深度研讀教材策略四：探尋數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用價(jià)值

崔晶磊 李惠萍

【導(dǎo)讀】

“分段計(jì)費(fèi)”是人教版數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第16頁例9的教學(xué)內(nèi)容?！胺侄斡?jì)費(fèi)”是生活中常見的數(shù)學(xué)問題，看似簡(jiǎn)單，教學(xué)起來卻非常難：有時(shí)候分兩段，有時(shí)候分三段;有時(shí)候的基礎(chǔ)價(jià)是“包干”的，有時(shí)候不“包干”;超出價(jià)的計(jì)價(jià)數(shù)量，有時(shí)候取整，有時(shí)候不取整……

簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的一個(gè)收費(fèi)問題，為什么要搞那么復(fù)雜呢？這其中有什么奧妙？來自昆明市盤龍區(qū)金康園小學(xué)的崔晶磊老師，從函數(shù)滲透和社會(huì)公平的角度，為我們帶來了不一樣的教學(xué)思路。從崔晶磊老師執(zhí)教的過程中，我們可以看出數(shù)學(xué)對(duì)于維持人們生活秩序的重要性。

【案例】

課堂實(shí)錄：

一、梳理?xiàng)l件，初步建模

師：同學(xué)們，你們知道嗎，出租車在很多地方都被叫作計(jì)程車……

師：出示教學(xué)圖片，數(shù)學(xué)課本上的例9。（根據(jù)后面的課程設(shè)計(jì)，將例9中6.3千米改為5.3千米）

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察這幅圖，你們從圖中能找到哪些數(shù)學(xué)信息？

生1：3 km以內(nèi)7元。

生2：超過3 km每千米收費(fèi)1.5元，不足1 km按照1 km計(jì)算。

生3：路程5.3 km應(yīng)該看作6 km。（教師板書）

師：那現(xiàn)在老師打了一張出租車，出租車行駛了1千米，我該付款多少錢？

生：7元。

師：那出租車行駛了2.1 千米呢？

生：7元。

師：出租車行駛了2.9 千米呢？為什么？

生：還是7元。因?yàn)楦鶕?jù)條件“3 km以內(nèi)7元”。

師：現(xiàn)在出租車行駛了4千米，我下車了，這時(shí)候我該付款多少錢？怎么計(jì)算？

生：8.5元，根據(jù)條件“超過3 km每千米收費(fèi)1.5元”，超出了1千米，所以要增加付款1.5元，加上“起步價(jià)”就是8.5元。

師：題目中李叔叔的行駛里程是5.3千米，該怎么付費(fèi)呢？能用線段圖表示嗎？

……

師：請(qǐng)你給我們講述一下你的想法。

生1：我先畫了3 cm表示前3千米收費(fèi)7元，再畫了2.3厘米表示后面超出的部分每千米收費(fèi)1.5元。

師：你說得非常好，大家都是這么畫的嗎？有沒有哪位同學(xué)的作品和他不一樣？

生2：我畫的是6 cm的線段，因?yàn)橛幸粋€(gè)條件是“不足1千米按照1千米計(jì)算”。

師：哪位同學(xué)最懂他？

生3：李叔叔打車一共行駛了5.3千米，根據(jù)條件“不足1千米按照1千米計(jì)算”應(yīng)該把這個(gè)小數(shù)看作一個(gè)整數(shù)來計(jì)算。

師：為什么要取整數(shù)？

生1：計(jì)算起來麻煩。

師：如果在臨時(shí)停車點(diǎn)計(jì)算這么麻煩的費(fèi)用就會(huì)……

……

師：所以，取整數(shù)是為了更加方便地付費(fèi)，節(jié)約時(shí)間。

師：那把一整段分成兩段又怎么理解？

生4：3千米以內(nèi)和超過3千米的收費(fèi)不一樣。

師：能不能給兩個(gè)部分分別起一個(gè)名字？

（板書：基礎(chǔ)價(jià) 超出價(jià)）

師：現(xiàn)在能算一算總價(jià)了嗎？能否使用一個(gè)公式來解決？

生：基礎(chǔ)價(jià)+超出價(jià)=總價(jià)

師：能列算式計(jì)算了嗎？試一試。

二、循序漸進(jìn)，深入感知

（一）初識(shí)函數(shù)，埋下一顆數(shù)學(xué)的種子

師：同學(xué)們，老師昨天也畫了一張圖，大家看看。橫著的這一條叫做橫軸，表示行駛的里程，豎著的這一條叫做豎軸，表示價(jià)格，同學(xué)們可以相互交流，最后告訴我，你的想法。

生：黃色的線表示3千米以內(nèi)，白色的線表示超出的部分。

師：你說得非常好，（教師手指橫軸0-3任意位置）（多次），那走這么遠(yuǎn)呢？

生：7元。

師：那3千米以內(nèi)7元的意思是？

生：只要是車子啟動(dòng)不超過3千米，就要付7元。

師：那正好3千米呢？（教師手指橫軸3）

生：還是7元。

師：所以3千米以內(nèi)7元包含了……？

生：3千米。

師：所以我用一個(gè)實(shí)心黃色圓點(diǎn)表示。那上面的空心圓點(diǎn)表示？

生：剛好3千米還沒有超出。

師：咱們?cè)賮砜纯窗咨木€，誰懂它的意思？

生1：白色的線表示超出的部分，每多行駛1千米，就要增加1.5元。

師小結(jié)：同學(xué)們，通過這幅圖我們又從另外一個(gè)視角看到了今天要解決的問題“分段計(jì)費(fèi)”，在整個(gè)打車的過程中，有兩種計(jì)費(fèi)方式，我們要分開計(jì)算。

（二）縱向挖掘，透徹領(lǐng)悟

師：同學(xué)們，張叔叔也打出租車了，他的行駛里程是11.2千米。不計(jì)算，你能從圖象上找到答案嗎？

生：20.5元。

師：怎么如此迅速，快起來說說。

生：11.2在11和12的之間，根據(jù)條件不足1千米按照1千米計(jì)算，所以11.2千米應(yīng)該收費(fèi)是20.5元。

師：那張叔叔打車走了11.5千米，應(yīng)該付多少車費(fèi)呢？11.9千米呢？11.95千米呢？

生：都是20.5元，因?yàn)椴蛔?千米要按照1千米計(jì)算。

師：對(duì)比張叔叔和李叔叔的路程與車費(fèi)，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)打車的路程越長(zhǎng)，車費(fèi)就越多。

師：張叔叔的車程是李叔叔幾倍？

生（齊）：2倍。

師：那張叔叔打車的費(fèi)用也是李叔叔的2倍吧。

生：不是，李叔叔花了11.5元，張叔叔花了20.5元，不是2倍。

師：怎么會(huì)這樣呢？計(jì)價(jià)里程明明就是2倍關(guān)系??？

生：我想應(yīng)該是總價(jià)中包含了基礎(chǔ)價(jià)，所以它們不成倍數(shù)關(guān)系。

師：說得非常好！你們真的太厲害了?；A(chǔ)價(jià)和超出價(jià)哪個(gè)更貴？

生（齊）：基礎(chǔ)價(jià)。

師：在李叔叔和張叔叔的打車費(fèi)中，基礎(chǔ)價(jià)所占的分量如何？

生1：李叔叔的車費(fèi)中，基礎(chǔ)價(jià)占到了一半，所以比較貴。

師追問：張叔叔的呢？

生2：基礎(chǔ)價(jià)占不到一半。

師：也就是便宜的部分……

生2：占的比較多，所以總體上更劃得來。

師：這就是說，打車路程越短……

生（迫不及待）：越不劃算。

師：為什么要這么規(guī)定呢？

……

師：對(duì)了！之所以把出租車收費(fèi)弄得那么復(fù)雜，就是為了促進(jìn)社會(huì)的公平性。

（三）拓展提升，將生活中的問題“還給”生活

師：同學(xué)們，生活中還有哪些地方在使用分段計(jì)費(fèi)？

生：水費(fèi)、電費(fèi)、停車場(chǎng)收費(fèi)……

師：你們覺得分段計(jì)費(fèi)的方法公平嗎？為什么？

生：公平。

師：是的，分段計(jì)費(fèi)就是為了讓更多的人享受到公平的待遇。

……

師：那么所有分段計(jì)費(fèi)中的“基礎(chǔ)價(jià)”都比“超出價(jià)”更貴嗎？

生1：不是，水費(fèi)就是“超出價(jià)”更貴。

師：為什么呢？

……

（四）全課小結(jié)，設(shè)疑思考

師：是的，分段計(jì)費(fèi)是對(duì)計(jì)費(fèi)方式進(jìn)行人為干預(yù)的一種消費(fèi)模式。希望同學(xué)們?nèi)グl(fā)現(xiàn)生活中更多分段計(jì)費(fèi)的例子，體會(huì)數(shù)學(xué)給生活帶來的更多價(jià)值。

板書設(shè)計(jì)：

【評(píng)析】

本節(jié)課是昆明市李惠萍數(shù)學(xué)名師工作室和盤龍區(qū)周佳泉數(shù)學(xué)名師工作室合作、研討的成果結(jié)晶，經(jīng)過多次磨課后初步形成的“雛形”，最終由崔晶磊老師完善并執(zhí)教。本節(jié)課在以下幾方面做出了一些新的嘗試和突破：

1.不斷深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解。這是一節(jié)容易被簡(jiǎn)單化的課，在實(shí)際教學(xué)中，部分老師和學(xué)生僅止步于會(huì)應(yīng)用“基礎(chǔ)價(jià)+超出價(jià)”求出問題答案，卻沒有對(duì)這一問題模型中的細(xì)節(jié)進(jìn)行深度關(guān)注：在“基礎(chǔ)價(jià)”中，“3千米以內(nèi)”究竟是指幾千米？在超出價(jià)中，學(xué)生是否真正理解“不足…按照…”這個(gè)條件？——是否所有“超出價(jià)”的計(jì)價(jià)數(shù)量都是按照這個(gè)方法取整？總體來講，車程越長(zhǎng)付費(fèi)越多，但付費(fèi)是否與車程長(zhǎng)的增長(zhǎng)成倍數(shù)關(guān)系（六年級(jí)學(xué)的正比例關(guān)系）？這些關(guān)鍵細(xì)節(jié)的忽略，無疑會(huì)使本節(jié)課的價(jià)值大打折扣。從這節(jié)課的實(shí)際操作可以看出，關(guān)注這些細(xì)節(jié)，對(duì)于學(xué)生深入理解“基礎(chǔ)價(jià)+超出價(jià)”這一數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)和實(shí)際應(yīng)用的范圍、邊界，無疑是大有裨益的。

2.用動(dòng)態(tài)的眼光看待世界?！?千米以內(nèi)收費(fèi)7元”這句話的含義，對(duì)于小學(xué)生來說無法用靜止的觀點(diǎn)去準(zhǔn)確描述。它必須用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)舉例說明——從0千米至7千米（包括“0千米”和“7千米”這兩個(gè)點(diǎn)）在內(nèi)的任何一個(gè)車程點(diǎn)下車，都是收費(fèi)7元。對(duì)于學(xué)生以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)來說，這是第一次出現(xiàn)的“奇葩”問題，但是結(jié)合生活實(shí)際卻非常容易理解，哪怕你只坐上出租車就立即下車，你也“耽誤”了出租車司機(jī)的一單生意，應(yīng)該給予人家補(bǔ)償，所以仍然要付費(fèi)7元。而在“超出價(jià)”的車程計(jì)數(shù)中，如果不“取整”就會(huì)給計(jì)算帶來很大麻煩，一些臨時(shí)停車點(diǎn)的停車時(shí)間就會(huì)超時(shí)，造成交通擁堵。因此，分段計(jì)費(fèi)問題在圖象上，表現(xiàn)為分段函數(shù)的形式。

3.體會(huì)分段計(jì)費(fèi)的公平價(jià)值。“3千米以內(nèi)收費(fèi)7元”的規(guī)定看似不合理，卻對(duì)那些隨意打車的人做出了行為限制，讓他們?cè)凇安粍澦恪钡男睦韷毫ο?，選擇其他更適宜的出行方式，把出租車的服務(wù)提供給真正有需要的顧客。而同樣是分段計(jì)費(fèi)，“階梯水費(fèi)”“階梯電費(fèi)”的基礎(chǔ)價(jià)為什么不實(shí)行“包干”價(jià)呢？學(xué)生根據(jù)自己的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，很快有了正確答案——如果“階梯水費(fèi)”“階梯電費(fèi)”的基礎(chǔ)價(jià)也實(shí)行“包干”價(jià)的話，那就會(huì)促使本來用不了那么多水和電的小額用戶大量用水和用電——反正都要收那么多錢嘛！這就反而造成了浪費(fèi)。由此可見，出租車計(jì)價(jià)當(dāng)中的“基礎(chǔ)價(jià)”規(guī)定偏高，正是為了限制低消費(fèi)，促進(jìn)出租車業(yè)務(wù)流向有真正需要的消費(fèi)群體;而“階梯水費(fèi)”“階梯電費(fèi)”等收費(fèi)規(guī)定中“超出價(jià)”偏高是為了限制高消費(fèi)，促進(jìn)社會(huì)厲行節(jié)約良好風(fēng)尚的形成。

“分段計(jì)費(fèi)”這節(jié)課，教好數(shù)量關(guān)系（即數(shù)學(xué)模型）已屬不易，再加入函數(shù)思想的滲透，從而深入理解分段計(jì)費(fèi)的人為干預(yù)特性和它在促進(jìn)社會(huì)公平中的巨大價(jià)值，無疑就使得這節(jié)課的內(nèi)涵更加豐富了。