等差法解答一類(lèi)走走停停行程問(wèn)題

摘 要：本文研究了某一類(lèi)走走停停行程問(wèn)題，用等差數(shù)列的思想處理復(fù)雜的追及點(diǎn)判斷，在初始路程差不是休息路程整數(shù)倍的題型解答中具有優(yōu)越性.在判斷最終追及點(diǎn)和計(jì)算第一次追及時(shí)間上做了深入研究和詳細(xì)解釋?zhuān)偨Y(jié)出更具有通用性的解法.

關(guān)鍵詞：走走停停;時(shí)間差;追及

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2021）02-0031-02

收稿日期：2020-10-15

作者簡(jiǎn)介：蘇蕤軒（1991.2-），男，四川省成都人，本科，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、引入

在很多小學(xué)畢業(yè)考試、小學(xué)杯賽或初中數(shù)學(xué)考試中常出現(xiàn)行程問(wèn)題，它是普遍學(xué)生的弱項(xiàng)，同時(shí)也成為命題者偏愛(ài)的題型之一，在奧數(shù)競(jìng)賽中擁有非常顯赫的地位.走走停停行程問(wèn)題屬于難點(diǎn)題型，它并不能直接用基本行程公式解決，需要經(jīng)過(guò)復(fù)雜的判斷和計(jì)算，已有文獻(xiàn)給出了路程差是休息路程整數(shù)倍時(shí)的解答方法，但是該方法并不能解決路程差不是休息路程整數(shù)倍的題型.本文重在于探索一種更具有通用性的方法.

二、難點(diǎn)突破

此類(lèi)問(wèn)題的難點(diǎn)在于如何判斷最終狀態(tài)，本文通過(guò)等差數(shù)列和斜率來(lái)突破難點(diǎn)，通過(guò)平移快者的路程來(lái)計(jì)算追及時(shí)間.

1.最終狀態(tài)判斷

本文把題目給定的路程差用S表示，休息路程用ΔS表示，休息時(shí)間用ΔT表示，快者的速度用vk表示，慢者的速度用vm表示.

我們把快者行進(jìn)到S的時(shí)間視為“首項(xiàng)”，此后每行完ΔS，快者增加了時(shí)間，慢者也增加了時(shí)間，但是慢者增加的時(shí)間更多，所以相差了ΔSvm-ΔSvk，這也就是“公差”.每行進(jìn)ΔS，首項(xiàng)就會(huì)減少一個(gè)“公差”，直到減少到0，或者減少到小于公差（這是多數(shù)情況）.所以休息次數(shù)的本質(zhì)就同于等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)，對(duì)于快者而言，全部的休息次數(shù)還要加上“首項(xiàng)”計(jì)算時(shí)經(jīng)歷的休息次數(shù).

最終追及點(diǎn)判斷需要明確到底是快者追及上行進(jìn)中的慢者還是休息中的慢者.本文將結(jié)果分為如下三類(lèi)：

（1）快者最后一次休息后的行進(jìn)中，第一次追及上行進(jìn)中的慢者;

（2）快者最后一次休息后的行進(jìn)中，第一次追及上休息中的慢者;

（3）快者最后一次休息前的行進(jìn)中，第一次追及上行進(jìn)中的慢者.

根據(jù)斜率和余數(shù)可以判斷到底屬于哪種類(lèi)型.如圖2，主要就是判斷參考點(diǎn)到底在a的右下方還是左上方，通過(guò)比較斜率即可.若b斜率小于a，必在右下方;若b斜率大于a，必在左上方;若b斜率等于a，則可任意看待.b的斜率為k快=ΔS′余數(shù)+ΔS′v快，（ΔS′表示快者的當(dāng)次休息區(qū)跟慢者的前一個(gè)休息區(qū)的距離），a的斜率就是慢者的速度k慢=v慢.

判斷好斜率后，如果b斜率小于a，就還要判斷追及點(diǎn)會(huì)不會(huì)在慢者的休息區(qū)，因?yàn)榕懦祟?lèi)型（3），還得鎖定到底是（2）還是（1），所幸這比較容易，比較下一個(gè)休息區(qū)的時(shí)間差即可.

如果是類(lèi)型（2），那么：公差-余數(shù)<休息時(shí)間，如果是類(lèi)型（1），那么：公差-余數(shù)>休息時(shí)間，見(jiàn)圖3，標(biāo)注的橫線部分就是“公差-余數(shù)”.

2.追及時(shí)間計(jì)算

如果是類(lèi)型（1）和類(lèi)型（3），可優(yōu)先使用平移快者的方法，快速得到連續(xù)追及的時(shí)間，我們假定追及上時(shí)快者比慢者多休息Δn次，那么連續(xù)追及時(shí)間為S+Δn×ΔT×vk÷vk-vm，這個(gè)時(shí)間恰好等于慢者的連續(xù)行進(jìn)時(shí)間，外加慢者的休息時(shí)間即為總的追及時(shí)間.

如果是類(lèi)型（2），直接通過(guò)慢者計(jì)算即可.假定慢者一共休息了n次（含最后一次），因?yàn)樽詈笠淮螞](méi)有休息完，離休息結(jié)束還有“公差-余數(shù)”，所以直接當(dāng)成n次計(jì)算總時(shí)間，然后減去“公差-余數(shù)”即可.

三、典例分析

例1 快慢兩人分別從相距550米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，他們每走200米都會(huì)停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是40米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

解答：快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間550÷100+2×1=7.5秒

公差20040-200100=3秒

次數(shù)7.5÷3=2次……1.5秒

斜率501.5+50100=25小于40

（50是快者的休息區(qū)跟慢者前一次休息區(qū)的距離，因?yàn)?00的倍數(shù)減去550，最小值為50）

下一次的余數(shù)3-1.5=1.5秒，大于1秒

屬于類(lèi)型①，接下來(lái)平移快者，直接計(jì)算追及時(shí)間

快慢者休息次數(shù)差為3，連續(xù)追及時(shí)間為550+100×3×1÷100-40=1416秒

總時(shí)間為1416+2×1=1616秒

答：甲第一次追上乙的時(shí)間是1616秒.

例2 快慢兩人分別從相距550米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，他們每走200米都會(huì)停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

解答：快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間為：550÷100+2×1=7.5秒

快者已經(jīng)休息2次

公差為20060-200100=43秒

次數(shù)為7.5÷43=5次……56秒

斜率為5056+50100=37.5小于60

下一次的余數(shù)：43-56=12秒，小于1秒

屬于類(lèi)型②，接下來(lái)用慢者直接計(jì)算時(shí)間，慢者在第5+1=6個(gè)休息區(qū)，距離休息結(jié)束還有12秒

6×20060+1-12=2512秒

答：快者第一次追上慢者的時(shí)間是2512秒.

例3 快慢兩人分別從相距500米的兩地同時(shí)出發(fā)同向而行，他們每走200米都會(huì)停1秒，已知快者的速度是100米每秒，慢者的速度是60米每秒.求快者第一次追上慢者的時(shí)間.

解答：快者行至路程差的時(shí)間外加休息時(shí)間500÷100+2×1=7秒

公差20060-200100=43秒

次數(shù)7÷43=5次……13秒

斜率10013+100100=75大于40

屬于類(lèi)型③，接下來(lái)平移快者，直接計(jì)算追及時(shí)間

快慢者休息次數(shù)差為2，連續(xù)追及時(shí)間為500+100×2×1÷100-60=1712秒

總時(shí)間為1712+5×1=2212秒

答：快者第一次追上慢者的時(shí)間是2212秒.

處理此類(lèi)休息路程相同的走走停停行程問(wèn)題可以按照如下思路解決：

其一、通過(guò)兩者行進(jìn)休息路程的時(shí)間差計(jì)算休息次數(shù);

其二、通過(guò)斜率判斷屬于哪種類(lèi)型;

其三、直接計(jì)算（類(lèi)型②）或通過(guò)平移法計(jì)算（類(lèi)型①或類(lèi)型③）追及時(shí)間.

?參考文獻(xiàn)：

[1]黃佳琴.中小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的行程問(wèn)題[J]科技信息，2010（13）：129+145.

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[責(zé)任編輯：李 璟]