高校群控電梯的分配優(yōu)化

劉蓓

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510000)

1 緒論

1.1 研究背景

電梯在中高層樓宇中是不可或缺的一種交通運(yùn)輸工具。在人員密集區(qū)域、電梯使用率高的場(chǎng)所，高效合理地調(diào)配現(xiàn)有電梯資源能夠提升電梯使用率、避免擁擠堵塞。

本文以某高校教學(xué)樓的四部電梯為研究對(duì)象，開展實(shí)地調(diào)研并進(jìn)行電梯資源調(diào)度、分配方案的研究。從前期調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，目前的電梯調(diào)配方案為高層?？?，通過限制低樓層乘梯人員數(shù)量來增加電梯對(duì)高樓層乘梯人員的承載比例。然而，在電梯使用高峰期時(shí)段，電梯入口處的排隊(duì)隊(duì)伍仍然很長(zhǎng)，從而導(dǎo)致教學(xué)樓一樓出現(xiàn)階段性擁塞的情況，對(duì)學(xué)生上課、人員流動(dòng)造成了較大影響。

1.2 研究目的

本文對(duì)高校電梯本身功能、運(yùn)作時(shí)間和運(yùn)作方法等方面進(jìn)行調(diào)研，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法獲取和分析相關(guān)數(shù)據(jù)，在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)合理的算法和模型，目的是提出一套電梯資源分配優(yōu)化方案，提高電梯使用效率，平衡學(xué)生在電梯與樓梯間的選擇，以此來減少學(xué)生的排隊(duì)等待時(shí)間，緩解教學(xué)樓大廳的擁擠狀況。

2 理論分析

結(jié)合教學(xué)樓電梯的實(shí)際情況，視候梯乘客均為到達(dá)5樓及以上，去往1至4樓的人員走樓梯到達(dá)，下面所有步驟均遵循這個(gè)前提。

為使公式更為直觀，本文給出如表1符號(hào)說明：

表1 符號(hào)說明

2.1 理論假設(shè)

2.1.1 電梯在上行、下行運(yùn)行過程中均為額定速度，其誤差歸納到電梯?？繒r(shí)間中。

2.1.2 高峰期時(shí)段所有乘客均上行，即從一樓去往一樓以上的樓層，電梯下行運(yùn)載乘客數(shù)為零。

2.1.3 理想狀態(tài)下，某一分區(qū)內(nèi)的電梯均勻分布在分區(qū)樓層中。

2.1.4 假設(shè)乘客均從一樓進(jìn)入，從一樓上行時(shí)段無乘客進(jìn)入電梯。

2.2 電梯往返運(yùn)行時(shí)間與乘客到達(dá)率的關(guān)系

根據(jù)排隊(duì)論相關(guān)理論，在排隊(duì)系統(tǒng)中，乘客到達(dá)的時(shí)間間隔T服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，概率密度為

分布函數(shù)為

P{X≤x} =F(x) =1-e-λx

由此得到總到達(dá)率為 λ。

在單位時(shí)間內(nèi)到達(dá)的乘客人數(shù)服從參數(shù)為 λ的泊松分布，分布律為

電梯往返運(yùn)行的時(shí)間為：

RT= 2tv1+ 2(H- 2)tv2+ 2PtP+(S+2)ts

在理想分區(qū)情況下，電梯相繼到達(dá)一樓的時(shí)間間隔為

若無分區(qū)，則L的值為4。

已知電梯的最大承載人數(shù)為15，電梯每次服務(wù)的人數(shù)為

P=E(N)TL= λTL，1 ≤ λTL≤15

已知總到達(dá)率為 λ，設(shè)大樓共有共n層，其中有電梯?？繕菍雍碗娞莶煌？繕菍?。電梯在五樓及以上?？?，且交通流個(gè)目的樓層均勻分配，因此五樓及以上各目的樓層的到達(dá)率為

（1）電梯均在五樓及以上?？壳也环謪^(qū)

電梯上行時(shí)，某一層無?？考礋o乘客到達(dá)此樓層，電梯在一至四層不作停靠。設(shè)電梯在5樓及以上某一層不作?？康母怕蕿閜，?？康母怕蕿?-p。設(shè)在[0,t]時(shí)間范圍內(nèi)到達(dá)的乘客數(shù)為X(t)，由泊松分布可知，

由上可知，最高到達(dá)樓層為n-i的概率

P{H=n-i} =piq,i= 0,1,2,…,n-1。

求得平均最高到達(dá)樓層

在一次運(yùn)行期間，電梯在五樓及以上以上?？看螖?shù)的期望S=(n-4)q，

最終得到一部電梯電梯往返運(yùn)行時(shí)間為：

（2）電梯均在五樓及以上?？壳曳謪^(qū)

對(duì)于電梯分區(qū)的情況，設(shè)n為該分區(qū)內(nèi)除一樓以外的的樓層數(shù)，L是該分區(qū)服務(wù)電梯的數(shù)目，該分區(qū)最低到達(dá)樓層為b，b≥5，S為分區(qū)時(shí)某部電梯在一樓以上停靠的樓層數(shù)。

該分區(qū)內(nèi)電梯相繼到達(dá)一樓的時(shí)間間隔為

由上述計(jì)算可推出，平均最高到達(dá)樓層為

最終得到一部電梯電梯往返運(yùn)行時(shí)間為：

2.3 乘客平均逗留時(shí)間

乘客平均逗留時(shí)間可分為平均候梯時(shí)間+平均乘梯時(shí)間+乘客進(jìn)出電梯總時(shí)間，接下來對(duì)乘客平均候梯時(shí)間和平均乘梯時(shí)間進(jìn)行理論分析。

（1）平均候梯時(shí)間

設(shè)P0為一定時(shí)間間隔內(nèi)乘客數(shù)目小于等于電梯容量的概率；PL為一定時(shí)間間隔內(nèi)乘客數(shù)目大于電梯容量的概率，決定了乘客等待電梯的趟數(shù)。根據(jù)電梯運(yùn)行情況，乘客平均候梯時(shí)間為

已知一定時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)的人數(shù)為N，

我們探討的是高峰期時(shí)間段乘客逗留時(shí)間，據(jù)實(shí)際情況分析，在乘客到達(dá)率特別高或特別低時(shí)，在下一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)得到電梯服務(wù)的平均候梯時(shí)間也會(huì)相應(yīng)偏高或偏低，因此調(diào)整平均候梯時(shí)間為

Th=P0· 0.45 T L +P1 ·2T L =(2 -1.55P0)TL

（2）平均乘梯時(shí)間

平均乘梯時(shí)間可視為平均最長(zhǎng)乘梯時(shí)間Wi和平均最短乘梯時(shí)間Ws的均值，即

本文調(diào)查了教學(xué)樓一樓具有代表性的兩個(gè)高峰期時(shí)段，經(jīng)調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，除了10樓和11樓，乘客到達(dá)各樓層的概率可視為一致。為在盡可能減小誤差的前提下簡(jiǎn)便討論，我們將去往10-11層兩層視為一層，因此乘客到達(dá)五樓及以上各樓層的概率可視為一致，如表2。

表2 上高峰時(shí)段去往相應(yīng)樓層的人數(shù)

平均最長(zhǎng)乘梯時(shí)間WL等于RT減去電梯從最高樓層下行時(shí)間和電梯在一樓?？恳淮蔚臅r(shí)間，即

Wl=tv1+(H- 2)tv2+ 2PtP+(S+1)ts

對(duì)于平均最短乘梯時(shí)間Ws，需考慮到乘客進(jìn)出電梯的時(shí)間，因此求平均得到

設(shè)h為最低停靠樓層，在分區(qū)情況下，設(shè)n為該分區(qū)內(nèi)一樓以外的的樓層數(shù)，L是該分區(qū)服務(wù)電梯的數(shù)目，該分區(qū)最低到達(dá)樓層為b，則最低?？繕菍訛?/p>

綜上所述，平均逗留時(shí)間為

3 各算法到達(dá)率的有效范圍

3.1 不同到達(dá)率劃分算法

本文經(jīng)過仿真實(shí)驗(yàn)得到了以下規(guī)律：在低到達(dá)率的情況下，不分區(qū)的算法較優(yōu)（算法Ⅰ）；在高到達(dá)率的情況下，分區(qū)算法較優(yōu)（算法Ⅲ）；在中等到達(dá)率的情況下，應(yīng)采取部分分區(qū)的算法（算法Ⅱ）。我們將以乘客平均逗留時(shí)間來評(píng)價(jià)分區(qū)算法的優(yōu)劣，下面以求取算法Ⅰ和算法Ⅱ的到達(dá)率區(qū)分點(diǎn) λ1為例，說明求解到達(dá)率有效范圍的方法。

3.2 不同到達(dá)率劃分求解

選定如下電梯參數(shù)和大樓參數(shù)：樓層數(shù)為10層，一樓高度5m，其他樓層高度3m，電梯4部；每臺(tái)電梯的額定參數(shù)均為：勻速度為0.84 m/s，核載人數(shù)為15人，?？繒r(shí)間為2.48 s，每個(gè)乘客進(jìn)/出電梯時(shí)間為1.115 s。使用上述求解方法算得 λ1為11.5 人/min，λ2為23.2 人/min。

下面使用仿真程序驗(yàn)證上述求解結(jié)果的有效性。按照相同的電梯參數(shù)、大樓參數(shù)設(shè)置進(jìn)行仿真，得到各電梯調(diào)度方案乘客平均逗留時(shí)間隨到達(dá)率變化的曲線圖如下。從圖1中得到λ和λ2的實(shí)際值分別為10人/min和21人/min，與理論值相近，1求解算法較為準(zhǔn)確。

圖1 各方案平均逗留時(shí)間與乘客到達(dá)率的關(guān)系

3.3 提出優(yōu)化方案

結(jié)合教學(xué)樓四部電梯和排隊(duì)人數(shù)的實(shí)際情況，通過實(shí)地調(diào)研分析，在上高峰時(shí)段，教學(xué)樓一樓總到達(dá)率可達(dá)到32人/min，該值大于 λ2，屬于高到達(dá)率，因此方案Ⅲ能夠起到較優(yōu)效果，可以較好地減少乘客的平均逗留時(shí)間，加快乘客到達(dá)目的樓層的速度。

最后，本文根據(jù)實(shí)驗(yàn)提出的針對(duì)高到達(dá)率的一種優(yōu)化方案為：四部電梯中，兩部電梯?？?-7層，另外兩部電梯?？?-10層較為合理。此外，上學(xué)時(shí)段的學(xué)生流量雖然總體比較密集，采取分區(qū)調(diào)度方案也有一定效果，但是上課前30分鐘內(nèi)的學(xué)生流量并不是一直處于較高密度，也存在著某個(gè)區(qū)間，學(xué)生流量密度偏低或者中等，對(duì)于該時(shí)間段采用不分區(qū)或部分分區(qū)調(diào)度方案，學(xué)生的候梯時(shí)間能夠進(jìn)一步縮短，從而能夠?qū)⒏鄬W(xué)生按時(shí)送達(dá)目的樓層。