具有漸開(kāi)線(xiàn)齒廓變形后的柔輪三維實(shí)體建模方法

莫瀚寧 邱辰

摘要：行星式波發(fā)生器微型諧波齒輪傳動(dòng)的柔輪具有內(nèi)外齒圈。推導(dǎo)出變形柔輪齒廓上點(diǎn)的坐標(biāo)與未變形柔輪齒廓上點(diǎn)的坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換關(guān)系，進(jìn)而利用MATLAB編程求解變形柔輪四分之一內(nèi)外齒圈各輪齒兩側(cè)齒廓上各點(diǎn)的坐標(biāo)，在Pro/E中對(duì)四分之一內(nèi)外齒圈齒廓上的點(diǎn)用樣條曲線(xiàn)連接，并通過(guò)鏡像和拉伸，完成變形柔輪的三維實(shí)體建模。

關(guān)鍵詞：諧波齒輪傳動(dòng);柔輪;實(shí)體建模;有限元

中圖分類(lèi)號(hào)：TH132.4? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號(hào)：1674-957X（2021）14-0008-03

0? 引言

在諧波齒輪傳動(dòng)中，波發(fā)生器使柔輪發(fā)生彈性變形，變形后的柔輪與剛輪嚙合，當(dāng)波發(fā)生器旋轉(zhuǎn)時(shí)，借助于柔輪上流動(dòng)的彈性波，實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換。為完成諧波齒輪傳動(dòng)整機(jī)的動(dòng)靜態(tài)特性分析，在對(duì)諧波齒輪傳動(dòng)整機(jī)進(jìn)行三維裝配建模過(guò)程中，必須涉及到變形后柔輪的三維建模，由于變形柔輪中線(xiàn)上各點(diǎn)法線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)，相對(duì)未變形柔輪，其齒圈上的輪齒也將發(fā)生偏轉(zhuǎn)，因此變形后柔輪的三維建模涉及到其齒圈上不同位置輪齒的三維建模，這一般需要通過(guò)對(duì)未變形柔輪及其輪齒齒廓數(shù)據(jù)進(jìn)行坐標(biāo)變換才能得到，行星式波發(fā)生器微型諧波齒輪傳動(dòng)中的柔輪具有內(nèi)外齒圈。本文主要闡述了柔輪變形下三維模型的構(gòu)建。

1? 建立坐標(biāo)系

建立柔輪未變形時(shí)的坐標(biāo)系如圖1所示。固定坐標(biāo)系oxyz建立在剛輪上，以剛輪的幾何中心為坐標(biāo)原點(diǎn)o，以剛輪輪齒的對(duì)稱(chēng)軸線(xiàn)為y軸，z軸按右手定則來(lái)確定。運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系o1x1y1z1建立在柔輪上，以柔輪輪齒的對(duì)稱(chēng)軸為y1軸，以y1軸和原始曲線(xiàn)的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)o1。柔輪變形后，坐標(biāo)系如圖2所示。r（j）為對(duì)應(yīng)長(zhǎng)軸角坐標(biāo)為j處，變形柔輪上O1點(diǎn)的矢徑，m（j）為該點(diǎn)的法線(xiàn)轉(zhuǎn)角。

1.1 齊次坐標(biāo)變換矩陣

設(shè)變形柔輪齒廓上某點(diǎn)p在運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系{1}中表示為1P=[x1，y1-r，0，1]T，在固定坐標(biāo)系中表示為0P=[x0，y0，z0，1]T，則：

其中，

（2）

1.2 未變形柔輪輪齒漸開(kāi)線(xiàn)齒廓上各點(diǎn)的坐標(biāo)

由參考文獻(xiàn)2，漸開(kāi)線(xiàn)左側(cè)齒廓方程（對(duì)內(nèi)齒輪為齒槽的左側(cè)齒廓）為：

右側(cè)齒廓方程（對(duì)內(nèi)齒輪為齒槽的右側(cè)齒廓）為：

式中，？琢為未變形柔輪分度圓處的壓力角，？琢=20°，u=tan？琢k-tan？琢，對(duì)外齒圈，？茲=s/2r;對(duì)內(nèi)齒圈，？茲=e/2r。？琢k為未變形柔輪漸開(kāi)線(xiàn)齒廓上任意一點(diǎn)處的壓力角，r0為未變形柔輪的分度圓半徑;s和e分別為未變形柔輪的外齒圈齒厚和內(nèi)齒圈齒槽寬。

1.3 變形柔輪輪齒齒廓上各點(diǎn)的坐標(biāo)

由參考文獻(xiàn)3，對(duì)于雙滾子式發(fā)生器，變形柔輪的公式為：

2? 變形柔輪輪齒齒廓上各點(diǎn)坐標(biāo)值數(shù)據(jù)的預(yù)處理

第一步：求解未變形柔輪內(nèi)外齒圈單個(gè)輪齒兩側(cè)齒廓上點(diǎn)的坐標(biāo)。

第二步：在變形柔輪四分之一內(nèi)外齒圈上，求解ψ，μ，ρ，ω。

第三步：求解變形柔輪四分之一內(nèi)外齒圈各輪齒兩側(cè)齒廓上點(diǎn)的坐標(biāo)。

第四步：將分布在變形柔輪四分之一內(nèi)外齒圈上的各輪齒兩側(cè)齒廓上點(diǎn)的坐標(biāo)，按順序依次排列，使得在Pro/E中能夠用樣條曲線(xiàn)將它們按順序連接起來(lái)，以得到變形柔輪四分之一內(nèi)外齒圈的輪廓曲線(xiàn)。

第五步：將變形柔輪四分之一內(nèi)外齒圈上各輪齒兩側(cè)齒廓上點(diǎn)的坐標(biāo)，分別列成兩個(gè)表格，并另存為Pro/E的點(diǎn)文件，以導(dǎo)入Pro/E中。

3? Pro/E環(huán)境下變形柔輪的三維建模

3.1 變形柔輪三維模型的建立

在Pro/E環(huán)境下，首先導(dǎo)入已經(jīng)另存為Pro/E點(diǎn)文件的變形柔輪四分之一外齒圈各輪齒兩側(cè)齒廓上的各點(diǎn)坐標(biāo)。然后利用樣條曲線(xiàn)將這些點(diǎn)按順序依次連接起來(lái)得到變形柔輪的四分之一外齒圈齒廓曲線(xiàn)，在通過(guò)鏡像以形成變形柔輪完整的外齒圈齒廓曲線(xiàn)。由變形柔輪外齒圈齒廓曲線(xiàn)的生成方法用樣條曲線(xiàn)將導(dǎo)入的柔輪內(nèi)齒圈齒廓數(shù)據(jù)連接成曲線(xiàn)同樣可得其內(nèi)齒圈齒廓曲線(xiàn)。變形柔輪內(nèi)外齒圈曲線(xiàn)如圖3所示。最后通過(guò)拉伸操作形成柔輪。三維實(shí)體模型，如圖4所示。

3.2 變形柔輪與行星輪的裝配檢驗(yàn)

建立變形柔輪和剛輪行星輪的三維裝配如圖5（a）所示，其輪齒嚙合細(xì)節(jié)分別如圖5（b）和圖5（c）所示，對(duì)變形柔輪和行星輪進(jìn)行裝配干涉檢驗(yàn)變形柔輪和行星輪裝配時(shí)輪齒嚙合沒(méi)有出現(xiàn)干涉現(xiàn)象。

3.3 柔輪的靜力有限元分析

為分析雙滾子齒輪系的柔輪應(yīng)力狀況，取四分之一柔輪并施加位移載荷得到柔輪的應(yīng)力云圖和位移云圖分別如圖6和圖7所示。

根據(jù)圖6，齒對(duì)齒柔輪的最大應(yīng)力為367.501MPa，最小應(yīng)力為0.163442MPa。根據(jù)圖7，齒對(duì)齒柔輪的最大位移為0.04mm，最小位移為-0.04mm。最大應(yīng)力與最大位移均發(fā)生在柔輪長(zhǎng)軸和波發(fā)生器接觸的地方。最大應(yīng)力出現(xiàn)在最靠近柔輪長(zhǎng)軸的輪齒之間的齒根處。

4? 總結(jié)

變形柔輪三維建模的關(guān)鍵在于建立其齒廓上點(diǎn)的坐標(biāo)在變形前與變形后的關(guān)系，根據(jù)這些關(guān)系利用MATLAB編程分別求解變形柔輪四分之一內(nèi)外齒圈各輪齒兩側(cè)齒廓上各點(diǎn)的坐標(biāo)，并存為Pro/E點(diǎn)文件，然后在Pro/E中，用樣條曲線(xiàn)連接這些點(diǎn)，并對(duì)四分之一內(nèi)外齒圈齒廓曲線(xiàn)進(jìn)行鏡像和拉伸，最終完成變形柔輪的三維實(shí)體建模。該模型對(duì)于分析微型諧波齒輪傳動(dòng)整機(jī)動(dòng)靜態(tài)特性具有重要意義。

參考文獻(xiàn)：

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