一種通用的基于斯托克斯流的復(fù)雜流束輪廓工程方法

楊振宇，南浪，岑浩璋

Department of Mechanical Engineering, The University of Hong Kong, Hong Kong 999077, China

1. 引言

在微流控管道中，由于較小的管道尺寸和較高的液體黏度，流體通常處于低雷諾數(shù)（Re）的層流狀態(tài)。雷諾數(shù)可定義為Re=U·L/v，其中U是管流的平均流速，L是管道的水力直徑，v是工作液體的運(yùn)動(dòng)黏度。雷諾數(shù)代表了流體中慣性力和黏性力的相對(duì)重要程度。不同于傾向形成分散流體結(jié)構(gòu)的多相流[1,2]，單相流的流束在無(wú)外部干擾的情況下會(huì)在形狀規(guī)則的管道中保持穩(wěn)定不變的截面分布[3]。很多流體工程方法得到開發(fā)，可實(shí)現(xiàn)諸如生物分子分析[4]、高通量篩選[5]、化學(xué)反應(yīng)控制[6-8]等需要調(diào)整管流分布的芯片實(shí)驗(yàn)室功能。其中一些方法特意增加流體的不穩(wěn)定性以實(shí)現(xiàn)湍流混合，但其流束輪廓未得到約束和控制[9]。盡管主動(dòng)式高效操縱流體分布的方法，如電驅(qū)動(dòng)[10]或磁驅(qū)動(dòng)[11]已被廣泛研究，但這些方法要求復(fù)雜的理論分析來實(shí)現(xiàn)精細(xì)的流動(dòng)控制，并且專用的儀器設(shè)備以及復(fù)雜的系統(tǒng)搭建進(jìn)一步阻止了這些方法的廣泛應(yīng)用。相反，一些被動(dòng)式方法使用諸如人字形溝槽[12]、擴(kuò)容腔室[13]或球型障礙[14]等特殊管道結(jié)構(gòu)來生成管道內(nèi)的橫向二次流，并通過這些管道結(jié)構(gòu)的集成，實(shí)現(xiàn)流體動(dòng)力學(xué)聚焦[15-17]、三維形狀微粒和纖維制備[18-20]，以及用于顆粒聚集和分類的特定的流體泳動(dòng)[21,22]。盡管這些流束輪廓編輯方法得到成功應(yīng)用，但通常需要重復(fù)利用基礎(chǔ)二次流范式而產(chǎn)生流束輪廓。此外，管道結(jié)構(gòu)和流場(chǎng)的特定對(duì)應(yīng)關(guān)系使得這些管道結(jié)構(gòu)很難被推廣用于產(chǎn)生不同形狀的流束輪廓，生成新流束輪廓的管道設(shè)計(jì)過程仍然需要反復(fù)的嘗試和修正，進(jìn)而限制了設(shè)計(jì)過程的效率。因此，建立系統(tǒng)的流束輪廓編輯方法是十分必要的。

為了解決這個(gè)問題，研究人員發(fā)明了基于可配置的微管道結(jié)構(gòu)的流體動(dòng)力學(xué)聚焦方法，用于產(chǎn)生多種復(fù)雜流束輪廓[23,24]。這些方法在微流控管道內(nèi)放置了按特定順序排列的嵌入管壁式條形溝槽或微立柱，實(shí)現(xiàn)流動(dòng)聚焦和塑形。通過調(diào)整立柱的橫向位置和尺寸，可輕易調(diào)整二次流方向和作用范圍，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)流束輪廓的可定制調(diào)控[14]。此外，這些方法可以通過程序來設(shè)計(jì)和預(yù)測(cè)管道最終輸出的流束輪廓[24]。通過優(yōu)化程序設(shè)計(jì)，可以根據(jù)目標(biāo)輸出輪廓反向設(shè)計(jì)微結(jié)構(gòu)的序列[25]。借助這類方法，可制備三維結(jié)構(gòu)微粒和纖維[23,26]，實(shí)現(xiàn)細(xì)胞聚焦和包裹[27]等多種應(yīng)用。這些方法性能卓越，但絕大多數(shù)都在慣性流范圍內(nèi)操控流體，慣性流對(duì)環(huán)境變化反應(yīng)十分靈敏，在慣性流范圍內(nèi)特定的輪廓編輯需要精確再現(xiàn)流體屬性（如流體黏度）和流動(dòng)狀態(tài)（如雷諾數(shù)），因此所產(chǎn)生的輪廓易于受到流速波動(dòng)的影響[28]，導(dǎo)致在特定流體環(huán)境下設(shè)計(jì)的輪廓難以在不同的流體環(huán)境中復(fù)現(xiàn)。此外，這些方法使用的微結(jié)構(gòu)不僅會(huì)引起管流的慣性行為，還會(huì)因自身的不規(guī)則形狀被動(dòng)地改變流體的分布。這兩種效果的耦合使微結(jié)構(gòu)的形狀與二次流運(yùn)動(dòng)的關(guān)系更加復(fù)雜，因此，微結(jié)構(gòu)幾何形狀的改變可能會(huì)帶來難以預(yù)測(cè)的二次流變化，導(dǎo)致微結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)過程沒有明確的指導(dǎo)性原理。不同于慣性流，斯托克斯流中的慣性力遠(yuǎn)小于源于管道邊界的黏性力。盡管慣性是所有流動(dòng)系統(tǒng)的固有屬性，但在許多低雷諾數(shù)（Re＜ 1）的微流控環(huán)境、高黏性雙水相系統(tǒng)以及高分子聚合物流體中可以忽略不計(jì)[26]。因此，斯托克斯流對(duì)于流體環(huán)境變化反應(yīng)不靈敏的特性可以促進(jìn)微流控環(huán)境中流束輪廓的編輯。

本文報(bào)道了一種適用于斯托克斯流范圍的流體系統(tǒng)的流束輪廓編輯方法，我們將其定義為“非慣性流體塑形”。以序列排布的微階梯作為流體操控單元，研究階梯改變流場(chǎng)分布的性能。為加速流束輪廓設(shè)計(jì)，我們開發(fā)了一個(gè)基于流束輪廓區(qū)域劃分和對(duì)應(yīng)流線追蹤的輪廓預(yù)測(cè)程序，所預(yù)測(cè)的輪廓與實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果高度一致。利用這些工具，我們進(jìn)一步證明了本方法可生成多種形式的流束輪廓。相比傳統(tǒng)的流束輪廓編輯方法，本方法可生成對(duì)流場(chǎng)波動(dòng)不敏感的流束輪廓，而且微流控管道可廣泛應(yīng)用于多種不同流體材料和流量組合。

2. 研究方法

2.1. 微階梯近場(chǎng)流體分布的數(shù)值研究

在本研究中，微階梯成對(duì)交錯(cuò)式分布于微管道的上下壁面。通過計(jì)算流體力學(xué)（CFD）獲取流線和管道出入口的流束輪廓，來驗(yàn)證不同形狀的微階梯重新分布流體的效果。為了可視化單個(gè)階梯附近的流束輪廓變化，追蹤流體中無(wú)質(zhì)量粒子的軌跡并且標(biāo)記其與管道上下游的橫截面交點(diǎn)的集合。仿真中，管流被視為單相層流，并基于以下假設(shè)簡(jiǎn)化模型：因?yàn)榱黧w處于斯托克斯流范圍，所以在求解流體系統(tǒng)的質(zhì)量與動(dòng)量守恒方程過程中未加入湍流模型；假設(shè)流體系統(tǒng)的環(huán)境溫度恒定，并且管道中流體溫度均勻一致，則可以忽略熱傳遞對(duì)流場(chǎng)的影響；微流控管道的壁面被視為剛性并且不可滲透；管道入口條件定義為與實(shí)驗(yàn)條件一致的恒定流量流入，管道出口壓強(qiáng)設(shè)定為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓。使用商業(yè)軟件 Fluent（ANSYS Ⅰnc., USA）對(duì)仿真案例進(jìn)行計(jì)算分析。

2.2. 給定微階梯序列的輸出流束輪廓的程序預(yù)測(cè)

通過程序?qū)⑽⒘骺毓艿廊肟谔幜魇喞x散為流體微元，并將其沿流線變換至管道出口處輪廓上的相應(yīng)位置，以實(shí)現(xiàn)管道出入口之間的流束輪廓轉(zhuǎn)換。每個(gè)流體微元的橫向位移由仿真計(jì)算所得的穿過其初始位置的跡線決定。首先，入口處的流束輪廓圖案被離散為網(wǎng)格化的“像素”，每個(gè)像素的尺寸與該像素上速度的面積積分成反比，以保證穿過每個(gè)像素的流量都相等。其次，根據(jù)每個(gè)像素所在的行列位置確定像素的坐標(biāo)。假設(shè)每個(gè)像素上流過的流體都具有相同的溶質(zhì)濃度或熒光強(qiáng)度，則每個(gè)像素特征都可以用單一值來表示。因此，流束輪廓圖像可被示為二維數(shù)值矩陣。再次，為獲得僅包含單個(gè)微階梯的管道的出入口流束輪廓圖像上不同位置的流體微元的映射關(guān)系，通過仿真計(jì)算得到兩輪廓圖像之間的流線。提取流線與出入口流束輪廓像素的交點(diǎn)位置并將其轉(zhuǎn)換為像素坐標(biāo)，像素坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系即為出入口流束輪廓的像素映射關(guān)系。在流束輪廓轉(zhuǎn)換過程中，入口流束輪廓圖像對(duì)應(yīng)的數(shù)值矩陣中的元素值會(huì)按照像素映射關(guān)系重新排列位置以構(gòu)建出口處輪廓圖像。如果仿真中有數(shù)條流線始于同一像素，則該像素對(duì)應(yīng)的矩陣元素值將被平均分到每條流線上。每個(gè)微階梯的輪廓轉(zhuǎn)換函數(shù)只需計(jì)算一次，并且可以儲(chǔ)存在函數(shù)庫(kù)中供后續(xù)使用。對(duì)于具有多個(gè)順序排列的微階梯的管道，通過對(duì)入口流束輪廓的數(shù)值矩陣依次疊加每個(gè)微階梯的輪廓轉(zhuǎn)換函數(shù)即可得到出口的輪廓矩陣。最后，根據(jù)出口輪廓矩陣中每個(gè)元素的值和坐標(biāo)確定對(duì)應(yīng)像素的特征和尺寸，進(jìn)而重建出口流束輪廓圖像。此外，管道中流場(chǎng)的俯視圖可以根據(jù)沿豎直方向累加輪廓矩陣元素所得的一維矩陣重建得到。該程序使用Python 3.7語(yǔ)言編寫，并使用了NumPy 1.18.1、SciPy 1.4.1、Pandas 1.0.1，以及Pycairo 1.19.1代碼包。

2.3. 特殊結(jié)構(gòu)管道的微加工

為使每個(gè)微階梯附近的流體分布不受其他微階梯影響，在入口管道交匯處和每個(gè)微階梯之間需提供足夠大的距離，以確保微階梯影響范圍之外的流體都能得到充分發(fā)展。為了更好地對(duì)準(zhǔn)兩層聚二甲基硅氧烷（PDMS）板，需在每塊板上布置三角形和矩形結(jié)構(gòu)作為對(duì)準(zhǔn)標(biāo)記，并沿著微流控管道兩側(cè)分布以精確對(duì)準(zhǔn)兩塊板上管道的空間位置和管道內(nèi)精細(xì)結(jié)構(gòu)（見附錄A中的圖S1）。管道的頂部和底部管壁都有微階梯，因此將管道沿水平中心平面分成兩部分分別制造。每個(gè)部分都包含單層的微結(jié)構(gòu)（見附錄A中的圖S2）。包含各個(gè)微流控管道部分的PDMS板由傳統(tǒng)光刻翻模成型技術(shù)制作。首先，將SU-8光刻膠（SU-8 2075, Kayaku Advanced Materials, USA）旋涂在硅片（N100, UniversityWafer, USA）上，并通過光刻制作管道模具。隨后，將PDMS（Sylgard 184, Dow Corning, USA）澆鑄到模具上，并在65 ℃下烘烤6 h，固化至高硬度。包含管道底層結(jié)構(gòu)的PDMS板從模具上剝離后，首先用等離子體清洗機(jī)（PDC-002, Harrick, USA）激活其表面，然后將其鍵合到載玻片（ⅠSOLAB, Germany）上，隨后與頂層PDMS板鍵合，在95 ℃下進(jìn)一步烘烤以加強(qiáng)鍵合面的強(qiáng)度。在每次實(shí)驗(yàn)前，向管道注入乙醇對(duì)管壁進(jìn)行親水處理，以防管道結(jié)構(gòu)的尖角處有氣泡殘留。

2.4. 流束輪廓的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證定制的流束輪廓，我們使用了由80%的甘油（Sigma-Aldrich, USA）和20%的去離子水構(gòu)成的高黏性混合物作為管流液體來保證斯托克斯流狀態(tài)。為了實(shí)現(xiàn)單相流中不同流束輪廓的可視化，用濃度為2 mg·L-1的熒光素對(duì)目標(biāo)流進(jìn)行標(biāo)記。使用注射泵組（neMESYS 290N, CETONⅠ, Germany）將染色液體和透明液體從不同分支入口注入管道，形成垂直色帶形狀的入口流束輪廓。通過修改入口處各支流的相對(duì)流速來調(diào)整流束輪廓的寬度和位置。在流體達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)后，使用熒光顯微鏡（Leica Camera, Germany）拍攝流束分布的俯視圖，并使用共聚焦顯微鏡（LSM 710 NLO, ZEⅠSS, Germany）和圖像處理軟件（ZEN2010 Black Edition, ZEⅠSS, Germany）獲取橫截面處的流束輪廓。

3. 結(jié)果與討論

3.1. 非慣性流體塑形的表現(xiàn)和可行性

我們?cè)诰匦谓孛娴奈⒐艿纼?nèi)，部署了具有幾何形狀的微階梯來誘導(dǎo)流動(dòng)變形。當(dāng)無(wú)慣性流體流經(jīng)這些階梯時(shí)，管道形狀的變化導(dǎo)致流體原本的空間排列被打亂，流束輪廓隨之變形。管道中每個(gè)微階梯都是獨(dú)立的流體編輯單元，并且不同的幾何形狀引起不同的輪廓變形。依次部署不同幾何形狀的階梯以產(chǎn)生多種復(fù)雜的流束輪廓（圖1）。本方法所應(yīng)用的以序列的微結(jié)構(gòu)來編輯流束輪廓的概念與之前報(bào)道的研究方法類似[24,29]，但先前的方法利用流體的慣性來引發(fā)橫向二次流，因此只能在雷諾數(shù)相對(duì)較高（Re＞ 5）的環(huán)境下生效。此外，流體的慣性行為對(duì)流速和管道邊界的幾何形狀的變化非常靈敏。因此，為了在預(yù)先確定的工作流體中編輯所需的輪廓，流動(dòng)環(huán)境條件必須是唯一且穩(wěn)定的。

圖1. 非慣性流體塑形方法的概述。微階梯交替地部署在微管道頂壁和底壁上。目標(biāo)流體的流束輪廓在經(jīng)過序列的微階梯時(shí)逐步成形。微管道上方紅色邊框的圖像為微管道中橙色線條所示位置的流場(chǎng)分布的俯視圖。第一、二、四個(gè)微階梯為非對(duì)稱人字形，且兩側(cè)邊的斜角為60°；第三個(gè)微階梯與微管道軸線呈60°角。微管道下方圖像為每個(gè)橫截面位置對(duì)應(yīng)的流束輪廓（比例尺：50 μm）。

在流束輪廓編輯工程中很少考慮使用斯托克斯流，因?yàn)樗臒o(wú)慣性表現(xiàn)使流束輪廓在流體微元流經(jīng)簡(jiǎn)單障礙物（如立柱和球體）時(shí)無(wú)法產(chǎn)生不可逆形變[14,24]。因此，基于斯托克斯流的流束輪廓編輯工程需要更復(fù)雜的管內(nèi)微結(jié)構(gòu)。為了模擬研究斯托克斯流體系中流體產(chǎn)生變形的條件，我們數(shù)值模擬了不同形狀的階梯周圍的流體分布[圖2（a）]。模擬發(fā)現(xiàn)流束輪廓變形分為兩個(gè)階段：第一個(gè)階段，原本矩形條狀的流束輪廓被非線性地壓縮以適應(yīng)階梯上游部分的截面形狀，階梯幾何形狀的變化使局部流動(dòng)向階梯面的法線方向偏轉(zhuǎn)；第二個(gè)階段，被壓縮的流束輪廓恢復(fù)為矩形條狀，階梯近端的二次流向階梯下游側(cè)面的反法線方向偏轉(zhuǎn)[圖2（b）]。為了恢復(fù)初始的流束輪廓，所有發(fā)生位移的流體微元必須返回至其原本的橫截面位置。前后對(duì)稱的階梯確保了流體微元將沿著前后相反的路徑移動(dòng)到原來的位置，而橫向?qū)ΨQ的階梯確保了各個(gè)方向的流體微元將有相等的位移。因此，微階梯需要前后對(duì)稱或橫向?qū)ΨQ以便使流束輪廓在流體微元流經(jīng)階梯前后時(shí)保持一致。軸向或橫向沒有幾何對(duì)稱的階梯將導(dǎo)致輪廓的擠壓和恢復(fù)無(wú)法相互平衡，引發(fā)流束輪廓最終變形。

與慣性流對(duì)流動(dòng)環(huán)境條件敏感的特點(diǎn)不同，斯托克斯流的行為受流動(dòng)環(huán)境條件影響較小。我們用數(shù)值模擬研究了不同流速下階梯附近的流體分布。當(dāng)雷諾數(shù)低于1時(shí)，無(wú)論管道的尺度或總流量如何變化，每個(gè)階梯輸出的流束輪廓是不變的[圖3（a）]。而在雷諾數(shù)為5和10的情況下，階梯輸出的流束輪廓均發(fā)生了不同的形變，表明慣性流的存在。因此，本方法適用于雷諾數(shù)小于1的情況，此時(shí)，慣性力的影響可以忽略不計(jì)，階梯的幾何形狀決定了附近流體的重新分布。因此，一旦確定了管道內(nèi)的階梯結(jié)構(gòu)，就可在斯托克斯流范圍內(nèi)的多種不同流動(dòng)環(huán)境條件下，使用該管道產(chǎn)生一致的二次流。

階梯對(duì)流體的重新分布可通過修改階梯的幾何形狀、尺寸和位置來調(diào)整。為了減少定義階梯所需的參數(shù)，我們使用四棱柱作為階梯的基本組成部分，其兩側(cè)面平行于管道的軸向，上下游方向的面傾斜于管道的軸線，并且所有的階梯都具有統(tǒng)一的高度。這種階梯架構(gòu)可確保只有上下游方向的階梯側(cè)面參與調(diào)節(jié)流體形變。通過調(diào)整階梯上游和下游側(cè)面的軸向傾角以改變流束輪廓的局部形狀。此外，還可以平行連接多個(gè)階梯的基本組成部分，形成復(fù)合形狀的階梯，從而實(shí)現(xiàn)更多樣化方向和幅度的流動(dòng)變形。由于階梯只改變其附近有限區(qū)域的流束輪廓，因此可通過調(diào)整階梯的大小和橫向位置以控制輪廓局部變形的程度和范圍。

圖2. 斯托克斯流范圍內(nèi)不同微階梯引發(fā)的流束輪廓形變。（a）圓柱形微階梯（左圖）、直邊分別正交和平行于管道軸線的半圓柱形微階梯（中圖），以及直邊呈一定傾角的半圓柱形微階梯（右圖）附近的流體分布；（b）微階梯上游、附近和下游的流束輪廓（黃色和紅色邊線的流束輪廓對(duì)應(yīng)于俯視圖中黃色和紅色邊線標(biāo)示的橫截面位置；流束輪廓由流線與橫截面的交點(diǎn)組成）。

在管道內(nèi)依次部署各種配置的階梯以產(chǎn)生更復(fù)雜的流束輪廓。相鄰微階梯的間距足夠大，以確保微階梯之間的流體可以充分發(fā)展，以使每個(gè)階梯可獨(dú)立轉(zhuǎn)換輪廓。由于階梯對(duì)流束輪廓的轉(zhuǎn)換是非線性的，因此階梯的順序也會(huì)影響輸出的流束輪廓。由于對(duì)每個(gè)階梯的參數(shù)值的定義不受限制，而且可能的參數(shù)值組合隨階梯序列長(zhǎng)度呈指數(shù)增長(zhǎng)，因此利用本方法生成的流束輪廓的數(shù)量在理論上是無(wú)窮多的。然而，由于階梯和管道的高度比通常保持在0.5以下，因此階梯對(duì)面的管壁附近的輪廓幾乎不受影響。另外，過度提高階梯高度會(huì)明顯擠壓流體并可能引起流體的慣性表現(xiàn)。因此，將所有的階梯部署在單一的管壁上難以編輯整個(gè)流束輪廓。相反，在上下相對(duì)的管壁上成對(duì)部署階梯分布，不僅可以產(chǎn)生全局的二次流動(dòng)，而且還可以通過頂部和底部管壁上的不同階梯組合來改變流束輪廓[圖3（b）]。然而，這種微管道需要微機(jī)械加工[29]等復(fù)雜的制造工藝和設(shè)備，而這些方法很難基于常規(guī)的單層PDMS結(jié)構(gòu)制備技術(shù)實(shí)現(xiàn)。為了解決這個(gè)問題，階梯被交替放在兩個(gè)相對(duì)的管壁上，階梯與管道高度比為0.5。因此，管道結(jié)構(gòu)可以被分解為兩個(gè)單層的PDMS結(jié)構(gòu)，研究人員可在不經(jīng)特殊培訓(xùn)的情況下，將兩層PDMS結(jié)構(gòu)在光學(xué)顯微鏡下準(zhǔn)確地手動(dòng)對(duì)準(zhǔn)鍵合。通過結(jié)合數(shù)值設(shè)計(jì)和雙層微管道結(jié)構(gòu)制備方法，顯著降低了微管道階梯設(shè)計(jì)和制造的復(fù)雜程度，從而加快了生成復(fù)雜流束輪廓的管道設(shè)計(jì)和原型制造進(jìn)度。雖然在當(dāng)前管道結(jié)構(gòu)框架下相對(duì)管壁上的階梯是呈交錯(cuò)單獨(dú)排列的，但仍然與成對(duì)部署的階梯有相似的表現(xiàn)，并且可以協(xié)同改變流體形狀[圖3（c）]。

圖3. 不同配置的微階梯產(chǎn)生的二次流圖案。（a）單個(gè)微階梯在不同雷諾數(shù)情況下輸出的流束輪廓；（b）單個(gè)微階梯與成對(duì)微階梯產(chǎn)生的流束輪廓形變效果的比較（點(diǎn)云表示來自不同管道入口的流線與橫截面的交點(diǎn)，箭頭表示橫向二次流的趨勢(shì)）；（c）成對(duì)部署的階梯與交替部署的階梯產(chǎn)生的流束輪廓形變的比較（右下圖中橙色和綠色的流束輪廓分別是交替分布微階梯的微管道和成對(duì)分布微階梯的微管道中由數(shù)值方法預(yù)測(cè)的流束輪廓）。

3.2. 基于程序的流束輪廓的預(yù)測(cè)和驗(yàn)證

盡管用CFD方法能夠準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)單個(gè)階梯周圍的流束輪廓，但仿真計(jì)算具有多個(gè)階梯的管道則需要大量的網(wǎng)格，才能達(dá)到符合要求的總體誤差水平，因此在此情景下難以直接使用模擬計(jì)算。此外，每次管道局部結(jié)構(gòu)的調(diào)整都需要重新模擬計(jì)算整個(gè)管道的流場(chǎng)，極大限制了管道結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的效率。為了高效地預(yù)測(cè)給定階梯序列輸出的流束輪廓，先前的研究[25,30]把使用的微結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成獨(dú)立的變換函數(shù)，并將這些函數(shù)按階梯序列疊加。依據(jù)這種邏輯，我們開發(fā)了一種基于離散化流束輪廓的緊湊算法以實(shí)現(xiàn)流束輪廓的連續(xù)變換，原理如本文第2節(jié)所示。通過得出收斂且獨(dú)立于網(wǎng)格劃分的結(jié)果可確保CFD仿真結(jié)果的準(zhǔn)確性。盡管局部流場(chǎng)信息存在損失，模擬計(jì)算所得的流動(dòng)分布俯視圖在數(shù)個(gè)階梯后，仍能與實(shí)驗(yàn)結(jié)果高度吻合[圖4（a）]。

依照前述流程從計(jì)算出的流線信息建立流束輪廓轉(zhuǎn)換函數(shù)，并對(duì)輪廓矩陣的元素值以對(duì)稱的上下閾值進(jìn)行過濾，從而在數(shù)值誤差不變的條件下輸出完整輪廓。以與管道等寬的條形階梯為例，采用目前的模擬和轉(zhuǎn)換函數(shù)的參數(shù)設(shè)置，可以預(yù)測(cè)長(zhǎng)達(dá)15個(gè)微階梯序列的輸出流束輪廓和流動(dòng)分布俯視圖[圖4（c）]，預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果有較好的一致性。同時(shí)實(shí)驗(yàn)證明了輸出流束輪廓在流速?gòu)?00 μL·h-1（雷諾數(shù)約為9.6×10-4）到3200 μL·h-1（雷諾數(shù)約為7.7×10-3）的變化范圍內(nèi)都能保持穩(wěn)定一致，這表明該程序可以在不經(jīng)修改的條件下用于廣泛的流動(dòng)環(huán)境條件[圖4（d）]。本方法也可在雷諾數(shù)高于1的流動(dòng)環(huán)境下輸出與雷諾數(shù)低于1時(shí)產(chǎn)生的流束輪廓相似的輪廓（盡管會(huì)因慣性二次流的存在而產(chǎn)生輕微非線性扭曲，且該扭曲會(huì)隨著雷諾數(shù)的增加和階梯數(shù)的增加而加?。Ｒ虼?，為了確保各種流速和流體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的流束輪廓高度一致，我們建議僅在斯托克斯流范圍內(nèi)編輯流束輪廓。盡管本方法要求低雷諾數(shù)條件，但對(duì)于許多微流控應(yīng)用中使用的高黏度流體，流速仍然允許達(dá)到每秒數(shù)毫升的流量[圖4（e）]。然而，目前的輪廓轉(zhuǎn)換程序在按照流線分配和轉(zhuǎn)換輪廓矩陣值的過程中，部分輪廓像素值可能會(huì)逐漸損失減弱。因此，隨著微階梯數(shù)量的增加，整個(gè)輪廓像素強(qiáng)度會(huì)不可避免地減弱[圖4（b）]。這種系統(tǒng)誤差可通過進(jìn)一步縮小濾波器的通帶來減弱。此外，在預(yù)測(cè)微階梯序列輸出輪廓時(shí)，在轉(zhuǎn)換函數(shù)的迭代過程中，CFD仿真過程產(chǎn)生的輪廓信息丟失被放大，因而限制了可準(zhǔn)確預(yù)測(cè)流束輪廓的微階梯序列的最大數(shù)量。

3.3. 交替?zhèn)任㈦A梯的非慣性流體塑形

利用流束輪廓預(yù)測(cè)程序可以高效地研究交替部署于對(duì)側(cè)管壁的微階梯塑造流束輪廓的能力。我們?cè)诔醪綔y(cè)試中使用了4個(gè)微階梯的變換函數(shù)。將這些變換函數(shù)以不同的順序應(yīng)用于同一入口流束輪廓，得到了流體動(dòng)力學(xué)聚焦的具有不同細(xì)節(jié)特征組合的流束輪廓，比如圖5（a）輪廓中的不同朝向的鉤形尖端。這些特征可以根據(jù)用戶的需要使用不同的微階梯進(jìn)行專門調(diào)整，以實(shí)現(xiàn)不同的目標(biāo)功能。通過提高微階梯的數(shù)量和多樣性可以實(shí)現(xiàn)非直觀的流束輪廓轉(zhuǎn)化。此外，具有流體動(dòng)力學(xué)聚焦和輪廓圖形旋轉(zhuǎn)等特定輪廓轉(zhuǎn)換功能的管道結(jié)構(gòu)可以作為標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)模塊，被儲(chǔ)存到轉(zhuǎn)換函數(shù)庫(kù)中以直接應(yīng)用于功能更復(fù)雜的管道的設(shè)計(jì)。通過增加入口的條形輪廓的數(shù)量，可以生成由多個(gè)不同形狀的局部輪廓組成的復(fù)合流束輪廓。在實(shí)驗(yàn)中通過增加入口分支管道數(shù)量，并注入不同標(biāo)記的流體來控制入口處輪廓的條帶數(shù)量，從而形成復(fù)合輸入輪廓[圖5（b）]。一般來說，編輯流束輪廓的策略通常借助流體動(dòng)力學(xué)聚焦方法，使目標(biāo)流束遠(yuǎn)離管壁，然后使用簡(jiǎn)單形狀的階梯塑造流束輪廓的整體形狀，最后使用影響局部范圍的階梯塑造輪廓細(xì)節(jié)特征。

與以往基于慣性的輪廓編輯方法相比，本方法避免了對(duì)流體慣性表現(xiàn)的依賴，從而有利于低雷諾數(shù)場(chǎng)景中的輪廓塑造。此外，基于流動(dòng)慣性的方法（通過立柱[24]或其他在豎直方向上對(duì)稱的微結(jié)構(gòu)[29,31]來改變流束輪廓的形狀）很難生成非對(duì)稱的流束輪廓[23,24,29]。相比之下，本方法使用的階梯在避免增加管道結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度的同時(shí)可自由設(shè)置其對(duì)稱性，因此可以擴(kuò)展到非對(duì)稱輪廓的編輯。

圖4.（a）CFD仿真與實(shí)驗(yàn)觀察所得的流體分別經(jīng)過5個(gè)60°傾角微階梯和3個(gè)30°傾角微階梯后的流線分布的比較（比例尺：100 μm）。（b）經(jīng)過20次迭代變形后的流束輪廓及其對(duì)應(yīng)的流場(chǎng)分布俯視圖的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相匹配，圖中#5、#10、#20分別表示經(jīng)過5、10、20個(gè)微階梯后的流束輪廓的預(yù)測(cè)圖案。（c）流體流過15個(gè)微階梯后形成的流束輪廓的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果（比例尺：50 μm）。（d）實(shí)驗(yàn)中同一構(gòu)造的微流控管道在不同流量條件下生成的流束輪廓。實(shí)驗(yàn)中微管道橫截面上的流束輪廓由共聚焦顯微鏡拍攝的豎直方向?qū)盈B的微管道圖像重組得到，微管道中流體分布俯視圖由熒光顯微鏡拍攝（比例尺：50 μm）。（e）不同流體黏度和流量下的流束輪廓的相圖（圖中藍(lán)色背景區(qū)域?yàn)榉菓T性流體范圍，黃色背景區(qū)域?yàn)閼T性流束輪廓編輯范圍；相線上的流體的雷諾數(shù)等于1，相線以上的流體環(huán)境開始出現(xiàn)明顯的慣性二次流；圖中的流束輪廓均在同一微管道內(nèi)產(chǎn)生，各流束圖像在相圖中的位置對(duì)應(yīng)其所在流體環(huán)境的黏度和流量）。

為了使輪廓編輯方法具有通用性，流束輪廓必須在廣泛的流動(dòng)環(huán)境條件下具有可重復(fù)性。在傳統(tǒng)流束輪廓編輯方法中，流束輪廓的形變?nèi)Q于管道內(nèi)結(jié)構(gòu)的幾何形狀和流動(dòng)的慣性以及流量等條件。因此，設(shè)計(jì)過程中使用的特定流動(dòng)條件限制了流束輪廓的復(fù)現(xiàn)。工作流體材料的變化或流動(dòng)環(huán)境的波動(dòng)可能會(huì)導(dǎo)致輪廓的顯著變形[23]，使得用傳統(tǒng)方法設(shè)計(jì)的流束輪廓很難在相同的管道設(shè)置下用不同的流體材料或流動(dòng)環(huán)境來再現(xiàn)。相比之下，無(wú)慣性流的流動(dòng)分布只取決于管道的邊界形狀，只要滿足斯托克斯流動(dòng)條件，任何黏度的流體或流速都可以被重現(xiàn)設(shè)計(jì)所需的流束輪廓（表1）。在實(shí)驗(yàn)中，即使流量被擴(kuò)大8倍，實(shí)驗(yàn)觀察到的流束輪廓仍然是一致的[圖4（d）]。此外，歸一化的流束輪廓對(duì)管道長(zhǎng)寬比的變化不敏感。因此，結(jié)構(gòu)相似但長(zhǎng)寬比不同的管道仍可生成高度相似的流束輪廓[圖5（c）]。對(duì)流動(dòng)環(huán)境條件和管道幾何形狀的依賴的減少，極大簡(jiǎn)化了流束輪廓的設(shè)計(jì)過程。此外，對(duì)于設(shè)計(jì)好的流束輪廓和相應(yīng)的管道結(jié)構(gòu)，可以在各種應(yīng)用場(chǎng)景中對(duì)其進(jìn)行循環(huán)使用，而不需要根據(jù)具體的流動(dòng)環(huán)境條件進(jìn)行調(diào)整。盡管有諸多優(yōu)點(diǎn)，非慣性流動(dòng)塑形方法也有局限性。在模擬中，管壁被假定為無(wú)滑動(dòng)邊界，但現(xiàn)實(shí)中的流體在管壁上有滑移。理論上，管壁的浸潤(rùn)性會(huì)影響流體滑移的強(qiáng)度，從而影響管道中的流動(dòng)分布[32]。實(shí)驗(yàn)中觀察到的流動(dòng)分布和程序預(yù)測(cè)結(jié)果之間沒有明顯差異，說明階梯的浸潤(rùn)性對(duì)流動(dòng)分布的影響很小。然而，當(dāng)將工作流體從甘油溶液轉(zhuǎn)換為硅油后，管壁浸潤(rùn)性發(fā)生了巨大變化，流束輪廓可能會(huì)受到明顯的變化（見附錄A中的圖S3）。因此，非慣性流動(dòng)塑形方法更適合PDMS管道與水基的流體所組成的系統(tǒng)。此外，本方法的適用流速范圍比傳統(tǒng)基于慣性流的方法小一到兩個(gè)數(shù)量級(jí)，相對(duì)限制了微管道制備纖維或微粒的效率。

圖5. 由程序設(shè)計(jì)和預(yù)測(cè)的流束輪廓。（a）同一組微階梯可以實(shí)現(xiàn)不同的細(xì)節(jié)特征（階梯①和③為非對(duì)稱人字形，側(cè)邊與管道軸線呈60°夾角，階梯②和④分別由階梯①和③沿管道軸線鏡像得到）；（b）可生成的流束輪廓示例（所使用的微階梯組和微階梯序列見附錄A中的表S1和表S2）；（c）不同寬高比（1和0.75）下流束輪廓的變化。

表1 非慣性流動(dòng)塑形和基于慣性的流束輪廓方法的比較

4. 結(jié)論

本工作中，我們提出了一種適用于斯托克斯流范圍的基于微階梯的通用流束輪廓編輯方法。通過調(diào)整階梯的幾何形狀、大小和橫向位置以定制流束輪廓的變形。通過在管道內(nèi)依次排列各種階梯以生成復(fù)雜的流束輪廓。此外，我們還開發(fā)了離散化流束輪廓轉(zhuǎn)換程序以預(yù)測(cè)管道輸出的流束輪廓，預(yù)測(cè)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果有很好的一致性。與傳統(tǒng)的流束輪廓工程方法相比，非慣性流動(dòng)塑形方法可生成更多樣的流束輪廓。在斯托克斯流范圍內(nèi)運(yùn)作的特性賦予其簡(jiǎn)化的輪廓設(shè)計(jì)流程，可以方便地推廣應(yīng)用于多種流動(dòng)條件和流體材料。本方法為雷諾數(shù)低于1的流動(dòng)體系的流束輪廓編輯工程提供了實(shí)踐指導(dǎo)，從而促進(jìn)了其在異形微纖維和微粒制備過程中的應(yīng)用。

致謝

本工作得到了香港研究資助局（RGC）的優(yōu)配研究金（17306315、17304017和17305518）和研究影響基金（R7072-18）、國(guó)家自然科學(xué)基金委員會(huì)（NSFC）優(yōu)秀青年科學(xué)基金項(xiàng)目（香港和澳門，21922816）、香港大學(xué)2017/2018年度戰(zhàn)略性跨學(xué)科研究計(jì)劃種子資金（Seed Funding for Strategic Ⅰnterdisciplinary Research Scheme）以及四川省科技計(jì)劃（2018JZ0026）的資助。感謝任勇博士對(duì)中文譯稿給予的建設(shè)性的指導(dǎo)和意見。

Compliance with ethics guidelines

Zhenyu Yang, Lang Nan, and Ho Cheung Shum declare that they have no conflict of interest or financial conflicts to disclose.

Appendix A. Supplementary data

Supplementary data to this article can be found online at https://doi.org/10.1016/j.eng.2021.02.008.