基于八叉樹(shù)SBFE網(wǎng)格的混凝土細(xì)觀模型生成方法

杜成斌 鄭偉康

摘要： 為更準(zhǔn)確地反映混凝土材料過(guò)渡區(qū)的幾何形狀和材料性質(zhì)，通過(guò)基于圖像的八叉樹(shù)網(wǎng)格加密技術(shù)對(duì)混凝土結(jié)構(gòu)過(guò)渡區(qū)進(jìn)行局部網(wǎng)格加密。采用平衡八叉樹(shù)劃分算法進(jìn)行空間單元剖分，首先基于最大單元尺寸的體素，將結(jié)構(gòu)離散為若干子單元，然后根據(jù)顏色強(qiáng)度均勻性標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)一步細(xì)分單元，直到單元中的每個(gè)體素均滿足顏色強(qiáng)度閾值條件，最后根據(jù)2 ∶1原則形成八叉樹(shù)網(wǎng)格。由于三維比例邊界有限元網(wǎng)格允許存在懸掛節(jié)點(diǎn)，因此生成的模型相對(duì)常規(guī)有限元模型具有求解域離散簡(jiǎn)單、網(wǎng)格過(guò)渡快、單元模式少等優(yōu)點(diǎn)。八叉樹(shù)網(wǎng)格與具有半解析特點(diǎn)的三維比例邊界有限元法相結(jié)合，可非常方便地求解混凝土類(lèi)非均質(zhì)材料的應(yīng)力變形，且具有計(jì)算工作量少、精度高的特點(diǎn)，為混凝土類(lèi)非均質(zhì)材料的力學(xué)建模和計(jì)算提供了新途徑。數(shù)值算例驗(yàn)證了所提出方法的正確性和可行性。

關(guān) 鍵 詞： 八叉樹(shù); 混凝土; 細(xì)觀模型; 網(wǎng)格過(guò)渡; 比例邊界有限元法

中圖法分類(lèi)號(hào)： ?TU528.01

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ?A

DOI： 10.16232/j.cnki.1001-4179.2021.08.027

0 引 言

混凝土材料作為水工及民用建筑中應(yīng)用最廣泛的材料之一，其力學(xué)性能一直以來(lái)都是研究的熱點(diǎn)。受觀測(cè)技術(shù)和研究方法的限制，傳統(tǒng)的混凝土材料力學(xué)理論建立在宏觀均質(zhì)假設(shè)的基礎(chǔ)之上，然而真實(shí)的混凝土材料是由多相材料組合而成，其在宏觀層次上力學(xué)性能的表現(xiàn)實(shí)質(zhì)是細(xì)觀組成結(jié)構(gòu)的體現(xiàn)，因此混凝土材料在細(xì)觀層次上的非均質(zhì)特性受到了越來(lái)越高的重視[1]。

基于對(duì)混凝土細(xì)觀各相相互作用模型的假設(shè)和求解方法的不同，混凝土細(xì)觀力學(xué)模型大致可分為三大類(lèi)[2]：基于有限元法（Finite Element Method，F(xiàn)EM）的連續(xù)介質(zhì)細(xì)觀力學(xué)模型、基于離散元法的非連續(xù)介質(zhì)細(xì)觀力學(xué)模型以及基于FEM-離散元耦合法的細(xì)觀力學(xué)模型。唐欣薇等[3]基于連續(xù)介質(zhì)細(xì)觀力學(xué)模型，研究了細(xì)觀各相組分的非均質(zhì)性對(duì)混凝土力學(xué)性能的影響，馬懷發(fā)等[4]采用背景網(wǎng)格法建立了大壩混凝土三維細(xì)觀力學(xué)數(shù)值模型，劉衛(wèi)東[5]等采用了基于離散元法的細(xì)觀力學(xué)模型，研究了集料粒徑和試件尺寸對(duì)瀝青混合料開(kāi)裂行為的影響。然而，在上述細(xì)觀模型分析中，由于各相幾何形狀的復(fù)雜性，增加了建立FEM網(wǎng)格的難度，傳統(tǒng)的FEM網(wǎng)格因不允許有懸掛節(jié)點(diǎn)，常常在材料分區(qū)附近出現(xiàn)很密的網(wǎng)格，導(dǎo)致模型計(jì)算成本高、計(jì)算效率低等問(wèn)題。

隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，四叉樹(shù)/八叉樹(shù)網(wǎng)格因其劃分速度快、主單元模式少等優(yōu)點(diǎn)被逐漸應(yīng)用到細(xì)觀網(wǎng)格模型的建立中。丁勝勇等[6]基于平衡四叉樹(shù)網(wǎng)格加密技術(shù)實(shí)現(xiàn)了混凝土細(xì)觀模型的局部網(wǎng)格加密。劉兆松等[7]基于數(shù)字圖像處理建立了混凝土細(xì)觀FEM模型。但是由于四叉樹(shù)/八叉樹(shù)網(wǎng)格生成過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生懸掛節(jié)點(diǎn)，使得該方法與FEM的結(jié)合受到了限制。Song和Wolf提出的比例邊界有限元法[8]（Scaled Boundary Finite Element Method，SBFEM），其只需對(duì)求解域的邊界進(jìn)行離散，使空間計(jì)算維度降低了一維，且不需要基本解。SBFEM單元可以是任意多面體（多邊形），它允許存在懸掛節(jié)點(diǎn)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者將其與四叉樹(shù)/八叉樹(shù)網(wǎng)格劃分算法相結(jié)合進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析。Ooi等[9-10]提出了一種基于四叉樹(shù)-多邊形比例邊界有限元法，模擬了混凝土結(jié)構(gòu)的裂紋擴(kuò)展。鄒德高[11]等提出一種增強(qiáng)八叉樹(shù)與SBFEM結(jié)合的方法來(lái)對(duì)工程實(shí)例進(jìn)行應(yīng)力分析。目前，大多數(shù)的研究都側(cè)重于平面問(wèn)題，將八叉樹(shù)與SBFEM結(jié)合對(duì)空間混凝土細(xì)觀模型的研究鮮有見(jiàn)到。

為更準(zhǔn)確反映混凝土的細(xì)觀結(jié)構(gòu)，本文采用基于圖像的平衡八叉樹(shù)網(wǎng)格加密技術(shù)對(duì)混凝土砂漿和骨料的過(guò)渡區(qū)進(jìn)行局部網(wǎng)格加密，建立了基于八叉樹(shù)SBFE網(wǎng)格的混凝土細(xì)觀力學(xué)模型。首先介紹了三維SBFEM以及平衡八叉樹(shù)的概念，然后詳細(xì)給出了平衡八叉樹(shù)網(wǎng)格劃分的具體步驟，最后通過(guò)數(shù)值算例驗(yàn)證所提方法的正確性和可行性。

1 三維比例邊界有限元法

在三維SBFEM中，其基本單元稱(chēng)為S域，可以是任意多面體形狀。在每一個(gè)S域中設(shè)置一個(gè)比例中心O，比例中心可以在對(duì)所有邊界可見(jiàn)的前提下設(shè)置在S域內(nèi)的任意位置，它與邊界節(jié)點(diǎn)的連線將S域劃分為若干個(gè)子域，如圖1所示。以比例中心O（x0，y0，z0）為原點(diǎn)建立相應(yīng)的局部坐標(biāo)系（ξ，η，ζ），如圖2所示。三維SBFEM的坐標(biāo)系包括一個(gè)徑向坐標(biāo)ξ以及兩個(gè)環(huán)向坐標(biāo)η和ζ。在比例中心處，ξ=0;在邊界處，ξ=1;S域內(nèi)的其他位置取為0<ξ<1。環(huán)向坐標(biāo)與二維FEM局部坐標(biāo)類(lèi)似。

在子域內(nèi)，任意一點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系下的坐標(biāo)（x，y，z）可由比例邊界局部坐標(biāo)（ξ，η，ζ）表示如下：

x ξ，η，ζ =x0+ξ? N? η，ζ {x}-x0

（1）

y ξ，η，ζ =y0+ξ? N? η，ζ {y}-y0

（2）

z ξ，η，ζ =z0+ξ? N? η，ζ {z}-z0

（3）

式中： N （η，ζ）為插值形函數(shù)矩陣;（x0，y0，z0）為比例中心的坐標(biāo);{x}，{y}，{z}為邊界上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)集。

每個(gè)子域內(nèi)的位移函數(shù)可以通過(guò)插值函數(shù)表示為

u? ξ，η，ζ = N u η，ζ? u? ξ

（4）

式中： u （ξ）為子域內(nèi)的徑向位移函數(shù)。

對(duì)位移函數(shù)進(jìn)行微分計(jì)算，可以得到子域內(nèi)的應(yīng)變函數(shù)：

ε = Lu? ξ，η，ζ

= B 1 η，ζ? u? ξ ，ξ+ 1 ξ? B 2 η，ζ? u? ξ

（5）

式中： L 為微分算子; B 1（η，ζ）， B 2（η，ζ）為應(yīng)變位移矩陣，只與子域的幾何形狀有關(guān)，可由節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)信息求出。

將應(yīng)變函數(shù)代入本構(gòu)方程可以求得子域內(nèi)的應(yīng)力函數(shù)：

σ? = Dε

= DB 1 η，ζ? u? ξ ，ξ+ 1 ξ? DB 2 η，ζ? u? ξ

（6）

根據(jù)虛功原理[12]，可以推導(dǎo)出關(guān)于位移的三維比例邊界有限元靜力平衡方程：

E 0ξ2 u? ξ ，ξξ+ 2 E 0- E 1+ E T1 ξ u? ξ ，ξ+? E T1- E 2? u? ξ + P? ξ =0

（7）

式中： P （ξ）為外力項(xiàng); E 0， E 1， E 2為系數(shù)矩陣項(xiàng)。

最終，通過(guò)舒爾分解法[13]求得其位移解的形式如下：

u? ξ = φ 11ξ-? S 11+0.5 I?? c 1

（8）

式中： φ 11為位移模態(tài)的特征向量; S 11為位移模態(tài)的特征值; c 1為位移模態(tài)的積分常數(shù)。式（8）表明SBFEM的解在徑向是解析的，它決定了其解的半解析特征。

一旦位移求出，將其代入式（5）和式（6）即可求出應(yīng)變和應(yīng)力。

SBFEM除了具有半解析的特點(diǎn)，它在網(wǎng)格上可以允許懸掛節(jié)點(diǎn)，因?yàn)樗窃谶吔缟想x散的，某邊上的懸掛節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是邊界離散增加了插值點(diǎn)，處理起來(lái)非常方便。例如圖3，對(duì)于一個(gè)簡(jiǎn)單的四邊形邊界面單元ABCD，AB邊上存在一懸掛節(jié)點(diǎn)P，可以認(rèn)為是邊界面ABCD增加了一個(gè)插值點(diǎn)，將邊界面APBCD視為一個(gè)五節(jié)點(diǎn)單元，這樣就保證了P點(diǎn)的位移協(xié)調(diào)性。這一點(diǎn)給網(wǎng)格過(guò)渡帶來(lái)了很大的方便。

2 基于圖像的八叉樹(shù)網(wǎng)格劃分算法

基于圖像的網(wǎng)格劃分方法主要有三大類(lèi)[14]：第一類(lèi)需在劃分前定義各相的邊界;第二類(lèi)直接基于圖像的像素正方形或體素正六面體建立均勻網(wǎng)格;第三類(lèi)為基于像素/體素的四叉樹(shù)/八叉樹(shù)網(wǎng)格劃分算法。總體來(lái)說(shuō)，前兩類(lèi)方法的網(wǎng)格生成較為簡(jiǎn)單，但生成的網(wǎng)格數(shù)量多，剛度矩陣以及數(shù)值積分的計(jì)算量大，而第三類(lèi)方法可以快速實(shí)現(xiàn)不同尺寸單元的過(guò)渡，具有更好的適應(yīng)性。

2.1 八叉樹(shù)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

八叉樹(shù)是一種采用遞歸思想將三維空間的節(jié)點(diǎn)分解為互為關(guān)聯(lián)的8個(gè)子節(jié)點(diǎn)的層次化樹(shù)狀數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)[15]。它的每個(gè)節(jié)點(diǎn)代表一個(gè)立方體的體積單元，每個(gè)節(jié)點(diǎn)有8個(gè)子節(jié)點(diǎn)，將8個(gè)子節(jié)點(diǎn)代表的體積單元加在一起就等于父節(jié)點(diǎn)的體積。八叉樹(shù)以三維空間中整個(gè)待劃分區(qū)域的最小外接正方體為根單元，遞歸地把它分成8個(gè)子單元，直到所有單元都滿足規(guī)定條件即停止劃分。圖4即為一個(gè)簡(jiǎn)單的八叉樹(shù)單元產(chǎn)生過(guò)程。

平衡八叉樹(shù)結(jié)構(gòu)是在普通八叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上要求相鄰層次之間單元尺寸滿足2 ∶1的平衡原則，即限制其任意相鄰單元之間所處的層次差不大于1。平衡八叉樹(shù)結(jié)構(gòu)嚴(yán)格限制了相鄰單元尺寸變化的梯度，其最大的優(yōu)點(diǎn)在于減少了主單元模式的數(shù)量。

2.2 平衡八叉樹(shù)網(wǎng)格的生成步驟

采用STL格式的3D圖像，圖5（a）是一個(gè)8×8×8體素的3D圖像，包含了一個(gè)1體素的灰點(diǎn)和一個(gè)2×2×2體素的灰點(diǎn)，設(shè)置最大單元尺寸為amax=4×4×4體素，最小單元尺寸為amin=1體素，顏色強(qiáng)度閾值t即為一個(gè)單元中每個(gè)體素之間所允許的最大顏色強(qiáng)度差值，取t=0。利用平衡八叉樹(shù)對(duì)其進(jìn)行網(wǎng)格劃分主要有以下幾個(gè)步驟：

（1） 用一個(gè)最小外接立方體的包圍盒圈定目標(biāo)模型，得到一個(gè)8×8×8體素的根單元。

（2） 根據(jù)最大單元尺寸amax將根單元均分為8個(gè)4×4×4體素的子單元，如圖5（b）所示。

（3） 根據(jù)顏色的不均勻性，將不滿足顏色強(qiáng)度均勻性標(biāo)準(zhǔn)（t=0）的每一個(gè)立方體單元遞歸劃分為8個(gè)大小相等的子單元。含有2×2×2體素灰點(diǎn)的單元通過(guò)一次細(xì)分得到8個(gè)2×2×2體素的子單元，含有1體素灰點(diǎn)的單元?jiǎng)t經(jīng)過(guò)兩次細(xì)分得到7個(gè)2×2×2體素的子單元和8個(gè)1體素的子單元，如圖5（c）所示。

（4） 按照2 ∶1平衡原則進(jìn)一步劃分單元，得到圖5（d）中的平衡八叉樹(shù)網(wǎng)格。

2.3 基于八叉樹(shù)的S單元

通過(guò)平衡八叉樹(shù)分解后得到的單元都是立方體單元，將比例中心設(shè)置在立方體的幾何中心得到S域。SBFEM的離散化只需在S域的表面進(jìn)行，對(duì)于八叉樹(shù)單元的一個(gè)表面，根據(jù)其四條邊上是否存在懸掛節(jié)點(diǎn)或表面中心點(diǎn)，考慮單元格的旋轉(zhuǎn)后總共只有7種八叉樹(shù)表面單元節(jié)點(diǎn)配置模式，如圖6所示。對(duì)于兩個(gè)幾何相似的單元，用于分析的單元矩陣是相同的或成比例的，單元模式減少可以很大程度地減少計(jì)算量。

與FEM網(wǎng)格單元相比，基于八叉樹(shù)的S單元主要有以下優(yōu)點(diǎn)：

（1） 允許存在懸掛節(jié)點(diǎn)，保證了相鄰八叉樹(shù)單元之間的位移協(xié)調(diào)性。

（2） 表面離散比FEM要求的體積離散更簡(jiǎn)單。

（3） 可以實(shí)現(xiàn)粗細(xì)網(wǎng)格的快速過(guò)渡，建模效率高。

（4） 主單元節(jié)點(diǎn)配置模式少，計(jì)算成本低。

3 數(shù)值算例

3.1 懸臂梁彎曲

圖7為一受剪切力作用的均質(zhì)懸臂梁，截面是邊長(zhǎng)a=10 mm正方形，梁長(zhǎng)L=40 mm。其中一端（z=40 mm）固定，另一端（z=0 mm）自由且受到y(tǒng)軸負(fù)向的剪切力τy=10 MPa。懸臂梁彈性模量為E=25 GPa，泊松比為υ=0.25，不計(jì)重力。

3.1.1 豎向位移和正應(yīng)力

采用基于圖像的八叉樹(shù)算法建立SBFEM網(wǎng)格模型，圖片大小為256×256×256體素，每個(gè)體素代表一個(gè)邊長(zhǎng)為0.156 25 mm（最小外接立方體邊長(zhǎng)與圖片邊長(zhǎng)的比值）的立方體單元。設(shè)置單元大小為32×32×32體素（邊長(zhǎng)5 mm），總共得到32個(gè)立方體單元。取梁上表面中軸線AB上的任意一點(diǎn)C，將其計(jì)算結(jié)果與解析解[16]對(duì)比。由于邊界處存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，故應(yīng)力結(jié)果只取梁中間某段結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖8～9所示，圖中橫坐標(biāo)為L(zhǎng)AC/LAB，圖8的縱坐標(biāo)為豎向位移uy，圖9的縱坐標(biāo)為σz/τy。由圖可知，本文結(jié)果與解析解幾乎完全一致，從而驗(yàn)證了所提出方法計(jì)算結(jié)果的正確性。

3.1.2 計(jì)算精度對(duì)比

對(duì)于上述懸臂梁結(jié)構(gòu)，取不同自由度下的網(wǎng)格模型。為了避免應(yīng)力集中的影響，分別用SBFEM和FEM計(jì)算AB中點(diǎn)（0，5，20 mm）的正應(yīng)力值σz，并與文獻(xiàn)[16]中求得的解析解進(jìn)行對(duì)比，其結(jié)果見(jiàn)表1。由表1可知，當(dāng)結(jié)構(gòu)自由度接近時(shí)，SBFEM的應(yīng)力結(jié)果更加接近解析解，并且自由度為8 019時(shí)的SBFEM結(jié)果比自由度為421 443時(shí)的FEM結(jié)果更加精確。

圖10給出了兩種方法下自由度與應(yīng)力結(jié)果相對(duì)誤差的關(guān)系曲線。由圖10可知，兩種方法的相對(duì)誤差都隨著結(jié)構(gòu)自由度的增大而減小，SBFEM的相對(duì)誤差整體上都低于FEM。當(dāng)自由度大于8 000時(shí)，SBFEM的相對(duì)誤差基本維持在2%以下，而FEM則超過(guò)了5%，說(shuō)明SBFEM在較少的自由度就能達(dá)到較高的精度。

綜上所述，在結(jié)構(gòu)自由度接近時(shí)，本文所提方法比FEM有著更高的計(jì)算精度，并且能在自由度更小的情況下滿足計(jì)算精度要求。

3.2 3D混凝土細(xì)觀模型

如圖11（a），對(duì)于3D三級(jí)配混凝土非均質(zhì)結(jié)構(gòu)，體積表征單元（Representative Volume Element，RVE）的邊長(zhǎng)取a=300 mm。考慮混凝土是由球形骨料、砂漿和界面組成的三相材料，將骨料最外層單元視為界面單元，基于圖像顏色進(jìn)行各相材料分區(qū)。界面層的生成步驟如下：

（1） ?對(duì)于每一個(gè)隨機(jī)骨料模型，以球心為基準(zhǔn)，縮小半徑2 mm（這個(gè)主要根據(jù)界面層厚度而定），生成兩個(gè)球心位置相同骨料半徑不同的新的隨機(jī)骨料模型A。

（2） 通過(guò)布爾運(yùn)算，對(duì)上述兩個(gè)骨料模型取差集，形成一組球殼模型B，作為邊界層。

（3） 對(duì)B的體素賦上與骨料和砂漿不同的顏色強(qiáng)度值（例如150），作為第三種材料分區(qū)。

（4） 將A和B的體素組合進(jìn)行平衡八叉樹(shù)網(wǎng)格劃分。

（5） 重新定義材料區(qū)間，例如，[0，85]區(qū)間內(nèi)為材料1（砂漿）;[86，170]區(qū)間內(nèi)為材料2（骨料）;[171，255]區(qū)間內(nèi)為材料3。

（6） 賦上相應(yīng)的材料參數(shù)生成含有界面單元的隨機(jī)骨料模型。

其中，骨料的彈性模量為Eagg=50 GPa，泊松比為υagg=0.16;水泥砂漿的彈性模量為Ecem=30 GPa，泊松比為υcem=0.22;界面層的彈性模量Eb=20 GPa，泊松比為υb=0.18[17]。為按富勒級(jí)配曲線[18]，三級(jí)配骨料的特征粒徑分別取20，40，80 mm，采用蒙特卡羅法生成骨料體積含量分別為20%、30%和40%的混凝土隨機(jī)骨料模型，其骨料粒徑分布和顆粒數(shù)由表2給出。

以骨料含量為40%的RVE為例，基于平衡八叉樹(shù)建立混凝土細(xì)觀網(wǎng)格模型，圖片像素大小設(shè)置為256×256×256體素，每個(gè)體素代表一個(gè)邊長(zhǎng)為1.171 875 mm的立方體。最大和最小單元尺寸分別取16×16×16體素（邊長(zhǎng)18.75 mm）和4×4×4體素（邊長(zhǎng)4.687 5 mm），劃分后得到的網(wǎng)格如圖11（b），其單元數(shù)為214 397，自由度數(shù)為758 490。在FEM模型中，采用六面體單元（C3D8R），單元尺寸取為4.687 5 mm，生成的FEM網(wǎng)格如圖11中（c）所示，其模型的單元數(shù)為262 144，自由度數(shù)為823 875。

由圖11可以看出，想要實(shí)現(xiàn)最小網(wǎng)格尺寸相同（SBFEM：4×4×4體素;FEM：4.6875 mm），F(xiàn)EM模型（背景網(wǎng)格法）需要全局加密網(wǎng)格，而基于八叉樹(shù)的SBFEM模型只需在材料交界處進(jìn)行局部網(wǎng)格加密，減少了18%的單元數(shù)和8%的自由度數(shù)，節(jié)約了計(jì)算成本，可更好地實(shí)現(xiàn)混凝土骨料與砂漿之間的粗細(xì)網(wǎng)格過(guò)渡。

對(duì)上述混凝土細(xì)觀模型進(jìn)行單軸壓縮數(shù)值試驗(yàn)。模型底面為固定端，其余表面自由。在模型頂面施加軸向壓力σy0=50 MPa。取模型的一條軸向線AB作為特征線（見(jiàn)圖11（a）），C點(diǎn)為AB上任意一點(diǎn)，C點(diǎn)的軸向位移uy和軸向應(yīng)力結(jié)果σy如圖12和圖13所示。由圖可知，基于八叉樹(shù)SBFE網(wǎng)格生成的混凝土細(xì)觀模型與FEM混凝土細(xì)觀模型的模擬結(jié)果較為吻合，由此說(shuō)明所提方法在實(shí)際混凝土非均質(zhì)結(jié)構(gòu)分析中的可行性。

4 結(jié) 語(yǔ)

基于平衡八叉樹(shù)網(wǎng)格加密技術(shù)對(duì)混凝土材料過(guò)渡區(qū)進(jìn)行局部網(wǎng)格加密，實(shí)現(xiàn)了粗細(xì)網(wǎng)格的快速過(guò)渡，在不失精度的情況下，改善了常規(guī)FEM在材料過(guò)渡區(qū)網(wǎng)格鋸齒狀的不足，更合理地反映了混凝土材料過(guò)渡區(qū)的真實(shí)狀態(tài)。基于圖像進(jìn)行網(wǎng)格剖分可望把工程師從繁雜的網(wǎng)格剖分工作中解脫出來(lái)，充分利用先進(jìn)的計(jì)算技術(shù)，提高建模效率。同時(shí)，SBFE網(wǎng)格允許存在懸掛節(jié)點(diǎn)，給網(wǎng)格過(guò)渡帶來(lái)了極大的方便。平衡八叉樹(shù)剖分對(duì)求解域表面進(jìn)行離散更加簡(jiǎn)單便捷，可以降低計(jì)算成本，為混凝土類(lèi)非均質(zhì)結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算提供了一種新的途徑。

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（編輯：鄭 毅）

引用本文：

杜成斌，鄭偉康.基于八叉樹(shù)SBFE網(wǎng)格的混凝土細(xì)觀模型生成方法

[J].人民長(zhǎng)江，2021，52（8）：179-185.

A concrete mesoscopic model generation method based on octree scaled

boundary finite element mesh

DU Chengbin，ZHENG Weikang

（ College of Mechanics and Materials，Hohai University，Nanjing 211100，China ）

Abstract：

In order to accurately reflect the geometric shape and material properties of the concrete transition area，the local mesh of the concrete structure transition area was densified by image-based octree mesh densification technology.We use the balanced octree partition algorithm to divide spatial elements.Firstly，the structure was discretized into several sub-element based on the voxels of the maximum element size.Then，the elements were further subdivided according to the color intensity uniformity standard until every voxel in the unit met the color intensity threshold condition.Finally，the octree grid was formed according to the 2：1 principle.Compared with the conventional finite element model，the three-dimensional scaled boundary finite element method allowed the existence of hanging nodes，so that the generated model had the advantages of simple domain solution，fast mesh transition and fewer element modes.Combined with the semi-analytical three-dimensional scaled boundary finite element method，the octree mesh was very convenient to solve the stress and deformation of concrete heterogeneous materials with less calculation workload and high precision，which provided a new way for the mechanical modeling and calculation of concrete heterogeneous materials.Numerical examples demonstrated the correctness and feasibility of the proposed method.

Key words：

octree;concrete;mesoscopic model;grid transition;scaled boundary finite element method