關(guān)聯(lián)速度和關(guān)聯(lián)加速度的深度分析與教學(xué)建議

黃基松

摘要：通過繩、桿連接的兩個(gè)物體之間的速度關(guān)聯(lián)性是高中物理的一個(gè)教學(xué)難點(diǎn)。筆者將從數(shù)學(xué)的求導(dǎo)角度和速度瞬心法對速度和加速度關(guān)聯(lián)問題進(jìn)行分析，并且根據(jù)分析結(jié)果給出不同的教學(xué)方法和策略;同時(shí)，對于關(guān)聯(lián)加速度提供了特殊狀態(tài)下的例題供教學(xué)參考。

關(guān)鍵詞：關(guān)聯(lián)速度? 關(guān)聯(lián)加速度? 數(shù)學(xué)求導(dǎo)? 速度瞬心

在高中物理運(yùn)動(dòng)的合成與分解的教學(xué)實(shí)踐中，關(guān)于連接體之間速度關(guān)聯(lián)問題，一直是個(gè)難點(diǎn)。好在已經(jīng)有很多老師在教學(xué)實(shí)踐中對其進(jìn)行了思考和總結(jié)。那么連接體間的速度到底滿足什么樣的數(shù)學(xué)關(guān)系？它的物理本質(zhì)是什么？端點(diǎn)間的加速度沿著繩和桿方向的關(guān)系是怎樣的，對我們的日常教學(xué)中有什么樣的啟發(fā)呢？筆者將一一提出自己的觀點(diǎn)。

一、速度關(guān)聯(lián)的介紹和教學(xué)現(xiàn)狀

例題：如圖1所示，在不同高度的兩個(gè)水平面上分別放著物體甲和乙，且甲、乙兩個(gè)物體間用一根不可伸長的輕繩連接。當(dāng)繩子與水平方向成夾角為θ時(shí)，物體甲的速度v甲與物體乙的速度v乙滿足什么關(guān)系呢？

在圖1中，兩個(gè)物體的速度v甲和v乙分別代表著繩的兩個(gè)端點(diǎn)的速度。這兩個(gè)物體通過一根繩子相關(guān)聯(lián)，可以通過速度關(guān)系式，由一個(gè)物體（端點(diǎn)）的速度求另一個(gè)物體（端點(diǎn)）的速度，這兩個(gè)端點(diǎn)的速度關(guān)系，就是所謂運(yùn)動(dòng)物體的關(guān)聯(lián)速度問題。

但是在高中物理教學(xué)中關(guān)于兩者速度之間的關(guān)系有兩種表達(dá)方式：一種認(rèn)為兩個(gè)物體的速度關(guān)系滿足v乙=v甲sinθ（如圖2），給出的理由是繩端的速度在乙物體處可以沿著水平方向和豎直方向進(jìn)行分解，水平方向的分速度等于乙物體的真實(shí)速度。另一種觀點(diǎn)認(rèn)為物體甲和物體乙的速度滿足v甲=v乙sinθ（如圖3），給出的理由是沿著輕繩方向的速度是相等的，否則繩子要么被拉長（不符合高中物理對輕繩的定義），要么被拉斷，要么處于松弛狀態(tài)（則兩個(gè)端點(diǎn)就是孤立的，失去了關(guān)聯(lián)）。

那么到底輕繩端點(diǎn)的速度會(huì)滿足什么關(guān)系呢？人教版高中物理教材也沒有相關(guān)的介紹，近些年的高考也很少考查這個(gè)知識(shí)點(diǎn)。因?yàn)檫@類問題實(shí)際上是剛體的平面運(yùn)動(dòng)問題。由于高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)的限制，因此對于剛體問題討論較少，但是不少輔導(dǎo)教材卻出現(xiàn)了類似的題目，也有的老師對速度關(guān)系做了簡單的介紹，可是對于加速度關(guān)系的介紹幾乎沒有。本文我們將從數(shù)學(xué)解析法和剛體運(yùn)動(dòng)速度瞬心法來討論端點(diǎn)的速度關(guān)系，也從解析法和速度瞬心法來進(jìn)一步討論端點(diǎn)加速度的關(guān)系。

二、關(guān)聯(lián)速度推導(dǎo)

（一）數(shù)學(xué)推導(dǎo)

可以將滑輪和滑輪在水平面的投影及物體乙的位置構(gòu)建成一個(gè)三角形△OAB，如圖4，AB的長度為h（為兩個(gè)水平面的高度差且為固定值），BO的長度為L，AO的長度為x，在△OAB中，邊長關(guān)系滿足x=Lsinθ，此關(guān)系式中的x變化則L和角度θ也都跟著變化，所以此關(guān)系式對時(shí)間進(jìn)行偏微分得到：dxdt=dLdtsinθ+Lcosθdθdt，式中dLdt=vL為繩端A點(diǎn)沿AO方向的速度，dθdt=w繩AO繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度;dxdt=vx為繩端O點(diǎn)沿BO方向的速度，所以得到vx=vLsinθ+Lwcosθ，從表達(dá)式和圖5可以看出O點(diǎn)的速度vx除了有沿AO方向的分速度vL，還有切線方向的分速度Lw，所以由幾何關(guān)系可得：vL=vxsinθ。

（二）速度瞬心法推導(dǎo)

關(guān)于關(guān)聯(lián)速度實(shí)際可以看作平面剛體的運(yùn)動(dòng)，利用速度瞬心法解決問題，在瞬間時(shí)可把它們看作剛體處理時(shí)，如圖6所示，O′為剛體的瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心，O′A=L1和OO′=L2為A點(diǎn)和O點(diǎn)繞O′點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)半徑，具有相同的角速度w，且w=vLL1=vxL2，sinθ=L1L2;所以也是：vL=vxsinθ。

其實(shí)，除了解析法和速度瞬心法，還有速度投影法，即輕桿或輕繩的端點(diǎn)的速度沿著輕桿和繩的方向的速度投影是相等的，如果不相等，要么輕桿和輕繩被拉斷，要么輕桿被擠壓變形，輕繩處于松弛狀態(tài)，兩個(gè)端點(diǎn)也就各自孤立，即vLcos0°=vxsinθ也能得到vL=vxsinθ。

（三）關(guān)聯(lián)速度的教學(xué)建議

由于高一年級的學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的求導(dǎo)知識(shí)，不會(huì)運(yùn)用偏微分。但是這樣的知識(shí)卻在曲線運(yùn)動(dòng)的教學(xué)中出現(xiàn)了，怎樣講解才能讓學(xué)生理解這樣的速度關(guān)系呢？在具體教學(xué)中，我提供兩種方案。

方案一：如圖7所示，物體乙先繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到物體的虛線位置Q，再沿著輕繩AQ的方向運(yùn)動(dòng)到水平位置S處。

方案二：如圖8所示，可以認(rèn)為物體乙先沿繩的方向運(yùn)動(dòng)到虛線位置R，再繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)到右邊水平位置S處。

由于高中學(xué)生沒有接受剛體知識(shí)的教育，因此讓他們用速度瞬心法尋找關(guān)聯(lián)速度的關(guān)系是比較困難的，但是對理解能力強(qiáng)一點(diǎn)的學(xué)生，可以讓他們利用速度投影定理尋找關(guān)系，學(xué)生會(huì)更容易接受。

三、端點(diǎn)加速度關(guān)系的推導(dǎo)

那么兩個(gè)端點(diǎn)A、O的加速度又有什么關(guān)系呢？這在高中物理中討論得很少，在相關(guān)的教學(xué)論文中也是鮮有提及的。接下來我們也將從解析法和加速度瞬心方面進(jìn)行討論。

（一）數(shù)學(xué)求導(dǎo)

如圖5，對關(guān)系式vL=vxsinθ的兩邊分別對時(shí)間進(jìn)行求導(dǎo)：dvLdt=dvxdtsinθ+wvxcosθ：式中dvLdt=aL端點(diǎn)A沿AO方向加速度，dvxdt=ax端點(diǎn)O沿BO方向加速度，又因?yàn)関x=hwcos2θ，從而得到兩個(gè)繩端點(diǎn)沿著切線方向的加速度關(guān)系：aL=axsinθ+v2xcos3θh。

（二）加速度瞬心法

由于AO可看作是剛體，當(dāng)剛體運(yùn)動(dòng)到如圖9所示的位置時(shí)，端點(diǎn)O點(diǎn)的速度Vx方向沿著BO方向，端點(diǎn)A的速度VL方向沿著AO方向。過A點(diǎn)和O點(diǎn)分別作AO方向和BO方向的垂線，兩垂線的交點(diǎn)為O′，即為剛體AO的運(yùn)動(dòng)瞬心，圖中L1和L2則分別為A點(diǎn)和O點(diǎn)繞著O′轉(zhuǎn)動(dòng)的瞬時(shí)半徑。兩點(diǎn)沿著各自的瞬時(shí)半徑方向的瞬時(shí)加速度叫作法向加速度分別為aLn=v2LL1和axn=v2xL2;A點(diǎn)和O點(diǎn)的切向加速度分別為：aLτ和axτ。由于法向加速度沿著A方向的分量產(chǎn)生的相對加速度和切向相對加速度是相等的，即：aLτ-axτsinθ=aLncos90°-（l-axncosθ）;由圖中的幾何關(guān)系可知：L2cos2θ=Lcosθ=h;整理可得：aLτ=axτsinθ+axncosθ;aLτ=axτsinθ+v2xcos3θh此式中aLτ與解析法中aL是等價(jià)的，axτ與ax也是等價(jià)的，至此可以發(fā)現(xiàn)利用速度瞬心法也可以求出兩個(gè)端點(diǎn)沿著速度方向的加速度關(guān)系。下面就運(yùn)用速度關(guān)系式vL=vxsinθ來討論加速度的關(guān)系。