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    5.5.1兩角差的余弦公式(第1課時)

    2021-09-10 07:22:44胡曉翠
    科教創(chuàng)新與實踐 2021年12期
    關鍵詞:余弦公式對稱性意圖

    胡曉翠

    一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

    1. 內(nèi)容

    兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用。

    2.內(nèi)容解析

    教科書關于本節(jié)三角恒等變換安排了以下內(nèi)容:兩角差的余弦公式;兩角和與差的正弦、余弦、正切公式;二倍角的正弦、余弦、正切公式. 中心內(nèi)容是建立相關的十一個公式,通過探索、證明和初步應用,體會和認識公式的特征和功能,發(fā)展學生邏輯推理素養(yǎng)和數(shù)學運算素養(yǎng)。

    類比5.3節(jié)中用到的圓的特殊對稱性,此處用到的是圓的更一般的對稱性,即旋轉(zhuǎn)對稱性. 這種特殊與一般的關系,蘊含著誘導公式與兩角和(差)公式之間的特殊與一般關系.兩角差的余弦公式是兩角和的正弦、余弦、正切公式的基礎,為后面公式的推導起了鋪墊作用。

    綜合以上分析,確定本節(jié)課的教學重點:兩角差余弦公式的應用. 教學難點:兩角差的余弦公式的形成(推導過程)。

    二、目標與目標解析

    1.目標

    (1)讓學生經(jīng)歷推導兩角差的余弦公式的過程,了解兩角差余弦公式的意義。

    (2)能夠掌握兩角差的余弦公式的探索、證明及初步應用。

    (3)學生能夠通過觀察和分析公式的結(jié)構(gòu)特點,從整體上把握公式,靈活地運用公式,抓住角的特點解決問題。

    2.目標解析

    (1)學生親身經(jīng)歷了探索過程,加強了新舊知識的聯(lián)系,使學生從直觀角度加強對差角公式結(jié)構(gòu)形式的認知。

    (2)學生在教師的引導下,探索和證明兩角差的余弦公式,根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性,結(jié)合初中圓的知識以及兩點間的距離公式,以小組合作交流的形式,確定公式的具體形式,再通過例習題,鞏固和加強對公式的理解和應用。

    (3)學生在教師的引導下會適當?shù)剡\用轉(zhuǎn)化、代換的方法配湊出使用公式的形式,抓住角的特點解決求值、求角、求函數(shù)最值等問題。

    三、教學問題診斷分析

    學生在本節(jié)課前已經(jīng)學習了三角函數(shù)的概念、誘導公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等,對三角函數(shù)已經(jīng)有了初步的認知,前面的內(nèi)容學習的是同一個角的問題,現(xiàn)在繼續(xù)學習的是關于兩個角的和與差的三角函數(shù)形式,有了前面的基礎,學生學習起來還是比較感興趣的。

    學習本節(jié)內(nèi)容時學生可能會在以下方面感到困惑:

    1.如何生成兩角差的余弦公式. 這個困惑主要發(fā)生在公式生成過程中如何將點坐標和公式聯(lián)系在一起,在這個問題中,我們可以引導學生類比5.3誘導公式的探究過程,從形的角度入手研究,再將形的關系代數(shù)化,從不同的角度進行表示,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想方法,最后則體現(xiàn)聯(lián)系性,即圖形本身的直觀性質(zhì). 本節(jié)力圖體現(xiàn)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性與三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系,從而證明兩角差余弦公式。

    2.如何利用平面上兩點間距離公式建立等式關系. 對于這個問題,學生可以在教師的引導下一起完成。

    3.如何從公式的結(jié)構(gòu)特點靈活運用公式(包括對公式的正用、逆用、變用).這也是本節(jié)課的重點,在這里需要學生會觀察、會分析角的特點,靈活運用適當?shù)霓D(zhuǎn)化、代換的方法,再結(jié)合公式解決問題。

    四、教學支持條件分析

    使用導學案,引導學生逐步探索兩角差余弦公式,體驗提出問題、分析問題和解決問題的愉悅感。

    五、教學過程設計

    (一)復習引入

    問題1:在初中,我們就知道,,由此我們能否得到cos15°=cos(45°-30°)的值?大家可以猜想,是不是等于?

    師生互動:學生回答不等于,cos15°大于0,cos45°-cos30°小于0,顯然不成立。

    設計意圖:為研究兩角差余弦公式做鋪墊。

    (二)新知探索

    1.公式的形成

    問題2:預習教科書215頁,由圖5.5-1,你能根據(jù)三角函數(shù)的定義,寫出點A,P,A1,P1的坐標嗎?

    師生互動:學生表示

    追問1:圖中弦長AP和A1P1什么關系?你能用兩點間的距離公式表示弦長AP和A1P1嗎?

    師生互動:學生結(jié)合初中圓的平面幾何知識,根據(jù)圓的旋轉(zhuǎn)對稱性得出,AP=A1P1.在教師的引導下,用兩點間的距離公式分別表示弦長

    追問2:由弦長AP=A1P1,你能得到cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ嗎?如何推導?

    師生互動:學生回答能,由AP=A1P1,即,兩邊平方整理得,cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ. 教師總結(jié),確定公式的具體形式。

    追問3:上述公式在時成立,若時,公式是否還成立?

    師生互動:成立,師生共同總結(jié)兩角差余弦公式.,都有cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ稱為差角的余弦公式,簡記作C(α-β)。

    設計意圖:讓學生親身經(jīng)歷探索公式的過程,加強學生對公式的理解與記憶,培養(yǎng)學生直觀想象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)。

    2.公式的應用

    師生互動:學生獨立思考,教師巡回指導,提醒學生注意角的范圍,同時請兩位學生到黑板上進行板演,由α,β的范圍知,,則. 同時教師對板演過程規(guī)范做出必要的點評與要求。

    設計意圖:加強學生對公式的應用與理解,以及使用公式前應做出的必要準備。

    (三)歸納總結(jié)、布置作業(yè)

    問題3:請歸納總結(jié)本節(jié)課的學習收獲

    師生互動:學生各抒己見,教師適時補充總結(jié). 這節(jié)課我們學習了兩角差的余弦公式,首先要認知公式的結(jié)構(gòu)特征,了解公式的推導過程. 同時也要注意角的范圍,也就是符號問題,學會靈活運用公式,這也是本節(jié)課的重點。

    設計意圖:讓學生通過總結(jié),反思學習過程,加深對差角余弦公式及其推導過程的理解和記憶。

    布置作業(yè):作業(yè)本109頁基礎訓練部分

    六、目標檢測設計

    1.已知,求cosα的值。

    設計意圖:提升學生對兩角差余弦公式的靈活應用能力,會觀察已知角和未知角的關系,如本題,從而構(gòu)造差角公式的結(jié)構(gòu)形式,,最后只需求出的值,在這里我們要注意角的范圍,由題意知,即。

    2.設,

    設計意圖:本題同上題一樣考察學生對差角公式的運用能力,如何構(gòu)造差角是本題的難點,對初學差角公式的學生而言,角的構(gòu)造有一定的運用難度,需要學生多觀察、多思考、多練多做. 如本題,由兩角差余弦公式展開,只需求的正弦值和的余弦值,其中要注意角的范圍。

    浙江省紹興市嵊州市嵊州中學 312400

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