基于數(shù)學(xué)史的高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略探究

陳瓊琪

摘 要：數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的發(fā)源地。數(shù)學(xué)史記錄了數(shù)學(xué)概念的演變過程，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)概念內(nèi)容、思想和方法的發(fā)展過程。將數(shù)學(xué)史融入概念教學(xué)中，可以幫助教師拓寬視野，把握學(xué)情，改進(jìn)教學(xué)方法，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)史;高中;概念教學(xué)

一、問題提出

（一）一道練習(xí)題引發(fā)的思考

【2016—2017學(xué)年浙江省金華十校聯(lián)考高二上學(xué)期期末考試】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)P在CDD1C1所在平面上，滿足∠PBD1=∠A1BD1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（? ?）

A. 圓? ? ? B. 橢圓? ? ?C. 雙曲線? ? ?D. 拋物線

本題正確答案是D，在一次高三周測中，班級(jí)30名學(xué)生，答對(duì)該題的僅有10人。本題考查的是用平面截圓錐的截口曲線問題，此類問題是立體幾何動(dòng)態(tài)問題中的熱點(diǎn)也是難點(diǎn)，而教材上沒有對(duì)這類問題的要求，由此引發(fā)筆者的思考：如何分析該問題學(xué)生易于理解？能否將該內(nèi)容與教材內(nèi)容有效地融合？

（二）一堂公開課帶來的啟發(fā)

筆者在一次活動(dòng)中，聽了一堂《橢圓》的公開課，授課教師突破傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)，采用發(fā)生教學(xué)法，借鑒橢圓知識(shí)發(fā)生和發(fā)展的歷史，以球在太陽光下的影子為例引出橢圓，并在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下讓學(xué)生完成旦德林雙球?qū)嶒?yàn)（即用一個(gè)與兩個(gè)圓柱（圓錐）的內(nèi)切球都相切的平面截圓柱（或圓錐）），讓學(xué)生自主地發(fā)現(xiàn)“橢圓上點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)（大于兩定點(diǎn)間的距離）”這一性質(zhì)。進(jìn)而，該教師設(shè)計(jì)繼續(xù)用圓錐內(nèi)的旦德林雙球?qū)嶒?yàn)，研究雙曲線和拋物線。通過三堂課的學(xué)習(xí)，與傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)相比，學(xué)生經(jīng)歷了截口曲線的產(chǎn)生與圓錐曲線性質(zhì)發(fā)現(xiàn)的過程，因此對(duì)平面截圓錐的截口曲線問題理解更深入，對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)掌握更到位。

這堂公開課給筆者帶來了啟發(fā)：1.上述練習(xí)題學(xué)生不會(huì)做的原因，是對(duì)橢圓、雙曲線、拋物線的概念理解不到位;2.教師在傳統(tǒng)概念教學(xué)中，“輕概念的形成過程，重概念的應(yīng)用過程”，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)概念理解不透;3.結(jié)合數(shù)學(xué)史的概念教學(xué)，追溯概念發(fā)生發(fā)展的過程，采用發(fā)生教學(xué)法，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的形成過程，能夠更好地掌握概念。因此，筆者對(duì)基于數(shù)學(xué)史的概念教學(xué)策略展開了一些思考。

二、策略探究

（一）新視角·新起點(diǎn)·新方法——基于認(rèn)知的數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

1.數(shù)學(xué)史為概念教學(xué)展現(xiàn)“新視角”

教師在概念教學(xué)中，可以充分查閱數(shù)學(xué)史知識(shí)，找到與概念相關(guān)的數(shù)學(xué)家的故事，或者在數(shù)學(xué)史中與所學(xué)概念相類似的問題，在教學(xué)過程中，用數(shù)學(xué)家的故事引入概念，或通過解決數(shù)學(xué)史中的問題得出概念，可以減少學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)家的刻板印象，增加數(shù)學(xué)課堂的趣味性，拉近學(xué)生與數(shù)學(xué)的距離，給予數(shù)學(xué)更人文的一面。因此，數(shù)學(xué)史為概念教學(xué)展現(xiàn)“新視角”。

如：在《概率》教學(xué)時(shí)，可引用伽利略的故事：伽利略17歲那年，考進(jìn)了比薩大學(xué)醫(yī)學(xué)專業(yè)。有一次上課，比羅教授講胚胎學(xué)，他講道：“母親生男孩還是生女孩，是由父親的強(qiáng)弱決定的。父親身體強(qiáng)壯，母親就生男孩;父親身體衰弱，母親就生女孩。”比羅教授話音剛落，伽利略就舉手說道：“老師，我有疑問。我的鄰居，男的身體非常強(qiáng)壯，可他的妻子一連生了5個(gè)女兒。這與老師講得正好相反，這該怎么解釋？”看完故事，讓學(xué)生思考“這該怎么解釋”，從而引進(jìn)概率的概念。

2.數(shù)學(xué)史為概念教學(xué)搭建“新起點(diǎn)”

經(jīng)常會(huì)聽到數(shù)學(xué)老師抱怨：“這么簡單的問題我都講了無數(shù)遍了，還是不會(huì)做！”教師所說的“簡單”是以自己的認(rèn)知水平為基準(zhǔn)，而不是以學(xué)生的認(rèn)知水平為出發(fā)點(diǎn)，因此造成了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解障礙。教師應(yīng)當(dāng)根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的水平和特點(diǎn)，把掌握數(shù)學(xué)概念，以及所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想、方法作為教學(xué)的最主要目標(biāo)。教師在備課前，先查閱相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識(shí)，把握數(shù)學(xué)家在研究概念時(shí)的認(rèn)知水平，教師在做教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，以數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)概念的問題為切入點(diǎn)引入課題，并結(jié)合數(shù)學(xué)家們遇到的問題設(shè)計(jì)符合學(xué)生認(rèn)知的提問，引導(dǎo)學(xué)生逐步解決問題，得出概念，進(jìn)而提升學(xué)生的思維能力。因此，研究概念的歷史來源可以幫助教師掌握學(xué)生的認(rèn)知水平，即數(shù)學(xué)史為概念教學(xué)搭建“新起點(diǎn)”。

如：在《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》一節(jié)中，書本上給出思考題“x2+1=0在實(shí)數(shù)集中無解。聯(lián)系從自然數(shù)系到實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充過程，你能設(shè)想一種方法，使這個(gè)方程有解嗎？”，但是在學(xué)生的認(rèn)知中，初中教科書已經(jīng)明確了這個(gè)方程沒有實(shí)根了，為什么會(huì)提出這樣的問題呢？雖然在教師的認(rèn)知中，這個(gè)例子很簡潔很契合虛數(shù)的引入，但是這與學(xué)生的認(rèn)知形成了知識(shí)結(jié)構(gòu)上的矛盾，會(huì)讓學(xué)生產(chǎn)生“難道初中學(xué)習(xí)的內(nèi)容都是錯(cuò)的”這種錯(cuò)覺。在歷史上，虛數(shù)的引入并不是一帆風(fēng)順的，從9世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)家們認(rèn)為負(fù)數(shù)開平方是不可能的，一直到16世紀(jì)至17世紀(jì)，數(shù)學(xué)家們對(duì)卡丹問題及三次方程實(shí)根之間的矛盾感到困惑，才逐步展開深入的研究并最終將問題解決。因此，通過虛數(shù)的發(fā)展歷史教師可以預(yù)見到直接讓學(xué)生解決方程x2+1=0根的問題，學(xué)生在認(rèn)知上是很難接受的。因此，教師的教學(xué)設(shè)計(jì)可以讓學(xué)生重新體驗(yàn)從自然數(shù)集到整數(shù)集到有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集的擴(kuò)充過程，進(jìn)而理解引入復(fù)數(shù)的必要性。

3.數(shù)學(xué)史為概念教學(xué)定位“新方法”

學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過程是概念的“再發(fā)現(xiàn)”過程。學(xué)生的學(xué)習(xí)可以借鑒概念的“發(fā)現(xiàn)”過程，創(chuàng)設(shè)問題情境，設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷概念的“再發(fā)現(xiàn)”過程，也即用“演繹法”展開學(xué)習(xí)，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)家獲得概念的思維活動(dòng)過程，自主地生成概念。不僅能幫助學(xué)生更好地理解概念，還能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，抽象概念能力，從而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。因此，數(shù)學(xué)史為概念教學(xué)提供“新方法”。

如：在《對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算》第一課時(shí)的教學(xué)中，教師可以結(jié)合對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)發(fā)展的過程展開教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)數(shù)概念的形成過程?；跀?shù)學(xué)史的《對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算》第一課時(shí)教學(xué)設(shè)計(jì)思路如下：

在對(duì)數(shù)概念的引入環(huán)節(jié)中，創(chuàng)設(shè)以下的問題情境：

觀察下列表格，回答以下問題：

（1）上表中的數(shù)有什么特征？

（2）如何利用上表求下列各式的值：16×128;256×4096;1048576÷1024。

（3）求下列式子的值：1）897×1048578;2）299792.468×31536000。

通過問題（1）（2）可以發(fā)現(xiàn)，上述表中的數(shù)據(jù)可以幫助我們快速地求解大數(shù)乘、除問題，將乘除變成加減，降低運(yùn)算難度;由問題（3）發(fā)現(xiàn)上述表不能解決所有的大數(shù)乘除運(yùn)算，因?yàn)楸碇械臄?shù)據(jù)間隔太大，大多數(shù)的數(shù)很難找到對(duì)應(yīng)的精確的冪指數(shù)，因此我們要改進(jìn)數(shù)表。

蘇格蘭數(shù)學(xué)家約翰.納皮爾發(fā)明了上述數(shù)表，出版了《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》，從而有了對(duì)數(shù).

通過上述結(jié)合數(shù)學(xué)史的問題情境設(shè)置，讓學(xué)生經(jīng)歷對(duì)數(shù)概念發(fā)生發(fā)展的過程，可以讓學(xué)生理解對(duì)數(shù)中的“對(duì)”即“對(duì)應(yīng)”“相對(duì)”的意思，對(duì)數(shù)就是求指數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)的發(fā)明是為了解決16、17世紀(jì)約翰·納皮爾在研究天文學(xué)問題中遇到的計(jì)算問題。

（二）新魅力·新動(dòng)力——基于激勵(lì)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略

1.數(shù)學(xué)史為概念學(xué)習(xí)綻放“新魅力”

由于近幾年浙江高考制度的改革，高考數(shù)學(xué)也不分文理，對(duì)于偏文的學(xué)生而言，他們本身的數(shù)學(xué)思維能力抽象能力都偏薄弱，試卷的整體難度相比較文理分科時(shí)的試卷難度又有所增加，導(dǎo)致偏文學(xué)生聽不懂、學(xué)不會(huì)，漸漸地，更覺得數(shù)學(xué)枯燥，數(shù)學(xué)難學(xué)等。因此，教師可以用數(shù)學(xué)史來豐富課堂，讓抽象的數(shù)學(xué)課堂“活”起來，給數(shù)學(xué)課堂增加文化色彩;數(shù)學(xué)教師能像歷史教師那樣上知天文下知地理，講數(shù)學(xué)概念能說出歷史由來，在數(shù)學(xué)課堂上能自如地添加數(shù)學(xué)家的故事，他們便會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)老師產(chǎn)生崇拜感，從而產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望。因此，結(jié)合數(shù)學(xué)史的數(shù)學(xué)課堂，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從而使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)綻放“新魅力”。

2.數(shù)學(xué)史為概念學(xué)習(xí)激發(fā)“新動(dòng)力”

在概念教學(xué)中，可以結(jié)合數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生進(jìn)行“示錯(cuò)”教學(xué)，即在概念教學(xué)中，給學(xué)生展示數(shù)學(xué)家在數(shù)學(xué)史進(jìn)程中給出的錯(cuò)誤結(jié)論，以及數(shù)學(xué)家勇于提出問題、鍥而不舍地解決問題的過程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的過程是曲折的，數(shù)學(xué)家也會(huì)像他們一樣犯錯(cuò)，而且讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到一個(gè)概念的產(chǎn)生不是一蹴而就的，可能會(huì)經(jīng)歷幾個(gè)世紀(jì)，才有數(shù)學(xué)家將問題解決，從而增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心，培養(yǎng)學(xué)生勇于提問、堅(jiān)持真理、追求創(chuàng)新的品質(zhì)。因此，數(shù)學(xué)史可以為概念學(xué)習(xí)激發(fā)“新動(dòng)力”。

如，在學(xué)習(xí)了教科書上棱柱的概念之后，給出被稱為“幾何之父”的歐幾里得的著作《幾何原本》中對(duì)棱柱的定義：“一個(gè)棱柱是一個(gè)立體圖形，它是由一些平面構(gòu)成的，其中有兩個(gè)平面是相對(duì)的、相等的、相似的且平行的，其他各面都是平行四邊形。”顯然，歐幾里得對(duì)棱柱的定義與教科書上給的定義是不同的，教師可以讓學(xué)生探究，舉出例子來推翻歐幾里得的棱柱定義。當(dāng)學(xué)生舉出例子之后，再告訴學(xué)生，歐幾里得的定義是在公元前3世紀(jì)給出的，而到1876年才有數(shù)學(xué)家給出了歐幾里得不同的定義，一直到1916年才舉出推翻歐幾里得的棱柱定義的反例。當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷了整個(gè)過程之后，不僅能更深刻地理解棱柱的概念，還能獲取成就感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

三、反思與結(jié)語

在實(shí)際的教學(xué)過程中，要使數(shù)學(xué)史在概念教學(xué)中發(fā)揮積極作用還存在以下問題：一是教學(xué)進(jìn)度的壓力，一堂課僅有40分鐘，如果花過多的時(shí)間在概念的引入上，概念的應(yīng)用就沒有時(shí)間，完不成教學(xué)計(jì)劃;二是數(shù)學(xué)史資料的匱乏，教師所知道的例子往往僅限于課本，網(wǎng)上的資源不完整，很難有效地與課堂結(jié)合;三是教師對(duì)于數(shù)學(xué)史的理解存在誤區(qū)，說到數(shù)學(xué)史教師往往會(huì)和數(shù)學(xué)家的故事聯(lián)系起來，數(shù)學(xué)家的故事只是數(shù)學(xué)史的一部分，數(shù)學(xué)史中更本質(zhì)的內(nèi)容是概念形成過程中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法。

數(shù)學(xué)史是理解數(shù)學(xué)的一種途徑，結(jié)合數(shù)學(xué)史，可以為教師展開概念教學(xué)提供“新視角”、“新起點(diǎn)”、“新方向”，可以為學(xué)生學(xué)習(xí)概念創(chuàng)設(shè)“新魅力”、“新動(dòng)力”。在知識(shí)方面，讓學(xué)生經(jīng)歷概念“再發(fā)現(xiàn)”的過程，經(jīng)歷概念發(fā)生發(fā)展的過程，可以幫助學(xué)生理解概念;在能力方面，教師有效地把握學(xué)生的認(rèn)知水平，設(shè)置恰當(dāng)?shù)钠瘘c(diǎn)（即教學(xué)的切入點(diǎn)），安排符合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的知識(shí)發(fā)展過程，使得學(xué)生在問題解決過程中思維能力得到提升;在情感方面，通過數(shù)學(xué)家的故事，數(shù)學(xué)的文化色彩，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和信心。

參考文獻(xiàn)

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