非對稱Keyfitz-Kranzer方程組在壓力消失過程中的質(zhì)量集中和空化現(xiàn)象

方艷紅， 郭俐輝

（新疆大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆 烏魯木齊830046）

研究一類經(jīng)典的雙曲守恒律方程組

其中ρ、u和P分別表示密度、速度和壓強(qiáng).該系統(tǒng)是非對稱Keyfitz-Kranzer方程組［1］的特殊形式，廣泛應(yīng)用于彈性力學(xué)和流體力學(xué)等領(lǐng)域.它也可以通過Aw-Rascle交通流模型［2］得到，而交通流廣泛應(yīng)用于描述交通事故以及其他交通現(xiàn)象的形成.

近年來，非對稱Keyfitz-Kranzer方程組已被學(xué)者們廣泛研究.文獻(xiàn)［3］運用補(bǔ)償緊性法估計了Keyfitz-Kranzer方程組黎曼不變量的邊值問題，并證明其Cauchy問題全局有界熵解的存在性；文獻(xiàn)［4］構(gòu)造了Chaplygin氣體非對稱Keyfitz-Kranzer方程組的黎曼解；文獻(xiàn)［5］對廣義和修正Chaplygin氣體非對稱Keyfitz-Kranzer方程組的黎曼解及其解的極限行為進(jìn)行了研究；文獻(xiàn)［6］討論了多方氣體與廣義Chaplygin氣體非對稱Keyfitz-Kranzer方程組的壓力消失極限；文獻(xiàn)［7］研究了多方氣體非對稱Keyfitz-Kranzer方程組的壓力消失以及流擾動極限行為.關(guān)于Keyfitz-Kranzer方程組的更多研究可參見文獻(xiàn)［8-9］.

為了與宇宙觀測數(shù)據(jù)一致，文獻(xiàn)［10］在2014年提出擴(kuò)展Chaplygin氣體模型

更多研究請參看文獻(xiàn)［11］.擴(kuò)展Chaplygin氣體由2項組成：第1項是服從線性正壓狀態(tài)的普通流體，第2項與能量密度的倒數(shù)有關(guān).它可以通過改變重力精確地研究宇宙加速度.本文研究α=1的特殊形式

也稱為輸運方程，可以通過Boltzmann方程［14］得到.輸運方程（3）通常用來描述一些重大的物理現(xiàn)象，如自由粒子在碰撞作用下的黏附過程［15］以及宇宙中大規(guī)模結(jié)構(gòu)的形成［16］.本文主要通過從方程組（1）到（3）的壓力消失極限過程研究宇宙2個不同時期之間的過渡.

本文首先研究帶有如下初值

的方程組（1）和方程（2）的黎曼解的極限.容易得到，壓力消失過程中，激波和接觸間斷構(gòu)成的解收斂到一類特殊的δ激波，其傳播速度和權(quán)與零壓流不同，且中間密度趨于奇異測度.另一方面，疏散波和接觸間斷構(gòu)成的解收斂到接觸間斷，中間狀態(tài)趨于真空.因此，方程組（1）不會收斂到零壓流（3）.

為解決此問題，引入擾動Keyfitz-Kranzer方程組

與方程組（1）相比，方程組（5）的2個特征真正非線性，即黎曼解由疏散波和激波組成.壓力消失時，2個激波構(gòu)成的解收斂到零壓流的δ激波，2個疏散波構(gòu)成的解收斂到接觸間斷，且中間狀態(tài)趨于真空.因此，擾動Keyfitz-Kranzer方程組（5）收斂到零壓流（3）.不難發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量集中會導(dǎo)致狄拉克激波的出現(xiàn)，而真空狀態(tài)是由空化現(xiàn)象引起的.

1 輸運方程的黎曼解

本節(jié)簡要敘述零壓流（3）的黎曼解，具體參看文獻(xiàn)［12］.方程組（3）有特征值λ=u和對應(yīng)的右特征向量r=（1，0）T，滿足▽λ·r=0.

對于u-＜u+，帶有真空狀態(tài)的2個接觸間斷解為

此外，δ激波解（7）和（8）滿足廣義Rankine-Hugoniot條件

和熵條件u+＜σδ＜u-.

2 Keyfitz-Kranzer方程組黎曼解的極限行為

2.1 方程組（1）的黎曼解本節(jié)簡要敘述方程組（1）（2）和（4）的黎曼解.不失一般性，取A=B=1.方程組（1）有2個特征值

故方程組（1）嚴(yán)格雙曲（λ1＜λ2）和一類特征真正非線性、二類特征線性退化.

除常數(shù)解，奇解為疏散波

這里疏散波曲線和激波曲線在（ρ-，u-）點重合，故方程組（1）屬于Temple class［17］.（ρ，u）相平面被劃分為Ⅰ、Ⅱ區(qū)域，方程組（1）（2）和（4）的黎曼解構(gòu)造如下：

2.2 ε→0時，方程組（1）的黎曼解的極限本節(jié)研究方程組（1）的解的壓力消失極限，并與零壓流（3）的解做比較.

2.2.1 δ激波的形成 當(dāng)u-＞u+時，由激波和接觸間斷構(gòu)成的黎曼解為

意味著S1和J收斂到一類特殊的狄拉克激波［18］，其傳播速度u+不同于零壓流（3）.

由（10）和（11）式得

與零壓流（3）的權(quán)不同，可能是由于δ激波的傳播速度不同導(dǎo)致的.對于方程組（1）的極限解，δ激波左側(cè)特征進(jìn)入δ激波曲線x=u+t，而右側(cè)特征與δ激波曲線平行.對于方程組（3），δ激波兩側(cè)特征全部進(jìn)入δ激波曲線x=σδt（見圖1）.由于方程組（1）的極限解不滿足熵條件u+＜σδ＜u-，所以方程組（1）的黎曼解不會收斂到零壓流（3）.

圖1 物理平面Fig.1 Physical plane

2.2.2 真空狀態(tài)的形成 當(dāng)u-＜u+時，包含疏散波和接觸間斷的黎曼解為

由（9）和（11）式推出

因此，疏散波曲線R1趨于速度為u-的接觸間斷J1，而接觸間斷J趨于速度為u+的接觸間斷J2.與此同時，中間狀態(tài)趨于真空，故方程組（1）的黎曼解收斂到零壓流（3）.

3 擾動Keyfitz-Kranzer方程組黎曼解的極限行為

3.1 方程組（5）的黎曼解本節(jié)構(gòu)造方程組（4）和（5）的黎曼解.不失一般性，取A=B=1.方程組（5）有2個特征值

因此，方程組（5）嚴(yán)格雙曲（ρ，u＞0），2個特征真正非線性.

由于方程組（4）和（5）在

下是不變量，尋找自相似解

則方程組（4）和（5）變成常微分方程無窮遠(yuǎn)處的邊值問題

對（21）式的第二式左右兩邊取極限

即S2與ρ軸有交點.

通過上述分析，給定負(fù)狀態(tài)（ρ-，u-），將（ρ，u）半平面分成5個區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ和Ⅴ（見圖2）.方程組（4）和（5）的黎曼解構(gòu)造如下：

圖2 基本波曲線Fig.2 The curve of elementary waves

1）（ρ+，u+）∈Ⅰ（ρ-，u-）：R1+R2；

2）（ρ+，u+）∈Ⅱ（ρ-，u-）：R1+S2；

3）（ρ+，u+）∈Ⅲ（ρ-，u-）：S1+R2；

4）（ρ+，u+）∈Ⅳ（ρ-，u-）：S1+S2；

5）（ρ+，u+）∈Ⅴ（ρ-，u-）：R1+V真空+R2.

3.2 ε→0時，擾動方程組（5）的黎曼解的極限情況本節(jié)分析方程組（5）的黎曼解的極限行為并與方程組（3）的黎曼解做比較，分2種情況討論.

3.2.1 δ激波的形成 當(dāng)u-＞u+時，有

給定任意ε＞0，（ρ*，u*）為中間狀態(tài)，S1連接（ρ-，u-）和（ρ*，u*），而S2連接（ρ*，u*）和（ρ+，u+）.具體來說，有

定理3.4當(dāng)u-＞u+時，假設(shè)（ρ，u）（ξ）是方程組（4）和（5）由2個激波構(gòu)成的黎曼解.壓力消失過程中，激波解在分布意義下收斂到δ激波解（7）和（8），與零壓流（3）的黎曼解完全相同.此外，ρ和ρu的極限分別是

3.2.2 真空狀態(tài)的形成 當(dāng)u-＜u+時，（ρ+，

u+）∈Ⅰ∪Ⅴ（ρ-，u-）.給定任意ε＞0，（ρ*，u*）為中間狀態(tài)，R1連接（ρ-，u-）和（ρ*，u*），R2連接（ρ*，u*）和（ρ+，u+）.

定理3.5當(dāng)u-＜u+時，假設(shè)（ρ，u）（ξ）是方程組（4）和（5）由2個疏散波構(gòu)成的黎曼解.壓力消失時，疏散波收斂到接觸間斷，中間狀態(tài)趨于真空，與零壓流（3）的黎曼解完全相同.

證明假設(shè)

4 數(shù)值模擬

本節(jié)利用Lax-Friedrichs差分格式呈現(xiàn)一組具有代表性的數(shù)值實驗去驗證δ激波和真空狀態(tài)的形成.

1）當(dāng)u-＞u+時，取初始數(shù)據(jù)

對于t=0.4的情形，圖3～圖5的左側(cè)分別呈現(xiàn)了

的數(shù)值結(jié)果，表明壓力消失過程中質(zhì)量集中導(dǎo)致δ激波的形成.

2）當(dāng)u-＜u+時，給出初始數(shù)據(jù)

對于t=2的情形，圖3～圖5的右側(cè)分別呈現(xiàn)了

圖3 ε＝1時δ激波（左）和真空狀態(tài)（右）的密度Fig.3 Density ofδshock wave（left）and vacuum states（right）forε＝1

圖5 ε＝0．000 1時δ激波（左）和真空狀態(tài)（右）的密度Fig.5 Density ofδshock wave（left）and vacuum states（right）forε＝0．000 1

的數(shù)值結(jié)果，表明壓力消失過程中空化現(xiàn)象導(dǎo)致真空狀態(tài)的形成.

綜上所述，以上所有的數(shù)值實驗與理論分析完全一致.

圖4 ε＝0．1時δ激波（左）和真空狀態(tài)（右）的密度Fig.4 Density ofδshock wave（left）and vacuum states（right）forε＝0．1