為什么要引入弧度制

張靜美

弧度制是高中三角函數(shù)中的基礎(chǔ)知識，新課標對學(xué)生提出的要求是“體會引入弧度制的必要性”，能進行弧度和角度的互化，但事實上大多數(shù)學(xué)生對引入弧度制的必要性感到迷惑不解，不明白為什么要把90°換成一個無理數(shù)π/2.筆者結(jié)合三角學(xué)的發(fā)展史和弧度制的意義，來說明引入弧度制的必要性。

一、角度制與弧度制

公元前約300年，古巴比倫人創(chuàng)造出了角度制，他們把圓周分為360等份，定義每一份為1度，1度可以分為60分，1分可以分為60秒，為了求得給定弧所對的弦長，古希臘數(shù)學(xué)家希帕科斯首次繪制了弦表，之后，希臘數(shù)學(xué)家托勒密采用60進制的單位值，求出了各種不同的弧長所對應(yīng)的弦長，繪制出了比希帕科斯更加完整的弦表，公元6世紀，印度數(shù)學(xué)家阿耶波多把弦所對的弧的一半與半弦對應(yīng)，制作出了半弦表，后來阿拉伯學(xué)者引進了正弦、余弦、正切、余切的概念，但角的范圍始終限制在[0°，180°]，16世紀，印度數(shù)學(xué)家利提克斯發(fā)現(xiàn)給定半徑的弧和弦長的一一對應(yīng)關(guān)系，于是借助直角三角形的邊長之間的比例關(guān)系，重新定義正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

在微積分出現(xiàn)之后，三角學(xué)者們開始重視函數(shù)思想的應(yīng)用，為了方便使用，他們將弦長的進制改成了10進制，而角度依然是60進制，導(dǎo)致查閱三角函數(shù)表非常不方便，于是弧度制便應(yīng)運而生了。

1714年，英國數(shù)學(xué)家羅杰·科特斯提出了“弧度”的概念，將弧度定義為弧長與半徑的比值，在三角形中，角是自變量，對應(yīng)的因變量是三角形邊長的比值，弧度使自變量與因變量的表達形式統(tǒng)一，使三角函數(shù)的定義與函數(shù)保持一致，1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉將三角函數(shù)置于單位圓中，使三角學(xué)脫離了三角形，1873年，在詹姆斯·湯姆森教授編制的一本考試問題集中首次出現(xiàn)弧度的名稱“radian”，弧度制的引入是三角學(xué)發(fā)展的需要，弧度制使三角學(xué)走上了近代數(shù)學(xué)的舞臺。

二、弧度制的意義

類比單位制的發(fā)展，可以發(fā)現(xiàn)弧度制是角的另一種表示，這與米和英尺都表示長度是一個道理引入弧度制給我們帶了7大益處。

1.弧度制的引入使得角的集合與實數(shù)R之間建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，雖然用角度制也可以建立對應(yīng)關(guān)系，但由于進位制不同導(dǎo)致計算不便，而有了弧度制后每一個角都對應(yīng)的唯一一個實數(shù)，即弧度數(shù)就是這個實數(shù)的角，每一個實數(shù)對應(yīng)唯一一個角的大小。