連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)系統(tǒng)調(diào)制方差全局優(yōu)化方法研究*

馬 荔, 李 揚(yáng), 楊 杰, 黃 偉, 羅鈺杰, 徐兵杰

西南通信研究所 保密通信重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 成都610041

1 引言

量子密鑰分發(fā)(quantum key distribution, QKD)[1–3]基于量子力學(xué)原理, 可實(shí)現(xiàn)信息論可證安全的密鑰分發(fā), 是量子信息技術(shù)中最接近實(shí)用化的研究方向之一. 其主要技術(shù)途徑可分為離散變量(discrete variable, DV)[4,5]和連續(xù)變量(continuous variable, CV)[6–12]兩大類(lèi). 連續(xù)變量量子密鑰分發(fā)(continuous variable quantum key distribution, CV-QKD) 技術(shù)采用光場(chǎng)的正則分量來(lái)編碼密鑰信息, 因其與傳統(tǒng)光通信網(wǎng)絡(luò)兼容性好且具備高碼率潛能, 極具發(fā)展前景. 最常見(jiàn)的CV-QKD 協(xié)議是GG02 類(lèi)協(xié)議[13,14], 其量子態(tài)制備簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn), 是目前廣泛使用的CV-QKD 協(xié)議.

典型的CV-QKD 系統(tǒng)包括量子信號(hào)傳遞與數(shù)據(jù)后處理兩個(gè)步驟. 提高CV-QKD 系統(tǒng)的性能, 通常從兩方面開(kāi)展研究. 一方面是優(yōu)化CV-QKD 系統(tǒng)的光電關(guān)鍵技術(shù), 比如, 過(guò)噪聲控制[15,16]、后處理糾錯(cuò)能力優(yōu)化[17–22]; 另一方面是優(yōu)化CV-QKD 系統(tǒng)的協(xié)議參數(shù)[23]. 本文主要從CV-QKD 系統(tǒng)協(xié)議參數(shù)優(yōu)化的角度開(kāi)展研究.

在實(shí)際的CV-QKD 系統(tǒng)中, 當(dāng)信道傳輸距離發(fā)生變化時(shí), 需要相應(yīng)地改變量子信號(hào)的調(diào)制方差以?xún)?yōu)化系統(tǒng)性能. 在實(shí)際系統(tǒng)中, 信道透射率、過(guò)噪聲、電噪聲、探測(cè)效率在外界環(huán)境變化不大的情況下通常變化不大, 調(diào)制方差將顯著影響系統(tǒng)的信噪比, 而后處理中數(shù)據(jù)協(xié)商的實(shí)際效果與數(shù)據(jù)信噪比緊密相關(guān),因此, 調(diào)制方差直接影響系統(tǒng)安全碼率的大小. 針對(duì)CV-QKD 系統(tǒng)的調(diào)制方差最優(yōu)化問(wèn)題是CV-QKD系統(tǒng)性能優(yōu)化的重要問(wèn)題. 已有的調(diào)制方差優(yōu)化方法通常假定在某個(gè)特定傳輸距離下, 數(shù)據(jù)協(xié)商的協(xié)調(diào)效率和糾錯(cuò)譯碼的誤幀率為常數(shù)[16,24], 然后計(jì)算與最大安全碼率相對(duì)應(yīng)的最優(yōu)調(diào)制方差. 然而, 在實(shí)際CV-QKD 系統(tǒng)中, 對(duì)于確定的數(shù)據(jù)協(xié)商和糾錯(cuò)譯碼算法, 很難針對(duì)不同的調(diào)制方差都設(shè)計(jì)相應(yīng)的糾錯(cuò)矩陣來(lái)維持?jǐn)?shù)據(jù)協(xié)商的協(xié)調(diào)效率β為常數(shù), 糾錯(cuò)的誤幀率FER 也會(huì)隨調(diào)制方差VA的變化而變化. 由于協(xié)調(diào)效率和誤幀率顯著影響系統(tǒng)安全碼率的大小, 因此在進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)最優(yōu)調(diào)制方差計(jì)算時(shí), 應(yīng)當(dāng)綜合考慮調(diào)制方差對(duì)誤幀率、糾錯(cuò)效率等參數(shù)的影響.

為解決這一問(wèn)題, 本文提出一種CV-QKD 系統(tǒng)調(diào)制方差全局優(yōu)化方案, 針對(duì)確定的數(shù)據(jù)協(xié)商和糾錯(cuò)譯碼算法, 給出協(xié)調(diào)效率和誤幀率與調(diào)制方差之間的函數(shù)關(guān)系. 基于定量分析協(xié)調(diào)效率和誤幀率隨調(diào)制方差的變化關(guān)系和制約特性, 給出系統(tǒng)安全碼率與調(diào)制方差之間的函數(shù)關(guān)系, 最終給出使系統(tǒng)安全碼率最大化的最優(yōu)調(diào)制方差參數(shù)選取方法, 從而提升實(shí)際CV-QKD 系統(tǒng)性能.

2 系統(tǒng)安全碼率與調(diào)制方差的函數(shù)關(guān)系

反向協(xié)調(diào)下[25], 對(duì)于無(wú)限碼長(zhǎng)情形, CV-QKD 系統(tǒng)在任意聯(lián)合攻擊下的安全碼率公式為:

其中, FER 為糾錯(cuò)譯碼的誤幀率,β為數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)效率,IAB是發(fā)送端Alice 和接收端Bob 之間的經(jīng)典互信息,χBE是Bob 和竊聽(tīng)者Eve 之間的量子互信息.

在已有研究中, 通常認(rèn)為影響CV-QKD 系統(tǒng)安全碼率的主要因素是協(xié)調(diào)效率, 為實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)距離和高碼率, 要求系統(tǒng)具備高協(xié)調(diào)效率. 以多維數(shù)據(jù)協(xié)商和MET-LDPC 矩陣譯碼為例, 制約協(xié)調(diào)效率的主要因素為協(xié)商算法選擇、度分布函數(shù)性能以及校驗(yàn)矩陣的生成. 協(xié)調(diào)效率描述的是后處理能夠提取出來(lái)的密鑰比特?cái)?shù)與Alice 和Bob 之間的二進(jìn)制互信息之間的比值, 0≤β≤1,β越接近1, 即越接近香農(nóng)極限, 則系統(tǒng)安全碼率越高、可達(dá)到的最遠(yuǎn)傳輸距離越長(zhǎng). FER 會(huì)影響安全碼率的大小, 但不會(huì)影響安全碼率的有無(wú).因此為了提高系統(tǒng)的實(shí)用性, 增強(qiáng)系統(tǒng)的可靠性, 應(yīng)該同時(shí)提升協(xié)調(diào)效率并盡量降低誤幀率, 以獲得更高的安全碼率.

安全碼率的具體計(jì)算可參考文獻(xiàn)[14,26,27], 以GG02 協(xié)議為例, 其中IAB可表示為:

基于上述安全碼率計(jì)算過(guò)程可知,IAB和χBE可表示為系統(tǒng)信道透射率T、過(guò)噪聲ε、電噪聲vel、探測(cè)效率η和調(diào)制方差VA的函數(shù). 當(dāng)傳輸距離一定時(shí), 對(duì)于確定的CV-QKD 系統(tǒng), 一般可認(rèn)為其信道透射率T、過(guò)噪聲ε、電噪聲vel、探測(cè)效率η近似為常數(shù), 可將IAB和χBE表示為調(diào)制方差VA的函數(shù), 即IAB=fIAB(VA) 和χBE=fχAB(VA), 則安全碼率公式(1)可以表示為以調(diào)制方差VA為唯一變量的函數(shù), 進(jìn)而可以基于優(yōu)化VA對(duì)安全碼率進(jìn)行最大化.

對(duì)于一個(gè)確定的譯碼矩陣, FER 隨調(diào)制方差VA的變化關(guān)系是實(shí)際實(shí)驗(yàn)可觀測(cè)的, 可根據(jù)糾錯(cuò)矩陣的隨VA變化的實(shí)際糾錯(cuò)成功率進(jìn)行數(shù)值擬合, 進(jìn)而得到關(guān)系式FER=fFER(VA).

綜上, 安全碼率可表征為VA的函數(shù):

由此可知, 安全碼率可以視為以調(diào)制方差VA為唯一變量的函數(shù). 則相應(yīng)地, 安全碼率的優(yōu)化問(wèn)題實(shí)際上可以視為以調(diào)制方差VA為參數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題.

3 調(diào)制方差全局優(yōu)化方法

根據(jù)上述理論推導(dǎo), 我們提出了一種基于調(diào)制方差的安全碼率優(yōu)化方案, 優(yōu)化流程如圖1 所示.

圖1 調(diào)制方差全局優(yōu)化流程Figure 1 Global optimization process of modulation variance

第一步, 首先獲取系統(tǒng)參數(shù). 對(duì)于確定的CV-QKD 系統(tǒng), 在特定的傳輸距離下, 信道透射率T、過(guò)噪聲ε、電噪聲vel、探測(cè)效率η受調(diào)制方差VA的影響很小, 可以不失一般性地近似為常數(shù). 上述參數(shù)均可通過(guò)實(shí)際觀測(cè)得到[28].

第二步, 分別獲取β-VA和FER-VA的函數(shù)關(guān)系. 根據(jù)第一步中獲取的系統(tǒng)參數(shù), 選擇合適的VA范圍(如: 0～20[24]/0～30[29]), 并計(jì)算相應(yīng)的SNR 范圍. 根據(jù)SNR 范圍, 選擇適用于對(duì)應(yīng)SNR 范圍合適的糾錯(cuò)矩陣H. 糾錯(cuò)矩陣確定后即可確定矩陣碼率R, 則β-VA的函數(shù)關(guān)系可基于矩陣碼率R和信噪比SNR 計(jì)算得到, 由于協(xié)調(diào)效率范圍應(yīng)滿(mǎn)足0≤β≤1, 進(jìn)一步可縮小對(duì)應(yīng)調(diào)制方差VA可選范圍, 計(jì)算公式見(jiàn)公式(8); 而FER-VA的函數(shù)關(guān)系則需要依據(jù)實(shí)際選用的糾錯(cuò)矩陣的糾錯(cuò)譯碼能力進(jìn)行曲線數(shù)值擬合得到, 詳細(xì)的擬合步驟在下一小節(jié)進(jìn)行具體介紹.

4 結(jié)果與討論

上一節(jié)介紹了基于調(diào)制方差的安全碼率優(yōu)化方案的處理步驟, 本節(jié)以信道傳輸距離為50 km 的典型條件為例介紹具體的計(jì)算分析方法.

第一步, 我們參考文獻(xiàn)[24,26] 設(shè)定CV-QKD 系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù): 電噪聲vel=0.041, 過(guò)噪聲ε=0.005,探測(cè)效率η=0.606, 信道衰減系數(shù)為α=0.2 dB/km, 根據(jù)傳輸距離L=50 km 計(jì)算T=10?αL/10. 第二步, 對(duì)于信道傳輸距離為50 km 的條件下, 我們選擇文獻(xiàn)[30] 中碼率為0.1 的度分布函數(shù)生成校驗(yàn)矩陣用于糾錯(cuò)譯碼, 對(duì)0 ＜VA＜20, 步長(zhǎng)0.01 的數(shù)據(jù)逐一生成256 個(gè)塊的數(shù)據(jù)量(每個(gè)塊長(zhǎng)為106), 測(cè)量得到對(duì)應(yīng)FER, 即可得到的FER-VA曲線的測(cè)量和擬合結(jié)果如圖2 所示. 從圖2 可以看出, 當(dāng)0 ＜VA＜2.6 時(shí), FER = 1, 表明糾錯(cuò)全部失敗; 當(dāng)VA大于3 時(shí), FER = 0, 表明糾錯(cuò)全部成功; 而在2.6≤VA≤3時(shí), FER 隨VA 的增加而降低, 如圖2 中實(shí)線所示; 相應(yīng)地, 糾錯(cuò)成功率1-FER 隨VA的增加而提高, 如圖2 中虛線所示. 因此, FER-VA的曲線關(guān)系主要擬合2.6≤VA≤3 的變化部分, 其余部分為常數(shù).

圖2 FER-VA 曲線的測(cè)量結(jié)果和(1-FER)- VA 曲線對(duì)比(50 km 傳輸距離, 碼率0.1)Figure 2 Comparison between measured results of FER-VA curve and (1-FER)- VA curve (L = 50 km, R = 0.1)

常見(jiàn)的擬合函數(shù)有正弦擬合、高斯擬合和傅里葉擬合, 綜合考慮到擬合效果和計(jì)算復(fù)雜度, 我們統(tǒng)一采用7 階擬合函數(shù), 對(duì)應(yīng)的擬合結(jié)果如圖3 所示, 其中測(cè)量結(jié)果為實(shí)驗(yàn)觀測(cè)結(jié)果, 圖中可看出擬合結(jié)果都取得了很好的一致性.

圖3 FER-V A 擬合結(jié)果Figure 3 Fitting result of FER-V A

進(jìn)一步, 我們對(duì)比了三者的擬合誤差: 和方差(sum of squares due to error, SSE)、確定系數(shù)(coefficient of determination)R-square, 和均方根(root mean squared error, RMSE), 對(duì)比結(jié)果如表1 所示,從表1 結(jié)果可知7 階傅里葉擬合誤差更小, 因此我們采用該擬合函數(shù)對(duì)FER-VA曲線進(jìn)行擬合.

表1 正弦擬合、高斯擬合和傅里葉擬合誤差對(duì)比Table 1 Error comparison of sinusoidal fitting, Gaussian fitting, and Fourier fitting

最終得到的分段7 階傅里葉擬合函數(shù)如公式(10) 所示:

依據(jù)公式(8), 將相關(guān)系統(tǒng)參數(shù)帶入即可以得到協(xié)調(diào)效率和調(diào)制方差之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式:

其相應(yīng)的變化曲線如圖4 所示. 從圖4 可以看出, 調(diào)制方差VA和協(xié)調(diào)效率β之間為負(fù)相關(guān), 即當(dāng)VA在一定范圍內(nèi)變化時(shí), 協(xié)調(diào)效率隨調(diào)制方差增大而降低, 如圖4 所示.

圖4 β-V A 曲線(50 km 傳輸距離, 碼率0.1)Figure 4 Curve of β-V A (L=50 km, R =0.1)

圖5 VA-KeyRate 曲線, 最優(yōu)調(diào)制方差=2.804 (50 km 傳輸距離, 碼率0.1)Figure 5 Curve of VA-KeyRate, optimal modulation variance=2.804 (L=50 km, R =0.1)

我們對(duì)以下三種調(diào)制方差的選擇方法進(jìn)行對(duì)比, 對(duì)應(yīng)選擇CV-QKD 系統(tǒng)參數(shù)為vel= 0.041,ε=0.005,η= 0.606,α= 0.2 dB/km,T= 0.1, 且選用R= 0.1 碼率的糾錯(cuò)矩陣進(jìn)行糾錯(cuò): 1) 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)調(diào)節(jié)適用于R= 0.1 碼率的信噪比范圍, 使得SNR = 0.161/SNR = 0.158, 可對(duì)應(yīng)實(shí)現(xiàn)協(xié)調(diào)效率β=92.85%/β=94.50%, 對(duì)應(yīng)參數(shù)可得到調(diào)制方差的對(duì)應(yīng)結(jié)果; 2) 在協(xié)調(diào)效率和誤幀率為常數(shù)的情況下,如:β= 92.00%, FER = 0 時(shí), 得到最優(yōu)調(diào)制方差; 3) 本文提出的優(yōu)化方案. 采用相同的數(shù)據(jù)協(xié)調(diào)和糾錯(cuò)譯碼方法, 對(duì)比結(jié)果如表2 所示, 對(duì)于方法一, 不考慮系統(tǒng)參數(shù)和數(shù)據(jù)后處理能力, 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)選擇SNR 和協(xié)調(diào)效率β, 無(wú)法保證安全碼率最大化; 對(duì)于方法二, 不考慮調(diào)制方差對(duì)誤幀率、協(xié)調(diào)效率的影響, 而不結(jié)合實(shí)際后處理能力, 導(dǎo)致實(shí)際協(xié)調(diào)效率無(wú)法達(dá)到目標(biāo)值, 也無(wú)法保證安全碼率最大化; 而采用本文方法, 考慮調(diào)制方差對(duì)協(xié)調(diào)效率和誤幀率的影響, 根據(jù)最優(yōu)調(diào)制方差可得,K= 0.0177 bits/pulse, 對(duì)比方法一和方法二, 本方法安全碼率顯著提升. 綜上表明, 僅通過(guò)經(jīng)驗(yàn)或固定協(xié)調(diào)效率和誤幀率的方法來(lái)確定調(diào)制方差, 無(wú)法達(dá)到最優(yōu)系統(tǒng)性能, 本方法通過(guò)明確的優(yōu)化方案實(shí)現(xiàn)安全碼率最大化.

進(jìn)一步地, 針對(duì)相同的CV-QKD 系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù), 即vel= 0.041,ε= 0.005,η= 0.606,α=0.2 dB/km, 我們以文獻(xiàn)[30] 的度分布函數(shù)為例, 生成了碼率為0.1、0.05、0.02 的糾錯(cuò)矩陣, 分別適用于當(dāng)傳輸距離L約為50 km、80 km、100 km 時(shí)系統(tǒng)的糾錯(cuò)譯碼. 在不同的信道傳輸距離下, 首先可計(jì)算得到相應(yīng)的信道透射率T, 然后基于前文所述方法, 可以獲得相應(yīng)的安全碼率與隨調(diào)制方差的變化曲線, 如圖6 所示.

從圖6 的曲線可以看出, 針對(duì)不同傳輸距離以及相應(yīng)的糾錯(cuò)矩陣, 都可以依據(jù)本文所提出的方案得到系統(tǒng)安全碼率隨調(diào)制方差變化的曲線, 并且均可求解得到使系統(tǒng)安全碼率最大化的最優(yōu)調(diào)制方差; 針對(duì)同一糾錯(cuò)矩陣下, 在其適用的傳輸距離范圍內(nèi), 最優(yōu)調(diào)制方差的大小隨傳輸距離的增加而增加, 且與之對(duì)應(yīng)的最大安全碼率隨著傳輸距離的增加而減小; 不同傳輸距離對(duì)應(yīng)的最優(yōu)糾錯(cuò)矩陣不同, 其最優(yōu)的調(diào)制方差范圍也不同, 需要根據(jù)實(shí)際情況選擇合適的糾錯(cuò)矩陣來(lái)確定最優(yōu)調(diào)制方差. 其次, 對(duì)于確定的傳輸距離,調(diào)制方差的調(diào)節(jié)范圍較大, 可以采用多種不同碼率的糾錯(cuò)矩陣來(lái)實(shí)現(xiàn)糾錯(cuò)譯碼, 基于本文所提出的方案可以從備選的糾錯(cuò)矩陣中選擇出使系統(tǒng)安全碼率最大化的糾錯(cuò)矩陣以及與之對(duì)應(yīng)的最優(yōu)調(diào)制方差. 這一優(yōu)化方案, 將CV-QKD 系統(tǒng)的光電層參數(shù)調(diào)制和后處理層的糾錯(cuò)譯碼能力結(jié)合, 為系統(tǒng)的參數(shù)調(diào)節(jié)提供了依據(jù). 通過(guò)定量分析協(xié)調(diào)效率和誤幀率各自隨調(diào)制方差的變化關(guān)系和制約特性, 綜合得到系統(tǒng)安全碼率與調(diào)制方差之間的函數(shù)關(guān)系式, 最終計(jì)算得到使系統(tǒng)安全碼率最大化的最優(yōu)調(diào)制方差, 進(jìn)一步提升實(shí)際CV-QKD 系統(tǒng)的性能.

圖6 安全碼率和調(diào)制方差關(guān)系曲線Figure 6 KeyRate-VA curve

5 結(jié)論

本文提出了一種CV-QKD 協(xié)議調(diào)制方差全局優(yōu)化方法. 對(duì)于確定的數(shù)據(jù)協(xié)商和糾錯(cuò)譯碼算法, 綜合考慮了調(diào)制方差變化時(shí)協(xié)調(diào)效率和誤幀率的變化特性, 量化分析了實(shí)際CV-QKD 系統(tǒng)中調(diào)制方差對(duì)誤幀率、糾錯(cuò)效率等參數(shù)的影響, 以達(dá)到安全碼率最大化. 相較于已知常用方法, 本優(yōu)化方法在典型CV-QKD系統(tǒng)參數(shù)下僅通過(guò)調(diào)制方差參數(shù)優(yōu)化即可將顯著提升安全碼率. 此外, 該方法適用于各類(lèi)CV-QKD 協(xié)議,包括高斯調(diào)制、離散調(diào)制協(xié)議等, 也適用于有限碼長(zhǎng)和無(wú)限碼長(zhǎng)情形, 可擴(kuò)展性好, 在今后的研究中將結(jié)合自適應(yīng)譯碼或其他譯碼算法開(kāi)展更加深入的研究.