立足教材 回歸課本
——基于“讀”“探”“升”維度探尋高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)路徑

謝梓璋

（南安第一中學(xué)，福建 泉州 362300）

課本是教師教和學(xué)生學(xué)的載體.課本上的例題、習(xí)題更是經(jīng)過精選、具有很強(qiáng)的代表性的，它不僅是教師施教、學(xué)生學(xué)習(xí)的主要材料，也是高考命題的重要取材途徑之一.面對(duì)撲面而來的各式各樣的復(fù)習(xí)材料，教師要對(duì)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)負(fù)起責(zé)任，要重視引導(dǎo)學(xué)生回歸課本，認(rèn)真鉆研教材，拓展其教育功能.本文試析通過“讀”“探”“升”三個(gè)維度，深究課本上的典型例題與習(xí)題本源，提升總復(fù)習(xí)有效.

一、“讀”——課本經(jīng)典例題再讀

課本的一些例題、習(xí)題富有代表性、思想性，是復(fù)習(xí)的良好載體，值得學(xué)生回歸再讀.這類例題、習(xí)題在各個(gè)模塊都有，高三年復(fù)習(xí)時(shí)，教師可結(jié)合復(fù)習(xí)進(jìn)度，向?qū)W生明確要求哪些例題、習(xí)題需要再讀、再做.當(dāng)然，為了檢測(cè)提升學(xué)生再讀、再做的成效，教師要做一定的引導(dǎo)，避免學(xué)生只是簡單的“重復(fù)”.

例1（人教A 版必修4 第39 頁例5）.“求函數(shù)y=，x∈[-2π,2π]的單調(diào)遞增區(qū)間.”

①拋出原題，讓學(xué)生“新”做，檢測(cè)學(xué)生是否“看”了；

②解法新：你還有其他解法嗎？檢測(cè)學(xué)生是否“思”了；

③條件新：若把x∈[-2π,2π]改為x∈[0,4π]呢？若是求單調(diào)遞減區(qū)間呢？檢測(cè)學(xué)生是否“懂”了.

單調(diào)性是三角函數(shù)的重要性質(zhì)，也是重要考點(diǎn)之一.本例5 主要通過化歸方法并利用正弦函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解，在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中有著重要的教育價(jià)值，一是它揭示了三角函數(shù)性質(zhì)研究的范式（變量代換、化歸、數(shù)形結(jié)合），二是可生成性強(qiáng)（如可改變區(qū)間大小，或是改變問法，如拓展為求“最值問題、不等式問題”等），值得學(xué)生“再讀”、感受經(jīng)典.高三年復(fù)習(xí)時(shí)，“再讀”課本經(jīng)典例題（建議適當(dāng)改變問題呈現(xiàn)形式），可以在較短的時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)解題范式、解題策略進(jìn)行歸納總結(jié)，不失為一種高效、接地氣的復(fù)習(xí)方法.

二、“探”——不同問題不同變式探究

（一）對(duì)比與比較：建立知識(shí)的合理聯(lián)系與區(qū)別的變式

對(duì)例題、習(xí)題進(jìn)行歸類整理，觀察共性和個(gè)性，發(fā)現(xiàn)它們之間共同的本質(zhì)屬性或解題規(guī)律，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高解題能力的重要途徑之一.

例如，圓錐曲線之間很多知識(shí)可以進(jìn)行類比、探究，值得師生研究.

例2（人教A 版選修2-1 第55 頁探究）.如圖1，設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0).直線AM,BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積是，求點(diǎn)M的軌跡方程并由點(diǎn)M的軌跡方程判斷軌跡的形狀，與P412.2 例3 比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖1

教學(xué)中教師可以此為契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考斜率之商（和、差）為定值的軌跡問題，詳見教材P42練習(xí)4 的“斜率的商”、P74B 組題3 的“斜率的差”、P81B 組題5 的“斜率的和”.

教材對(duì)于三種圓錐曲線的定義都是立足“距離”間的關(guān)系給出，本例則從“角度”間的關(guān)系反映圓錐曲線的性質(zhì).復(fù)習(xí)中，教師若能通過對(duì)斜率之積（商、和、差，即四則運(yùn)算）為定值情形的進(jìn)行對(duì)比與比較，不僅可以幫助學(xué)生形成解析幾何研究問題的一般方法：數(shù)學(xué)問題→代數(shù)問題→方程求解，加深對(duì)“坐標(biāo)法”的理解，而且可以滲透學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)——“類比”是圓錐曲線的重要學(xué)習(xí)方法.當(dāng)然，教師還可啟發(fā)學(xué)生逆向思考問題，獲得圓錐曲線的一條性質(zhì)：橢圓、雙曲線上的點(diǎn)【長軸（或?qū)嵼S）端點(diǎn)除外】與長軸（或?qū)嵼S）的兩個(gè)端點(diǎn)連線的斜率之積是定值，同時(shí)，這條性質(zhì)可以進(jìn)一步推廣.

可見，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)教材的例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)膶?duì)比與比較，不僅可以對(duì)相關(guān)知識(shí)進(jìn)行梳理，而且能夠較好實(shí)現(xiàn)“多題一法”，形成此類問題的“解題范式、解題策略”，提升復(fù)習(xí)的實(shí)效性.

（二）延伸與拓展：由點(diǎn)到面、拓展推廣引發(fā)的變式

高三復(fù)習(xí)中，不僅要有橫向的深入，更需要有縱向的聯(lián)系組合、類比、溝通知識(shí)聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)知識(shí)由“厚”到“薄”、由“散亂”到“有序”的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)“一個(gè)”問題到“一類”問題的轉(zhuǎn)變.

例3（人教A 版選修2－1P73A 組第6 題）.如圖2，直線y=x-2 與拋物線y2=2x相交A,B兩點(diǎn)，求證：OA⊥OB.

圖2

①逆向思考

拋物線y2=2x上不同兩點(diǎn)A,B，若滿足OA⊥OB，則直線AB是否恒過定點(diǎn)？（經(jīng)驗(yàn)證，直線AB經(jīng)過定點(diǎn)（2，0）.（過程略）

②逆向推廣

設(shè)直線l與拋物線y2=2px(p＞0)交于不同兩點(diǎn)A,B，若滿足OA⊥OB，則直線l恒過定點(diǎn)P(2p,0).…………（*）

略證：由條件可知直線AB的斜率不為0，可設(shè)直線AB：x=my+b(b≠0)，代入y2=2px得：y2-2pmy-2bp=0，∴y1+y2=2pm,y1y2=-2pb.

若OA⊥OB，則容易求得=-2pb+b2=0.∵b≠0,∴b=2p，∴直線AB：x=my+2p，即直線AB恒過定點(diǎn)P(2p,0).

③延伸拓展

如：在平面直角坐標(biāo)系x0p中，直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點(diǎn).

（I）求證：“如果直線l過點(diǎn)T(3,0)，那么=3”是真命題；

（II）寫出（I）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

根據(jù)以上的思考，不難判斷（I）中命題的逆命題是假命題.

④類比遷移

結(jié)論(*)是否可以類比到橢圓？

過拋物線y2=2px(p＞0)的頂點(diǎn)O作兩條互相垂直的直線，分別交拋物線于另外兩點(diǎn)M.N，則直線MN過定點(diǎn)P(2p,0).類比此命題，寫出關(guān)于橢圓1(a＞b＞0)的一個(gè)真命題：____

圖3

⑤以點(diǎn)帶面

從問題①②③④的解決，我們可以發(fā)現(xiàn)，解決問題OA⊥OB，往往可以轉(zhuǎn)化為研究可見，轉(zhuǎn)化與化歸思想是解析幾何常見的解題思想.為此，在復(fù)習(xí)時(shí)，要注重培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識(shí)，比如，數(shù)量積型的轉(zhuǎn)化：?點(diǎn)O在以AB為直徑的圓上；點(diǎn)O在以AB為直徑的圓外（圓內(nèi)）?∠AOB為銳角（鈍角）.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）》明確指出，數(shù)學(xué)教學(xué)要發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).顯然，圍繞碎片化的知識(shí)點(diǎn)，以“知識(shí)點(diǎn)講解+例題+練習(xí)”的方式設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)，已經(jīng)無法承載數(shù)學(xué)基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)教學(xué)的要求，對(duì)核心素養(yǎng)發(fā)展不利.采用“由點(diǎn)到面、拓展推廣”的變式探究，可以在較大程度上緩解“知識(shí)點(diǎn)講解+例題+練習(xí)”帶來的弊端，避免“就題論題”“只見樹木，不見森林”的局限性，可以較好實(shí)現(xiàn)知識(shí)間的融會(huì)貫通、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“有聯(lián)系”的數(shù)學(xué)思考.

（三）思想與方法：由核心思想、方法引發(fā)的變式

回歸課本不能僅僅只是停留在表面上，而應(yīng)該對(duì)課本上的數(shù)學(xué)知識(shí)與隱藏其中的數(shù)學(xué)思想方法加以總結(jié)提高，加工成“串”，使知識(shí)“升華”，從而達(dá)到知識(shí)的融會(huì)貫通，體會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)核心思想.

例如，三角函數(shù)的單位圓定義是三角函數(shù)的核心內(nèi)容，復(fù)習(xí)時(shí)，

首先要引導(dǎo)學(xué)生理清兩條主線：

一是計(jì)算主線：單位圓定義→三種三角函數(shù)的值在各象限的符號(hào)判斷→同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式→誘導(dǎo)公式；

二是圖象主線：單位圓定義→三角函數(shù)線→三角函數(shù)的圖象.

其次，要強(qiáng)化單位圓定義的應(yīng)用：

一是單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)表示.

二是定義的直接應(yīng)用.

例4（人教A 版必修4 第59 頁B 組3）.如圖4，點(diǎn)P是半徑為rcm 的砂輪邊緣上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，它從初始位置P0開始，按逆時(shí)針方向以角速度wrad/s做圓周運(yùn)動(dòng).求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系.（由sin ∠xOP=sin(wt+φ)=有y=rsin(wt+φ).

圖4

相比陳述性知識(shí)而言，數(shù)學(xué)思想方法是“活”知識(shí)，是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象與概括，它蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程中.對(duì)于解題，數(shù)學(xué)思想方法就是解題的策略、指導(dǎo)思想，是能實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和轉(zhuǎn)換，是創(chuàng)造性思維的基礎(chǔ).高三年復(fù)習(xí)，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行梳理與總結(jié)、提煉，認(rèn)識(shí)它們的本質(zhì)特征，自覺、靈活地加以應(yīng)用.比如，在本例4 中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生挖掘解題的數(shù)學(xué)本質(zhì)——三角函數(shù)的定義（思考：如何建系、設(shè)角、定義表達(dá)），這樣在“水車”“摩天輪”等問題中，學(xué)生就容易實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移.

值得注意的是，核心思想方法的滲透貴在立足平常教學(xué).比如，“坐標(biāo)法”是解析幾何的核心思想，“設(shè)而不求”“轉(zhuǎn)化與化歸思想”是求解直線與圓錐曲線問題的重要思想，“空間問題平面化”“降維”是解決空間立體幾何的重要思想等等，這些都需要平時(shí)教學(xué)的滲透，方能被學(xué)生所內(nèi)化.

三、“升”——改進(jìn)提升教材不盡完美之處

“智者千慮，必有一失”，教材不可能十全十美！師生分析、處理教材時(shí)，要敢于大膽質(zhì)疑，對(duì)教材中不夠規(guī)范、不夠簡潔的地方進(jìn)行改進(jìn)，使教材更好地發(fā)揮教學(xué)的基本素材作用.

例5（人教A 版必修5 的第14 頁的例5）.如圖5，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在西偏北15°的方向上，行駛5km后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北25°的方向上，仰角為8°，求此山的高CD.

圖5

這是有關(guān)測(cè)量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，立意很好，回歸再讀課本時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生不甚理解，究其原因，原來是弄不清角度之間的關(guān)系.而其根本原因在于題目的分析不到位（應(yīng)明確指出本題是屬于空間幾何中的三角形問題）、況且圖畫得不好.為此，筆者以生活情境為入口，理清條件之間（特別是角度）的關(guān)系，同時(shí)，與學(xué)生共同把圖形畫好（如圖6），突出平面ABC，方便學(xué)生的理解.

圖6

普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 版）明確指出，要開展獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等學(xué)習(xí)活動(dòng).步入高三年復(fù)習(xí)，學(xué)生由于知識(shí)儲(chǔ)備量的增加，對(duì)問題的看法也就更加豐富.此時(shí)，教師可以因勢(shì)利導(dǎo)，引導(dǎo)他們對(duì)一些重要的數(shù)學(xué)概念、定理、公式、例題、習(xí)題等重新審視，鼓勵(lì)他們提出不同見解、不同解法，形成不同解決方案，同時(shí)，教師要及時(shí)做出積極的評(píng)價(jià).如此回歸課本，學(xué)生獲得不僅是新鮮感，而且是成就感，再有的是滿滿的自我內(nèi)驅(qū)力.