優(yōu)化的灰色-馬爾可夫模型在呼倫貝爾市年降水量預測中的應用

張志莉

（呼倫貝爾學院數學與統(tǒng)計學院，內蒙古 呼倫貝爾 021008）

呼倫貝爾市是內蒙古自治區(qū)下轄的一個地級市，因其境內的呼倫湖和貝爾湖而得名。其自然地理位置處于東經115°31′—126°04′、北緯47°05′—53°20′。東鄰黑龍江省，西、北與蒙古國、俄羅斯相接壤，是中、俄、蒙三國的交界地帶。呼倫貝爾市總面積26.2萬km2，主要由草原、耕地以及森林構成。其境內的呼倫貝爾草原總面積為993萬hm2，是世界四大草原之一，也是中國北方保存最完好的草原牧區(qū)，“水草豐美”被譽為中國草原上的明珠，呼倫貝爾草原既是中國畜牧業(yè)生產的重要基地，也是東北及西部地區(qū)的天然綠色生態(tài)屏障，具有較高的經濟價值，對生態(tài)安全格局維護也具有重要的意義。呼倫貝爾市是以放牧、刈割為主要利用方式的草原生態(tài)系統(tǒng)，對氣候變化非常敏感，特別是降水量對于呼倫貝爾市畜牧業(yè)、農業(yè)、旅游業(yè)以及生態(tài)發(fā)展都起著舉足輕重的作用。因此，科學分析呼倫貝爾市年降水量的變化和趨勢，預測未來年降水量變化，從而為相關部門制定相關政策提供重要的科學參考和決策依據。

1 呼倫貝爾市年降水量的數據分析

呼倫貝爾市位于北半球，地處溫帶北部，是典型的大陸性氣候。冬季漫長寒冷，夏季短促溫涼，春季風大干燥，秋季氣溫降幅大、霜凍早。年度溫差、晝夜溫差大，日照豐富。降水期多集中在7—8月，降水量變化率大，分布不均勻，年際變化大。春、冬兩季各地降水量通常為40～80 mm，約占年降水量的15%。夏季降水期分布集中、降水量相對較多：大部分地區(qū)達200～300 mm，占年降水量的70%左右。秋季降水量逐漸減少，分布趨勢為農區(qū)60～80 mm、林區(qū)50～80 mm、牧區(qū)30～50 mm，各地平均降水量為40～70 mm［1］。根據《呼倫貝爾市統(tǒng)計年鑒》（2018年）的統(tǒng)計數據，呼倫貝爾市年降水量在2002—2016年的15年時間里呈振蕩變化。2004年降水量明顯減少，年降水量下降到300 mm以下，而2005年降水量明顯增多，增幅達28%。此后，在2007年降水量為歷年最少，僅為274.92 mm。2008—2016年呼倫貝爾市年降水量呈上升-下降-上升的反復變化趨勢（圖1）。2013年和2016年降水量突破630 mm?？梢?，呼倫貝爾市年降水量數據隨機性較強，其內在規(guī)律性難以把握。

圖1 2002—2016年呼倫貝爾市年降水量變化趨勢

2 呼倫貝爾市年降水量的預測模型分析

由于降水量的影響因素多而復雜，因此對降水量的預測大多采用隨機模型的方法，本研究分別選取單一的滑動傳統(tǒng)灰色模型、滑動無偏灰色模型和優(yōu)化的灰色-馬爾可夫組合模型對呼倫貝爾市年降水量進行預測研究。

2.1 灰色預測模型

灰色系統(tǒng)理論是由中國學者鄧聚龍教授在1982年首先提出，是一種研究少數據、貧信息不確定性問題的新方法。該理論是以“小樣本”“貧信息”不確定性系統(tǒng)為研究對象，主要通過對部分已知信息的生成、開發(fā)，提取有價值的信息，實現(xiàn)對系統(tǒng)運行行為、演化規(guī)律的正確描述，并進而實現(xiàn)對其未來變化的定量預測［2］。目前使用最廣泛的灰色預測模型就是關于數列預測的GM（1，1）模型，是指含有一個變量、一階微分的預測模型。它是基于隨機原始時間序列，經按時間累加后所形成的新的時間序列所呈現(xiàn)的規(guī)律性，該模型可用一階線性微分方程的解來逼近［3］。經證明，當原始時間序列隱含著指數變化規(guī)律時，灰色模型GM（1，1）的預測結果較為理想。參考劉思峰等［4］研究GM（1，1）模型的基本形式及其適用范圍，并結合呼倫貝爾市年降水量原始數據波動較大、呈反復振蕩的特點，選取均值GM（1，1）模型進行預測。

2.1.1 構建均值GM（1，1）模型 由原始數據建立均值GM（1，1）模型的主要步驟如下。

1）光滑度檢驗［5］，在實際操作中，數據序列是否滿足光滑條件，是檢驗能否對一個序列建立灰色模型的重要準則。

2）構造累加生成序列。

3）建立灰色模型的微分方程形式，即白化微分方程。

式中，a,b為未知待定參數。a是發(fā)展灰數，b是內生控制灰數［6］。當發(fā)展灰數a的絕對值越大時，灰色預測模型的模擬誤差也越大，一般有以下結論［7］：當，預測模型適合中長期預測；0.3＜預測模型適合短期預測進行短期預測需謹慎；，預測模型需采取殘差修正；當|，不宜使用該模型進行預測。

4）計算發(fā)展灰數a與內生控制灰數b。設可以采用最小二乘法求解。

式中，B、Yn分別為

5）建立累加生成數據序列模型。

6）累減還原，建立原始數據序列模型。

2.1.2 三點滑動GM（1，1）模型 當原始數據無法達到光滑條件，需對原始數據X(0)= ［X(0)(1),X(0)(2) ,… ,X(0)(n)］進行加權滑動平均處理，再建立灰色模型，形成滑動灰色模型［8］。根據原始數據的特點，經比較，采用三點進行滑動加權［9］，即

2.1.3 無偏GM（1，1）模型 為消除傳統(tǒng)灰色模型本身固有的灰色偏差，吉培榮等［10］提出了無偏灰色模型，該模型不僅性能優(yōu)于傳統(tǒng)灰色預測模型，且計算速度更快（因為模型無需累減還原），因此，其適用范圍更廣。

依據原始數據序列X(0)=［(X(0)(1) ,X(0)(2) ,… ,X(0)(n)］，求解出灰色參數a、b，通過a、b計算出無偏灰色參數A、B。其中

因此，可得無偏灰色模型［11］。

2.1.4 模型檢驗［12］通常對建立的模型進行殘差、后驗差以及關聯(lián)度檢驗，預測模型精度檢驗等級見表1。

表1 模型預測精度檢驗等級劃分

2.2 模型求解及分析

以2002—2016年呼倫貝爾市年降水量數據為樣本數據，發(fā)現(xiàn)不滿足數據光滑性條件，表明原始數據變化大，不適合建立灰色模型。為提高原始數據序列的光滑性，減少極端值對預測結果的影響，因此，對呼倫貝爾市年降水量原始數據序列進行三點滑動加權處理。當k＞3時，數據符合準光滑序列條件，如表2所示，可以建立呼倫貝爾市年降水量的灰色模型。

表2 光滑性檢驗

由DPS數據處理系統(tǒng)［13］，得到C=0.4998，P=1.00，說明模型擬合效果很好。

得到a=-0.037225，b=287.222 4，說明可以應用該模型對呼倫貝爾市年降水量進行中長期預測。同時根據前述計算公式，構建灰色GM（1，1）預測模型，進一步累減還原，得到預測模型。

由灰色參數求解出無偏灰色模型中參數A、B，得到滑動無偏預測模型。

滑動GM（1，1）和滑動無偏GM（1，1）模型預測結果見表3。

表3 2002—2016呼倫貝爾市年降水量預測值及相對誤差

經過計算，可以得到2種預測模型的檢驗結果，如表4所示。由表4可知，滑動無偏GM（1，1）模型預測精度優(yōu)于滑動GM（1，1）模型，更適合于呼倫貝爾市年降水量的預測。因此，采用滑動無偏GM（1，1）模型得到未來5年（2017—2021年）呼倫貝爾 市 年 降 水 量，分 別 為512.13、531.59、551.80、572.77、594.54 mm。

表4 滑動GM（1，1）模型和滑動無偏GM（1，1）模型預測精度比較

根據滑動無偏GM（1，1）模型，得到2017年呼倫貝爾市年降雨量的預測值為512.13 mm。根據《呼倫貝爾市統(tǒng)計年鑒》（2018年），呼倫貝爾市2017年降水量的實際值為274.92 mm。相對誤差非常高，達86.28%，這說明由于降水量受多種因素影響，其數據具有很強的隨機性和波動性，這是無法避免的客觀現(xiàn)實。如2017年呼倫貝爾市年降水量是樣本數據中的極端值（16個數據中的最小值）；其次，原始數據變化范圍過大時，灰色模型存在預測精度低的問題；最后，預測模型通過檢驗，但不代表預測效果好，即使灰色預測模型的擬合精度較高，也未必能保證預測值一定可靠、有效。

由于灰色預測模型總是用指數方程擬合，對隱含指數規(guī)律的原始序列預測非常理想，但對于起伏性、無序性較大的原始數據序列，其預測結果粗糙，誤差較大，而且數據的累加生成和累減還原更加大了模型的誤差。因此，本研究對前述的預測模型加以優(yōu)化，嘗試組合預測模型方法，以提高預測模型的預測精度。

3 基于滑動無偏殘差修正的灰色-馬爾可夫模型的呼倫貝爾市年降水量預測

3.1 構建灰色殘差修正模型

由2002－2017年呼倫貝爾市年降水量實際值與預測值的相對誤差（表5）可以看出，由于原始數據波動較大導致預測模擬誤差較大。其平均相對誤差為18.47，其精度不到82%，因此需要對原來的模型進行修正，以提高模型的預測精度。結合文獻［4］中的方法，采用殘差模型進行修正，取k0=9，得殘差尾 段ε0=（13.20，10.13，2.48，30.19，1.21，30.71，24.00），建立GM（1，1）模型，并進一步累減還原得到殘差修正模型。

盡管殘差改進后的灰色方法使得模型的預測效果有了改善，但依舊無法克服灰色模型對非線性數據的不適應性，為了進一步提高模擬精度，對上述的灰色模型應用馬爾可夫模型進行改進，建立滑動無偏殘差修正的灰色-馬爾可夫模型。

3.2 構建灰色殘差修正-馬爾可夫模型

年降水量的變化過程是一個隨機呈上升或下降趨勢的非穩(wěn)定隨機過程，呼倫貝爾市年降水量的數據序列符合n階馬爾可夫非平穩(wěn)隨機序列。根據原始數據的真實情況、馬爾可夫模型預測方法的應用特點，結合呼倫貝爾市年降水量的灰色預測結果的相對誤差，可以劃分為5種狀態(tài)：狀態(tài)1，過度低估狀態(tài)，即相對誤差x小于-40%，在15年（2002－2016年）中未出現(xiàn)過度低估狀態(tài)；狀態(tài)2，低估狀態(tài)，即相對誤差x介于［-40%，-10%），在15年中出現(xiàn)過4年（2003、2013、2014、2016年）低估狀態(tài)；狀態(tài)3，較為準確評估狀態(tài)，即相對誤差x介于［-10%，10%），在15年中出現(xiàn)過6年（2002、2005、2008、2009、2011、2012年）較為準確評估狀態(tài)。狀態(tài)4，高估狀態(tài)，相對誤差x介于［10%，40%］，15年中有5年（2004、2006、2007、2010、2015年）出現(xiàn)高估狀態(tài)。狀態(tài)5，過度高估狀態(tài)，相對誤差x大于40%，15年中未出現(xiàn)過這種狀態(tài)（表5）。

由上述分析，這里只需要研究3個狀態(tài)，即狀態(tài)2、狀態(tài)3、狀態(tài)4，將每個狀態(tài)定義為模糊集，并用三角形法構造每個模糊集的隸屬函數［14］，即

由上述隸屬函數，可以得到每點數據的模糊狀態(tài)向量，根據最大隸屬原則確定每點數據所屬狀態(tài)，如表5所示，進而得到2002－2016年呼倫貝爾市年降水量的一步狀態(tài)轉移概率矩陣。

依據馬爾可夫預測模型A(n)=A(0)P(n)，可以得到2002—2016年的預測狀態(tài)向量，如表5所示，其中表示系統(tǒng)在時刻n所處的狀態(tài)概率向量，A(0)為系統(tǒng)在初始時刻所處的狀態(tài)概率向量，在此即為2016年的狀態(tài)概率向量［11］，由于2016年相對誤差為-32.21%，計算得到其狀態(tài)模糊向量A(0)=（1，0，0），因此

表5 2002—2016年呼倫貝爾市年降水量的狀態(tài)劃分

這說明2017年處于狀態(tài)4的可能性最大，且年降水量預測高估的概率達67%。進一步應用馬爾可夫模型對滑動無偏殘差修正的灰色模型進行改進，得到2017年降水量的預測結果：預測中值為423.34 mm，其誤差率為53.99%，遠小于滑動無偏GM（1，1）的誤差率86.28%。此外，可劃分為3個預測區(qū)間：預測區(qū)間1（274.84，354.82），概率為33%；預測區(qū)間2（354.82，461.87），概率為0；預測區(qū)間3（461.87，632.45），概率為67%。

根據呼倫貝爾市統(tǒng)計年鑒可知，2017年呼倫貝市年降水量為274.92 mm，屬于預測區(qū)間1。這說明滑動無偏殘差修正的灰色-馬爾可夫模型的預測準確度和合理性都得到了很大提高，運用該預測模型進行呼倫貝爾市年降水量的預測是可行的，預測結果比較理想。因此，進一步得到2018—2021年各年狀態(tài)向量（表6）。從表6可以看出，呼倫貝爾市年降水量在2018—2021年所處的狀態(tài)并不穩(wěn)定。2018年處于狀態(tài)3的可能性最大，其概率向量為0.45，即呼倫貝爾市在2018年的年降水量有45%的可能性為準確估計；2019年處于狀態(tài)3的可能性最大，2020、2021年這2年處于狀態(tài)4的可能性最大。

表6 2018—2021年呼倫貝爾市年降水量的馬爾可夫狀態(tài)向量

由此，進一步得到灰色-馬爾可夫預測模型的結果（表7）。從表7可以看出，由優(yōu)化的灰色-馬爾可夫預測模型得到2018年呼倫貝爾市年降水量的預測中值為474.29 mm，而這一預測值高于實際值的概率達34%，根據2019年《呼倫貝爾市統(tǒng)計年鑒》的數據可知，2018年呼倫貝爾市年降水量的真實值為為449.91 mm，預測值確實高于實際值，再次說明優(yōu)化的灰色-馬爾可夫模型能夠較準確地預測呼倫貝爾市年降水量。在未來的3年里，呼倫貝爾市年降水量呈上升趨勢。2019年最有可能處于評估較為準確狀態(tài)和高估狀態(tài)，概率分別為41%和38%。2020年和2021年最有可能的狀態(tài)為高估狀態(tài)，即這2年實際年降水量會低于預測模型預測的結果，可能的概率均為42%。從總體上來看，呼倫貝爾市未來的年降水量較為充沛，這將對呼倫貝爾草原草地生態(tài)發(fā)展起到積極的促進作用。

表7 模型預測結果

4 小結

對呼倫貝爾市2002—2016年的年降水量進行分析，發(fā)現(xiàn)呼倫貝爾市年降水量是一條波浪式變化的曲線。由于年降水量數據隨機波動大，趨勢變化頻繁，因此單一的預測模型難免會導致預測模擬結果誤差較大（即使擬合精度很高）。因此，采用組合模型進行預測，并針對數據特點，采取了滑動加權優(yōu)化、無偏灰色模型改進以及殘差序列修正等構建出滑動無偏殘差修正的灰色-馬爾可夫模型。經過驗證，發(fā)現(xiàn)該模型在預測擬合度、預測精度方面都比較理想。由于該模型不僅給出預測中值，更能提供預測帶，即預測區(qū)間，以及落入該區(qū)間的可能性大小，使得該模型對于呼倫貝爾市年降水量的常規(guī)數據、變化波動大的極端數據（如2017年降水量）均能給出較合理、較可靠的預測結果。