撥開云霧見天日

鐘烙華

2021年廣東省進(jìn)行高考改革，數(shù)學(xué)試題是全國(guó)新高考試題Ⅰ卷，與往年高考試題相比，最大的變化是新高考試題增加多選題這種新題型.?今年高考的多選題是每題設(shè)置4個(gè)選項(xiàng)，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.?評(píng)分方式是全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.?下面從多選題的選拔功能、答題策略、試題分析、考點(diǎn)歸納、鞏固訓(xùn)練等五方面進(jìn)行分析研究，揭開多選題的“神秘面紗”，為更好地應(yīng)對(duì)高考新題型提供幫助和指導(dǎo).

一、精確發(fā)揮選拔功能，增強(qiáng)考試的信度和效度

高考數(shù)學(xué)的單選題和多選題都是設(shè)置4個(gè)選項(xiàng)，單選題有且只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，但多選題則有多個(gè)選項(xiàng)符合題意.?做單選題只有正確、錯(cuò)誤兩種情形，評(píng)分也只有5分、0分兩種結(jié)果，但做多選題還有部分正確這種情形，所以多選題的得分多了一種可能性，即0分、2分、5分.?雖然考生得5分的難度加大，但顯然得0分的可能性也大大降低.?那么引入多選題后，對(duì)考生的得分到底有哪些影響？多選題為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)能力在不同層次的考生都提供了發(fā)揮空間，同時(shí)能夠更加精確地發(fā)揮數(shù)學(xué)科考試的區(qū)分選拔功能.?多選題的設(shè)置給廣大考生增加了得分機(jī)會(huì)，增進(jìn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的獲得感，也更精準(zhǔn)地測(cè)試和區(qū)分了不同層次考生的數(shù)學(xué)能力水平，增強(qiáng)了考試的信度和效度，對(duì)新高考是有益的嘗試.

二、正確評(píng)估自己實(shí)力，理智控制“穩(wěn)”或“狠”

由于多選題有多個(gè)選項(xiàng)符合題意，選擇1個(gè)符合題目的選項(xiàng)比單選題更容易，但要把符合題意的選項(xiàng)全部選出來(lái)，難度加大，所以多選題比單選題更有挑戰(zhàn)性.?對(duì)基礎(chǔ)薄弱且平時(shí)做題馬虎、判斷不果斷、計(jì)算拖沓的學(xué)生來(lái)說(shuō)，一旦出現(xiàn)拿捏不準(zhǔn)的選項(xiàng)，建議采用保守策略，選擇一個(gè)最有把握的選項(xiàng)，確保2分到手，不能太過(guò)激進(jìn)，以免得0分.?但對(duì)于一些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較扎實(shí)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，選擇一個(gè)最有把握的選項(xiàng)還是選擇多個(gè)選項(xiàng)會(huì)有點(diǎn)糾結(jié)，需要自己隨機(jī)應(yīng)變，理智把握“穩(wěn)”或“狠”的關(guān)系.?從總體上來(lái)看，做多選題得2分容易，得5分難，多選題的多級(jí)得分模式有利于提高低水平學(xué)生的得分，也有利于區(qū)分出高水平的學(xué)生.?因此，在復(fù)習(xí)的過(guò)程中，我們要關(guān)注每個(gè)問(wèn)題的分析思路，不斷強(qiáng)化自己的“四基”（基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)）和“四能”（提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力、分析和解決問(wèn)題的能力），加強(qiáng)積累，應(yīng)對(duì)新高考的多選題的挑戰(zhàn).

三、多角度分析試題，選取最佳的解題方法

做多選題有兩種途徑：途徑一是通過(guò)逐一檢驗(yàn)4個(gè)選項(xiàng)，選出符合題意的所有選項(xiàng)，我們把這種解法稱為直接法;途徑二是通過(guò)排除不符合題意的選項(xiàng)，選擇剩下的選項(xiàng)，我們把這種解法稱為間接法.?下面結(jié)合2021年新高考全國(guó)數(shù)學(xué)I卷4道多選題進(jìn)行分析.

9.?有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到的新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi=xi+c（i=1，2，…，n），c為非零常數(shù)，則（ ）

A.?兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同

B.?兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同

C.?兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標(biāo)準(zhǔn)差相同

D.?兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同

直接法：

設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為?，中位數(shù)為x0，標(biāo)準(zhǔn)差為s1，極差為c1，

樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn的平均數(shù)為?，中位數(shù)為y0，標(biāo)準(zhǔn)差為s2，極差為c2，則

=?，?=?=?=?+c，

y0=x0+c，

s1=?，

s2=

=?=s1，

c1=xmax-xmin，c2=ymax-ymin=（xmax+c）-（xmin+c）=c1，

故選擇CD.

間接法：

根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)的概念，y1，y2，…，yn的平均數(shù)是x1，x2，…，xn的平均數(shù)加上c，y1，y2，…，yn的中位數(shù)是x1，x2，…，xn的中位數(shù)加上c，

因?yàn)閏為非零常數(shù)，

所以AB選項(xiàng)錯(cuò)誤，

故選擇CD.

總結(jié)歸納：本題根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、極差的定義，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算，不管用直接法還是間接法，都可以比較快地得到答案，主要考查對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的理解和簡(jiǎn)單計(jì)算，考查高中數(shù)學(xué)科的必備知識(shí)，屬于基礎(chǔ)性題目.

10.?已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P1（cos?，sin?），P2（cos?，-sin?），P3（cos（?+?），sin（?+?）），A（1，0），則（???）

A.??=??B.??=

C.??·?=?·???D.??·?=?·

直接法一：

=?=1，?=?=1，A正確.

=?=?，?=

=?，B錯(cuò)誤.

·?=1×cos（?+?）+0×sin（?+?）=cos（?+?），

·?=cos?cos?+sin?（-sin?）=cos（?+?），C正確.

·?=1×cos?+0×sin?=cos?，

·?=cos?cos（?+?）+（-sin?）sin（?+?）=cos（?+2?），D錯(cuò)誤.

所以選擇AC.

直接法二：

把點(diǎn)A，P1，P2，P3以及相關(guān)向量在直角坐標(biāo)系中標(biāo)出來(lái)，如圖1所示，

由向量的模以及數(shù)量積容易得到A，C項(xiàng)正確，B，D錯(cuò)誤，

所以選擇AC.

間接法：

取?=30°，??=60°，?則?=?，??=1，?B錯(cuò)誤.

·?=?，?·?=-?，D錯(cuò)誤.

所以排除BD，

故選擇AC.

總結(jié)歸納：本題根據(jù)向量的模、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，結(jié)合三角恒等變換公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算，或者數(shù)形結(jié)合，都可以直接判斷A，C選項(xiàng)正確，B，D選項(xiàng)不一定成立.?當(dāng)然如果能對(duì)?，?取特殊值，可以很快排除B，D選項(xiàng)，本題用間接法處理更好.?主要考查對(duì)向量的模、向量數(shù)量積、三角函數(shù)定義的理解和三角恒等變換公式的運(yùn)用，考查高中數(shù)學(xué)科的必備知識(shí)，屬于基礎(chǔ)性題目.

11.?已知點(diǎn)P在圓（x-5）2+（y-5）2=16上，點(diǎn)A（4，0），B（0，2），則（???）

A.?點(diǎn)P到直線AB的距離小于10

B.?點(diǎn)P到直線AB的距離大于2

C.?當(dāng)∠PBA最小時(shí)，PB=3

D.?當(dāng)∠PBA最大時(shí)，PB=3

直接法：

如圖2，（x-5）2+（y-5）2?=?16的圓心為C（5，5），

半徑r=4，直線AB?∶??+?+1，即x+2y-4=0，

C到直線AB的距離d=?=?，

所以當(dāng)點(diǎn)P在P1處時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離取最小值，最小值為d-r=?-4<1，

當(dāng)點(diǎn)P在P2處時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離取最大值，最大值為d+r=?+4<10，

所以選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

當(dāng)點(diǎn)P在P3處時(shí)，∠PBA最小，

當(dāng)點(diǎn)P在P4處時(shí)，∠PBA最大，

P3?B=P4?B=?=?=3?，

所以C，D項(xiàng)正確，

故選擇ACD.

總結(jié)歸納：本題根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，由圓心C到直線AB的距離，容易求出圓上的點(diǎn)到直線AB的距離的最大值和最小值，從而判斷選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.?同樣是數(shù)形結(jié)合，可以判斷當(dāng)BP與圓相切時(shí)，∠PBA最小或最大.?由于選項(xiàng)B錯(cuò)誤，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得P3B=P4B，不用計(jì)算線段P3B，P4B的長(zhǎng)度，結(jié)合選項(xiàng)，就可以判斷C，D選項(xiàng)一定正確.?本題應(yīng)該用直接法處理，主要考查圓的幾何性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離、直線與圓的位置關(guān)系、以及距離和角度的最值等問(wèn)題，考查高中數(shù)學(xué)科的關(guān)鍵能力，屬于綜合性題目.

12.?在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=1，點(diǎn)P滿足??=??+??，其中?∈[0，1]，?∈[0，1]，則（???）

A.?當(dāng)?=1時(shí)，△AB1P的周長(zhǎng)為定值

B.?當(dāng)?=1時(shí)，三棱錐P-A1BC的體積為定值

C.?當(dāng)?=?時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1P⊥BP

D.?當(dāng)?=?時(shí)，有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P

直接法：

當(dāng)?=1時(shí)，由于?=??+??，其中?∈[0，1]，?∈[0，1]，

所以點(diǎn)P在線段CC1上運(yùn)動(dòng)，

沿側(cè)棱BB1把正三棱柱ABC-A1B1C1展開，

△AB1P的周長(zhǎng)l=AB1+AP+PB1，

當(dāng)點(diǎn)P在線段CC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，

由于AB1的長(zhǎng)度不變，AP+PB1的長(zhǎng)度改變，

所以△AB1P的周長(zhǎng)不是定值，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.

當(dāng)?=1時(shí)，由于?=??+??，其中?∈[0，1]，?∈[0，1]，

所以點(diǎn)P在線段B1C1上運(yùn)動(dòng)，

由于BCC1B1是正方形，

所以△PBC的面積是定值，

因?yàn)锳1到平面BCC1B1的距離是定值，

所以三棱錐P-A1BC的體積為定值，選項(xiàng)B正確.

當(dāng)?=?時(shí)，由于?=??+??，其中?∈[0，1]，?∈[0，1]，

所以點(diǎn)P在線段DD1上運(yùn)動(dòng)，其中D，D1分別是BC，B1C1的中點(diǎn)，

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到D，D1時(shí)，均有A1P⊥BP，

所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

當(dāng)?=?時(shí)，由于?=??+??=??+??，其中?∈[0，1]，

設(shè)O是AC的中點(diǎn)，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC所在直線為x，y軸，建立如圖8的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，-?，0），A1（0，-?，1），B（?，0，0），B1（?，0，1），C（0，?，0），?=（?，?，-1），??=（?，?，1），??=??+??=??（-?，?，0）+?（0，0，1）=（-?，?，?）.

所以P（?，?，?），?=（?，?，-?），

設(shè)平面AB1P的法向量為?=（x，y，z），

則由?·?=0，?·?=0，得?x+?y+z=0，-?x+?y-?z=0.

令z=?得x=-?，y=?，所以?=（-?，?，?），

若A1B⊥平面AB1P，則?與?共線，即?=?=?，解得?=1∈[0，1]，

所以有且僅有一個(gè)點(diǎn)P，使得A1B⊥平面AB1P，選項(xiàng)D正確.

故選擇BD.

間接法：

由于選項(xiàng)D比較難判斷，可以利用直接法判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤、選項(xiàng)B正確、選項(xiàng)C錯(cuò)誤之后，根據(jù)多選題至少有兩個(gè)或以上的選項(xiàng)正確的特點(diǎn)，不用再驗(yàn)證選項(xiàng)D是否正確，可以直接選擇選項(xiàng)BD.

總結(jié)歸納：本題根據(jù)空間向量的數(shù)乘、加法等運(yùn)算法則，確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡，通過(guò)棱柱的側(cè)面展開圖判斷選項(xiàng)A不正確，通過(guò)兩條平行線間的距離處處相等判斷選項(xiàng)B正確，通過(guò)直觀想象，找出線段邊界的兩個(gè)端點(diǎn)符合題意，判斷選項(xiàng)C不正確，通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法，根據(jù)直線與平面垂直的空間向量關(guān)系，確定點(diǎn)P的位置，判斷選項(xiàng)D正確.?本題主要以空間向量進(jìn)行包裝，考查三角形周長(zhǎng)定值、三棱錐體積定值、線線垂直、線面垂直等問(wèn)題，考查高中數(shù)學(xué)科的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)，屬于綜合性和應(yīng)用性題目.?本題判斷選項(xiàng)A、B、C是否符合題意，計(jì)算量不大，但判斷選項(xiàng)D是否符合題意，計(jì)算量大，可以根據(jù)多選題至少有兩個(gè)或以上的選項(xiàng)正確的特點(diǎn)，不用再驗(yàn)證選項(xiàng)D是否正確，可以直接選擇選項(xiàng)BD.

四、總結(jié)考查知識(shí)點(diǎn)，提高學(xué)習(xí)和訓(xùn)練的針對(duì)性

多選題是新高考的新題型，只有在2020年、2021年新高考的Ⅰ、Ⅱ卷中出現(xiàn)，下面對(duì)四份試題的多選題的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行回顧.

從表1可以得出，多選題主要來(lái)自三角函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與不等式等數(shù)學(xué)主干知識(shí)，考查目標(biāo)以必備知識(shí)、關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)為主，考查要求以基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性為主.

五、加強(qiáng)訓(xùn)練，提高做多選題得分能力

針對(duì)多選題主要來(lái)自三角函數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與不等式等數(shù)學(xué)知識(shí)版塊，下面圍繞這5個(gè)知識(shí)版塊，提供每個(gè)知識(shí)版塊2道多選題進(jìn)行訓(xùn)練.

（一）三角函數(shù)版塊

1.?已知函數(shù)f（x）=sin（？棕x+？漬）（？棕>0，|？漬|

A.?f（x）=cos（2x-?）

B.?f（x）=sin（2x-?）

C.?f（?+x）=f（?-x）

D.?f（?+x）=-f（?-x）

解析：由圖像可得?T=?-?=?，故T=π，所以？棕=?=2，

又?f（?）為最大值，故2×?+？漬=?+2kπ，k∈Z，故？漬=?+2kπ，k∈Z.

因?yàn)閨？漬|

所以f（x）=sin（2x+?-?）=cos（2x-?），故A正確，B錯(cuò)誤.

令2x+?=kπ，則x=?-?，k∈Z，當(dāng)k=1時(shí)，x=?，

故函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為（?，0），故C錯(cuò)誤，D正確.

故選擇AD.

2.?已知函數(shù)f（x）=（sinx+cosx）|sinx-cosx|，下列說(shuō)法正確的是

A.?f（x）是周期函數(shù)

B.?f（x）在區(qū)間[-?，?]上是增函數(shù)

C.?若f（x1）+f（x2）=2，則x1+x2=?（k∈Z）

D.?函數(shù)g（x）=f（x）+1在區(qū)間[0，2π]上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)

解析：因?yàn)閒（?）=1，f（0）=1，

所以f（x）在區(qū)間[-?，?]上不可能是增函數(shù)，排除選項(xiàng)B.

因?yàn)閒（?）=-1，f（π）=-1，排除選項(xiàng)D.

故選擇AC.

（二）概率與統(tǒng)計(jì)

1.?空氣質(zhì)量指數(shù)AQI是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：

為監(jiān)測(cè)某化工廠排放廢氣對(duì)周邊空氣質(zhì)量指數(shù)的影響，某科學(xué)興趣小組在校內(nèi)測(cè)得10月1日-20日AQI指數(shù)數(shù)據(jù)并繪制成折線圖如下：

下列敘述正確的是

A.?這20天中AQI指數(shù)值的中位數(shù)略大于150

B.?這20天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)占

C.?10月4日到10月11日，空氣質(zhì)量越來(lái)越好

D.?總體來(lái)說(shuō)，10月中旬的空氣質(zhì)量比上旬的空氣質(zhì)量差

解析：只有5天AQI指數(shù)值大于150，中位數(shù)不可能大于150，選項(xiàng)A不符合題意.?由于有5天AQI指數(shù)值不大于50，選項(xiàng)B符合題意.

由于4日到11日AQI指數(shù)值越來(lái)越大，空氣質(zhì)量越來(lái)越差，選項(xiàng)C不符合題意.

由于中旬的AQI指數(shù)值比上旬的AQI指數(shù)值大，

所以中旬的空氣質(zhì)量比上旬的空氣質(zhì)量差，選項(xiàng)D符合題意.

故選擇BD.

2.?廣東江門有開平碉樓，赤坎古鎮(zhèn)，下川島，小鳥天堂四個(gè)著名景點(diǎn)，一位游客來(lái)該市游覽，已知該游客游覽開平碉樓的概率為?，游覽赤坎古鎮(zhèn)、下川島和小鳥天堂的概率都是?，且該游客是否游覽這四個(gè)景點(diǎn)相互獨(dú)立.?用隨機(jī)變量X表示該游客游覽的景點(diǎn)的個(gè)數(shù)，下列正確的是

A.?游客至少游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率

B.?游客至多游覽一個(gè)景點(diǎn)的概率

C.?P（X=3）=

D.?P（X=4）=

解析：隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，4;

則P（X=0）=（1-?）（1-?）（1-?）（1-?）=?，

所以P（X≥1）=1-P（X=0）=?，故A正確.

P（X=1）=（?）（1-?）3+（1-?）?·?·（1-?）2=?，

所以P（X≤1）=P（X=0）+P（X=1）=?，故B不正確.

P（X=3）=?×?×（?）2×（1-?）+（1-?）×（?）3=?，故C正確.

P（X=4）=?×（?）3=?，故D錯(cuò)誤.

故選擇AC.

（三）立體幾何

1.?如圖11，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高為4，E為線段A1D1上的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是

A.?三棱錐B1-ABF的體積為定值

B.?當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí)，經(jīng)過(guò)B，E，F(xiàn)的平面截長(zhǎng)方體得截面為五邊形

C.?EF在平面ADD1A1內(nèi)的射影長(zhǎng)的取值范圍是[1，?]

D.?三棱錐A1-AEF的外接球的體積為8?π

解析：連接B1F，BF，AB1，在長(zhǎng)方體中，AB⊥平面BCC1B1，

易知△B1FB的面積是定值，由等體積法V?=V?，

所以三棱錐B1-ABF的體積為定值.

故A正確.

顯然，B正確.

過(guò)F點(diǎn)作DD1的垂線交于點(diǎn)H，由長(zhǎng)方體得EH⊥FH.?易得EF在平面ADD1A1內(nèi)的射影長(zhǎng)的取值范圍是[1，?].

故C不正確.

因?yàn)锳1D1，A1B1，A1A兩兩垂直，

所以三棱錐A1-AEF的外接球即為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的外接球，

其外接球的半徑為??=?，體積為?π×（?）3=8?π.

故D正確.

故選擇ABD.

2.?如圖12，正方體ABCD-A1B1C1D1中，對(duì)角線A1C⊥平面?，則?與正方體ABCD-A1B1C1D1的截面可能是（???）

A.??????????????????????B.

C.??????????????????????D.

解析：設(shè)A1C與三角形AB1D1、BC1D的交點(diǎn)分別是E、F.

當(dāng)平面?與A1C的交點(diǎn)在A1E之間時(shí)，僅與上底面、左側(cè)面、正面相交，易證截面為等邊三角形，且經(jīng)過(guò)A、B1、D1三點(diǎn)時(shí)截面為最大的等邊三角形.

當(dāng)平面?與與A1C的交點(diǎn)在EF之間時(shí)，易證截面為對(duì)邊平行的的六邊形.

當(dāng)平面?與與A1C的交點(diǎn)在FC之間時(shí)，由對(duì)稱性可知截面是等邊三角形.

故選擇AD.

（四）解析幾何

1.?定義：以雙曲線的實(shí)軸為虛軸，虛軸為實(shí)軸的雙曲線與原雙曲線互為共軛雙曲線.?以下關(guān)于共軛雙曲線的結(jié)論正確的是

A.?與?-?=1（a>0，b>0）共軛的雙曲線是?-?=1（a>0，b>0）

B.?互為共軛的雙曲線漸近線不相同

C.?互為共軛的雙曲線的離心率為e1，e2，則e1e2≥2

D.?互為共軛的雙曲線的4個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上

解析：由新定義可以得到與?-?=1（a>0，b>0）共軛的雙曲線方程是?-?=1（a>0，b>0），它們漸近線都是y=±?x，排除選項(xiàng)A、B，

故選擇CD.

2.?已知曲線C∶（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）（m≠1且m≠3），則下列結(jié)論正確的是

A.?若曲線C是橢圓，則1

B.?若m<1或m>3，則曲線C是雙曲線

C.?？堝m∈（1，3），使得曲線C不是橢圓

D.?若m=5，則曲線C與直線y=kx+1恒有兩個(gè)交點(diǎn)

解析：對(duì)于方程C∶（m-1）x2+（3-m）y2=（m-1）（3-m）（m≠1且m≠3），

可化為?+?=1，

若3-m=m-1，即m=2時(shí)，曲線C是圓，

選項(xiàng)A不符合題意.

若（3-m）（m-1）<0，即m>3或m<1時(shí)，曲線C是雙曲線，

選項(xiàng)B符合題意.

若（3-m）（m-1）<0，即1

選項(xiàng)C符合題意.

若m=5，則曲線C是雙曲線?-?=1，

聯(lián)立?-?=1y=kx+1得（2-2k2）x2-2kx+3=0

由△=28k2-8>02-2k2≠0，顯然當(dāng)k>?或k<-?時(shí)，曲線C與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，

選項(xiàng)D不符合題意.

故選擇BC.

（五）函數(shù)與不等式

1.?設(shè)a>0，b>0，a+b=1，則

A.?a2+b2的最小值為

B.??的是小值為2

C.??+?的范圍為[9，+∞]

D.?若c>1，則（?-2）·c+?的最小值為8

解析：對(duì)于A，由a2+b2≥?=?，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=?時(shí)取等，可得a2+b2的最小值為?，所以A正確.

對(duì)于B，由?=?=?+?，又由0

對(duì)于C，由?+?=（?+?）（a+b）=5+?+?≥5+2?=9，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)，即a=?，b=?時(shí)，等號(hào)成立，取得最小值9，所以C正確.

對(duì)于D，由?-2=?-2=?+?≥4，當(dāng)且僅當(dāng)b=2a時(shí)，即a=?，b=?時(shí)，等號(hào)成立，可得（?-2）·c+?≥4（c-1）+?+4≥8，當(dāng)且僅當(dāng)c=?時(shí)取等，所以D正確.

故選擇ACD.

2.?已知函數(shù)?f（x）=e|x|sinx，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A.?f（x）是周期為2π的奇函數(shù)

B.?f（x）在（-10π，10π）內(nèi)有21個(gè)極值點(diǎn)

C.?f（x）在（-?，?）上為增函數(shù)

D.?f（x）≥ax在[0，?]上恒成立的充要條件是a≤1

解析：因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，f（-x）=e|-x|sin（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函數(shù)，

但是f（x+2π）=e|x+2π|sin（x+2π）=e|x+2π|sinx≠f（x），所以f（x）不是周期為2π的函數(shù)，

故A錯(cuò)誤.

當(dāng)x∈[0，10π）時(shí)，f（x）=exsinx，f?′（x）=ex（sinx+cosx）=?exsin（x+?），

令?f?′（x）=0得，?x=-?+kπ（k=1，2，3，4，5，6，7，8，9，10），

當(dāng)x∈[-10π，0）時(shí)，f（x）=e-xsinx，f?′（x）=e-x（cosx-sinx）=?e-xcos（x+?），

令?f?′（x）=0得，x=?+kπ（k=-1，-2，-3，-4，-5，-6，-7，-8，?-9，-10），

因此，f（x）在（-10π，10π）內(nèi)有20個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤.

當(dāng)x∈（-?，0）時(shí)，f（x）=e-xsinx，f?′（x）=e-x（cosx-sinx）>0，f（x）單調(diào)遞增，

當(dāng)x∈（0，?）時(shí)，f（x）=exsinx，f?′（x）=ex（sinx+cosx）>0，f（x）單調(diào)遞增，

且f（x）在（-?，?）連續(xù)，故f（x）在（-?，?）單調(diào)遞增，故C正確.

當(dāng)x∈[0，?]時(shí)，f（x）≥ax？圳a≤?，

設(shè)g（x）=?，所以g′（x）=?，

令h（x）=xsinx+xcosx-sinx，x∈（0，?]，

h′（x）=sinx+x（cosx-sinx）>0，h（x）單調(diào)遞增，

h（x）>h（0）=0，所以g′（x）>0，g（x）在（0，?]單調(diào)遞增.

當(dāng)x趨近于0時(shí)，g（x）=?趨近于1，?所以a≤1，故D正確.

故選擇CD.

責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)