“立足基礎(chǔ)，層層深入”的專題教學(xué)

鮑聰曉 董曉怡

摘? 要：數(shù)學(xué)專題教學(xué)設(shè)計(jì)，既要關(guān)注主題內(nèi)容的本質(zhì)，又要關(guān)注學(xué)生的能力基礎(chǔ). 從基礎(chǔ)出發(fā)，可以讓學(xué)生輕松切入研究主題，引導(dǎo)學(xué)生低起點(diǎn)、小步子、層層深入地進(jìn)行研究，使學(xué)生自然地發(fā)現(xiàn)方法、獲得經(jīng)驗(yàn)、運(yùn)用經(jīng)驗(yàn). 通過由淺入深地實(shí)施專題教學(xué)，激發(fā)學(xué)生的深度思考，促進(jìn)學(xué)生調(diào)動經(jīng)驗(yàn)有效解決問題，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：專題教學(xué);數(shù)學(xué)思想方法;深化思維;軸對稱

在教學(xué)中，教師常設(shè)計(jì)專題課來加強(qiáng)學(xué)生對知識或方法的深度理解與靈活應(yīng)用. 專題教學(xué)不僅有利于學(xué)生歸納、概括出知識綜合應(yīng)用的范圍，還有利于學(xué)生歸納出同類問題的解題規(guī)律與方法，在提升學(xué)生分析問題和解決問題能力方面有著不可替代的作用.

在教學(xué)中，很多教師以關(guān)注知識或方法的綜合運(yùn)用范圍來設(shè)計(jì)專題，這種設(shè)計(jì)方式對知識的應(yīng)用關(guān)注較高，也強(qiáng)調(diào)了對數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，但卻缺乏深層次的挖掘，欠缺細(xì)化思維的引導(dǎo)，缺乏深化思維的思想方法運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)，往往使專題課變成相關(guān)問題的堆積，教學(xué)淺嘗輒止，最終學(xué)生的學(xué)習(xí)仍然只停留在對所考查知識的認(rèn)識層面，知道解題運(yùn)用了哪些知識方法，涉及了哪些數(shù)學(xué)思想，僅此而已. 專題教學(xué)要以相關(guān)知識為載體，在知識層面夯實(shí)根基，在應(yīng)用方面深挖數(shù)學(xué)思想，在思維層面拓展數(shù)學(xué)思維角度與思維深度，在數(shù)學(xué)思想層面引領(lǐng)學(xué)生探尋怎么思、怎么想，怎么運(yùn)用數(shù)學(xué)思想. 讓學(xué)生在專題研究中深度思考，探尋思維路徑，深化思維方法，對學(xué)生獲得經(jīng)驗(yàn)起著重要作用，直接影響著學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展. 下面筆者以“軸對稱的應(yīng)用”專題教學(xué)為例，將自己的思考整理如下.

一、梳理教學(xué)環(huán)節(jié)，認(rèn)識設(shè)計(jì)價(jià)值

1. 關(guān)注生活情境，夯實(shí)基礎(chǔ)知識

情境引入：呈現(xiàn)生活情境，播放折疊剪紙動畫.

師：在剛才的視頻中，你發(fā)現(xiàn)了哪種圖形變換？

生：軸對稱.

師：大家回憶一下軸對稱的相關(guān)知識.

通過學(xué)生的回答與補(bǔ)充，教師有條理地整理出軸對稱的相關(guān)概念和軸對稱的性質(zhì). 軸對稱的性質(zhì)主要有：成軸對稱的兩個(gè)圖形全等（延伸出“對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等”）;軸對稱圖形對應(yīng)點(diǎn)所連線段被對稱軸垂直平分;對稱軸上的任意一點(diǎn)到對應(yīng)點(diǎn)的距離相等;對應(yīng)線段或?qū)?yīng)線段所在的直線如果相交，那么交點(diǎn)一定在對稱軸上，且對稱軸所在的直線平分它們所夾的角.

【評析】通過設(shè)計(jì)知識應(yīng)用情境，有效調(diào)動學(xué)生回顧復(fù)習(xí)相關(guān)知識. 通過生活化的動畫直觀感知，引導(dǎo)學(xué)生回憶相關(guān)的圖形變換，結(jié)合圖形直觀，助力學(xué)生回顧軸對稱的性質(zhì)，讓學(xué)生從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識. 這樣的引入生動自然、直觀明了，容易引發(fā)學(xué)生思考相關(guān)知識，調(diào)動已有經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)知識和經(jīng)驗(yàn)的疊加，進(jìn)一步夯實(shí)基礎(chǔ)知識，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

2. 強(qiáng)調(diào)思想方法，理清思維路徑

類型1：軸對稱性在路徑最短問題中的應(yīng)用.

例1? 唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河.”詩中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題：如圖1，將軍在觀望烽火之后從山腳下的A地出發(fā)，走到一條筆直的河流邊l飲馬后再到B地宿營. 試問怎樣走才能使總路程最短？

[山峰A][營地B][河流l][圖1]

生1：如圖2，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)[A，] 連接[AB]交直線l于點(diǎn)P，沿線段AP，PB走才能使總路程最短.

[山峰A][營地B][河流l][圖2] [P]

師：為什么？

生2：如圖3，在直線l上任取異于點(diǎn)P的一點(diǎn)[P，] 連接[AP，AP，BP.] 由軸對稱的性質(zhì)，得[AP=AP，] [AP=AP.] 在[△APB]中，因?yàn)閇AP+BP>AP+BP]，所以[AP+][BP>AP+BP.] 所以[AP+BP]最短.

[山峰A][營地B][河流l][圖3] [P]

師：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是什么？

生3：關(guān)鍵是運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)，將點(diǎn)A，點(diǎn)B在直線l同側(cè)轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)分別在直線l異側(cè).

【評析】通過有趣的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用軸對稱的思想方法將新問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用已經(jīng)學(xué)過的知識解決問題. 從教材上的基礎(chǔ)應(yīng)用出發(fā)，學(xué)生很容易調(diào)動已有經(jīng)驗(yàn)解決問題，避免了“尷尬”地告訴學(xué)生答案，把教學(xué)重點(diǎn)落在“使學(xué)生能夠數(shù)學(xué)地思考”上. 通過學(xué)生思維過程的展示，讓學(xué)生體會軸對稱思想和轉(zhuǎn)化思想，既培養(yǎng)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，又為下面復(fù)雜問題的解決做出鋪墊.

3. 開闊思維角度，豐富思維經(jīng)驗(yàn)

類型2：軸對稱性在函數(shù)問題中的應(yīng)用.

例2? 已知拋物線[y=-x2+bx+4]經(jīng)過[-2，n]和[4，n]兩點(diǎn)，則n的值為（? ? ）.

（A）[-2] （B）[-4]

（C）2 （D）4

師：如何解決這個(gè)問題？

生4：將[-2，n]和[4，n]兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式，聯(lián)立方程組，解方程組即可.

師：我們知道二次函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，還有其他解決方法嗎？

生5：易知點(diǎn)[-2，n]和[4，n]關(guān)于對稱軸對稱，所以[-b2 ? -1=-2+42.] 解得[b=2.] 所以[y=-x2+2x+4.]

將點(diǎn)[-2，n]代入拋物線的解析式，解得[n=-4.]

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法：此題既可以用方程思想解決，也可以結(jié)合二次函數(shù)的圖象特征，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行思考. 拓寬解題思路，實(shí)現(xiàn)一題多解.

【評析】此題是將軸對稱性質(zhì)與平面直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)特征相結(jié)合，若學(xué)生不善于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法思考問題，就會選用代數(shù)方法通過聯(lián)立方程組解決問題. 教師通過追問，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行思考，結(jié)合函數(shù)圖象特征及坐標(biāo)特征探尋不同解法，這有利于學(xué)生在思維碰撞與沖突中拓寬思維，發(fā)展直觀想象素養(yǎng). 最后，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)方法，理順?biāo)季S，有利于學(xué)生形成經(jīng)驗(yàn).

例3? 如圖4，一次函數(shù)[y=][-x+b]與反比例函數(shù)[y=kx x>0]的圖象交于點(diǎn)[Am，3]和[B3，1.] 點(diǎn)P是線段AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作[PD⊥Ox]于點(diǎn)D，連接OP，若[△POD]的面積為S，則S的取值范圍是? ? ? .

師：請同學(xué)們自主探究，然后交流展示.

生6：由點(diǎn)[B3，1，] 易求得一次函數(shù)與反比例函數(shù)表達(dá)式分別為[y=-x+4，y=3x x>0.] 所以點(diǎn)[A1，3].

設(shè)點(diǎn)[Px，-x+4 1≤x≤3.] 則[S=12x-x+4=-12x2+][2x]. 當(dāng)[x=2]時(shí)，S取得最大值2;當(dāng)[x=1]或[x=3]時(shí)，S取得最小值[32.] 所以[32≤S≤2.]

師：觀察圖形，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到何處時(shí)，[△POD]的面積S取得最值？

生7：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，[△POD]的面積S取得最大值;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，[△POD]的面積S取得最小值.

師：結(jié)合圖形思考，你發(fā)現(xiàn)了什么？

學(xué)生小組討論后展示.

生8：圖中直線和雙曲線都關(guān)于直線[y=x]對稱，且根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義知，點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，[S△POD=k2=32]. 又因?yàn)閇S△POD]是關(guān)于x的二次函數(shù)，它的圖象也是軸對稱圖形，從軸對稱的角度分析可知，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，[△POD]的面積[S]取到最值，即當(dāng)[x=2]時(shí)，[S最大值=12×2×2=][2]. 所以[32≤S≤2.]

師：反思這兩種解題思路，談?wù)勀愕氖斋@.

生9：第一種方法是有條理的邏輯思維方法;第二種方法是數(shù)形結(jié)合，觀察圖形特征進(jìn)行探究，不僅形象、直觀，而且能快速得到結(jié)論.

師：數(shù)形結(jié)合思想對于我們解決問題有著重要的意義，借助圖形的幾何直觀，運(yùn)用對稱思想引領(lǐng)思維，可以開闊我們的思維角度.

【評析】二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都具有軸對稱性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，從軸對稱的角度分析可以更加快速地解決問題，也能使學(xué)生對函數(shù)圖象的對稱性有更加深刻的理解. 學(xué)生在層層深入的問題解法探索過程中獲得思維方法，逐漸形成思維經(jīng)驗(yàn). 教師的追問意在使研究進(jìn)一步深入，逐步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng). 合作交流的方式可以讓學(xué)生之間相互借鑒，體驗(yàn)一題多解，從而培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維. 教師引導(dǎo)學(xué)生反思，可以促使學(xué)生豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4. 適當(dāng)聯(lián)系拓展，實(shí)現(xiàn)思維深化

類型3：軸對稱性在折疊問題中的應(yīng)用.

例4? 在[△ABC]中，[∠C=90°，] [AC=BC=][62]，D是邊AB上的一點(diǎn)，將[∠B]沿著過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上的點(diǎn)P處（不與點(diǎn)A，C重合）.

（1）如圖5，過點(diǎn)D作[DH⊥AC]于點(diǎn)H，若[AD=7.]

① 尺規(guī)作圖：在圖中作出點(diǎn)P;

② 求DH和AP的長.

（2）若[AD=a]時(shí)，存在兩次不同的折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上兩個(gè)不同的位置，試直接寫出a的取值范圍.

[A][B][C][D][H][圖5]

師：如何作出點(diǎn)P？

生10：如圖6，由軸對稱的性質(zhì)，得[PD=BD.] 所以以點(diǎn)D為圓心、BD長為半徑畫弧，與AC的交點(diǎn)即為點(diǎn)P.

[A][B][C][D][H][圖6]

師：如何求DH和AP的長？

生11：如圖7，連接[P1D]. 因?yàn)閇AC=BC=62，][∠C=90°，] 所以[AB=12.] 因?yàn)閇AD=7，] 所以[P1D=BD=][5.] 因?yàn)閇DH⊥AC]于點(diǎn)H，所以[DH∥BC.] 所以[DHBC=][ADAB，] 即[DH62=712.] 解得[DH=722.] 在[Rt△P1DH]中，[P1H=P1D2-DH2=22.] 因?yàn)閇AH=DH=722，] 所以[AP1=AH+P1H=722+22=42.] 由圓的對稱性，得[P1H=][P2H.] 所以[AP2=AH-P1H=32].

[A][B][C][D][H][圖7]

師：如何求a的取值范圍呢？

生12：a的取值范圍為[6<a<24-122]. 因?yàn)辄c(diǎn)[P1]與點(diǎn)[P2]關(guān)于[DH]對稱，所以只需考慮AC與[⊙]D相切時(shí)，即點(diǎn)[P1，P2]都與點(diǎn)H重合，及圓的半徑等于直角三角形斜邊長的一半時(shí)，即點(diǎn)[P1，P2]分別與點(diǎn)A，C重合兩種特殊位置即可.

【評析】抽象的折疊問題使軸對稱的應(yīng)用進(jìn)一步深入. 學(xué)生在不能直觀看到折疊圖形的情況下，需要調(diào)動已有經(jīng)驗(yàn)，通過直觀想象，運(yùn)用軸對稱的性質(zhì)分析和解決問題. 此題通過設(shè)計(jì)尺規(guī)作圖，使學(xué)生的思維得以細(xì)化，加深了對軸對稱本質(zhì)的理解，進(jìn)而促使學(xué)生發(fā)現(xiàn)所作出圖形的軸對稱特征，優(yōu)化思維，減少計(jì)算. 整體設(shè)計(jì)從特殊情況的研究拓展到一般情況的折疊，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生在研究中體會從特殊到一般的思想方法，進(jìn)而靈活運(yùn)用分類及對稱的思想方法解決問題，實(shí)現(xiàn)思維深化.

5. 及時(shí)歸納總結(jié)，實(shí)現(xiàn)智慧升華

師：試結(jié)合下面的問題對本節(jié)課進(jìn)行總結(jié)交流.

（1）本節(jié)課重點(diǎn)研究了哪些問題？它們之間有什么關(guān)系？（知識聯(lián)系）

（2）在解決問題的過程中運(yùn)用了哪些思想方法？（思想方法）

（3）你收獲了哪些經(jīng)驗(yàn)？（經(jīng)驗(yàn)素養(yǎng)）

【評析】在一節(jié)課即將結(jié)束之際，教師通過問題引導(dǎo)學(xué)生從知識聯(lián)系、思想方法、經(jīng)驗(yàn)獲得、素養(yǎng)發(fā)展等方面進(jìn)行歸納總結(jié)，意在讓學(xué)生對本節(jié)課的學(xué)習(xí)有一個(gè)更清晰、更系統(tǒng)的認(rèn)識. 本節(jié)課由淺入深的問題設(shè)計(jì)，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)方法、獲得經(jīng)驗(yàn)、運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)變得更加自然，活躍了學(xué)生的思維，激發(fā)了學(xué)生的求知欲望，增強(qiáng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)信心，從精神上和能力上為學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ).

二、反思教學(xué)過程，提煉教學(xué)理念

1. 關(guān)注認(rèn)知基礎(chǔ)，探尋思維起點(diǎn)

專題課的設(shè)計(jì)要關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)和思維起點(diǎn). 教師充分認(rèn)識學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識和經(jīng)驗(yàn)是確定教學(xué)出發(fā)點(diǎn)的依據(jù). 把握學(xué)生要掌握的知識和經(jīng)驗(yàn)與已有認(rèn)知基礎(chǔ)的“距離”是教師進(jìn)行有效教學(xué)設(shè)計(jì)的依據(jù). 本節(jié)課從學(xué)生具備的“知識根基”出發(fā)，選取研究問題的“出發(fā)點(diǎn)”，從簡單到復(fù)雜，層層深入地呈現(xiàn)問題. 設(shè)計(jì)的4道例題由基礎(chǔ)到綜合，讓學(xué)生經(jīng)歷由淺入深解決問題的過程，使學(xué)生的思維從起點(diǎn)生發(fā)到逐漸深化變得自然，有“柳暗花明又一村”之妙.

2. 凸顯學(xué)生思維，助力能力提升

通過問題逐步延伸，促使學(xué)生思維不斷深化. 本節(jié)課，在4道例題的解決中，教師對學(xué)生不同的思考方法有不同的預(yù)設(shè)，并且通過追問引導(dǎo)學(xué)生說出思維角度和思維過程，促進(jìn)學(xué)生思維更加靈活與深刻. 問題解決后學(xué)習(xí)活動仍然在延伸，教師引導(dǎo)學(xué)生歸納反思，有利于學(xué)生認(rèn)識思維過程，理清思維路徑，形成思維經(jīng)驗(yàn). 通過思維的凸顯，使學(xué)生對知識有更深刻的理解，對知識的應(yīng)用有更清晰的認(rèn)識，增強(qiáng)了遷移思維能力，提高了學(xué)生解決問題的能力.

3. 關(guān)注思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)理論和本質(zhì)內(nèi)容的升華，是數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的根本，是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的概括而形成的數(shù)學(xué)觀點(diǎn). 在解題教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識的表現(xiàn)，是學(xué)生體驗(yàn)思維一般化和程序化的有效途徑. 教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用思想方法探究問題，能使學(xué)生更準(zhǔn)確地獲取思考方向，更有效地理解問題情境，探尋解題辦法. 在所學(xué)思想方法引領(lǐng)下的問題解決會讓學(xué)生獲得思維程序化的體驗(yàn)與經(jīng)驗(yàn)，有利于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍. 核心素養(yǎng)統(tǒng)領(lǐng)下的數(shù)學(xué)教育變革[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2017，56（4）：1-4.

[2]王保東. 關(guān)注基礎(chǔ)和思維習(xí)慣? 合理引導(dǎo)學(xué)生思考[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2018，57（6）：49-52，57.

[3]李松林. 回歸課堂原點(diǎn)的深度教學(xué)[M]. 北京：科學(xué)出版社，2016.