的過(guò)程，為借助拋物線定義解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ).

案例2 由名校自主招生改編而來(lái)g(x)表達(dá)式含有根號(hào)而且根號(hào)里面已經(jīng)配方，似乎比案例1 簡(jiǎn)單，其實(shí)不然.因?yàn)榘咐? 中兩個(gè)根號(hào)經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形后，可以看作同一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)距離之差（幾何意義），而案例2 中根號(hào)與前半部分“x2”僅從表面上很難發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在的幾何意義.學(xué)生普遍害怕案例2 這類試題.

案例3 源自高三模擬考填空題壓軸題.相比案例2，h(x,y)表達(dá)式顯得更為復(fù)雜.盡管學(xué)生能夠理解幾何意義，即為點(diǎn)P(x,lnx)與點(diǎn)之間的距離.但這是兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，而且學(xué)生難以構(gòu)建后半部分之間的“橋梁”，導(dǎo)致前功盡棄，很少學(xué)生得到正確答案.

三、心得體會(huì)

涉及無(wú)理函數(shù)的最值問(wèn)題，需要特別關(guān)注表達(dá)式外部結(jié)構(gòu)特征，常常通過(guò)恰當(dāng)配方，借助兩點(diǎn)間距離公式，實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化，凸顯幾何背景，順勢(shì)構(gòu)造相關(guān)圖形（尤其圓錐曲線），滲透數(shù)形結(jié)合思想，利用圓錐曲線定義與性質(zhì)，往往能找到最佳的解決方法.以數(shù)構(gòu)形，由形助數(shù)，將邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象等核心素養(yǎng)演繹得淋漓盡致.在享受數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔之美的同時(shí)，對(duì)培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣、優(yōu)化思維品質(zhì)、發(fā)展學(xué)生智力、激發(fā)創(chuàng)造能力大有裨益.

圓錐曲線是一個(gè)和諧的“大家庭”，拋物線只是圓錐曲線“大家族”中的一員，因此在處理綜合性較強(qiáng)的問(wèn)題時(shí)，常常需要將拋物線與橢圓、雙曲線乃至圓、直線、點(diǎn)等相關(guān)定義、性質(zhì)“強(qiáng)強(qiáng)聯(lián)手”，交輝相應(yīng)，從而演繹整個(gè)圓錐曲線的精彩應(yīng)用.事實(shí)上，拋物線、橢圓、雙曲線定義在其他很多方面同樣有精彩的演繹（比如文［1］、文［2］、文［3］等）.以上案例僅僅只是管中見(jiàn)豹，意在拋磚引玉，期盼同行有更多的研究成果.