初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)的案例分析

蔣勇

三角函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)階段的一項(xiàng)重要內(nèi)容，需要學(xué)生認(rèn)真的思考與探索，才能有限掌握三角函數(shù)的含義及應(yīng)用。其中，文章借助初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)案例的分析，以分析三角函數(shù)教學(xué)的方法，從而給予學(xué)生適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)建議，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生展開三角函數(shù)知識(shí)的有效探究，最終促使三角函數(shù)教學(xué)與學(xué)生課堂的實(shí)踐運(yùn)用做到真正融合。

一、研究背景

對(duì)初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)的案例分析，主要銳角三角函數(shù)內(nèi)容內(nèi)容為案例分析對(duì)象，就如何開展三角函數(shù)教學(xué)展開具體的案例分析與探究。其中，此課時(shí)內(nèi)容主要包括了認(rèn)識(shí)正弦（sin A）概念、銳角正弦的意義、概念以及計(jì)算等內(nèi)容，這些主要是學(xué)生學(xué)習(xí)此課時(shí)內(nèi)容需要理解和掌握的基本三角函數(shù)知識(shí)。

但是，從現(xiàn)有學(xué)習(xí)情況來看，仍有不少學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)的壓力，相關(guān)正弦概念的理解仍不深。尤其是在計(jì)算過程中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生不懂得如何運(yùn)用比較、分析的方法來求出給定銳角的三角函數(shù)，從而陷入到解題的尷尬境地。那么為了有效引導(dǎo)學(xué)生理解和運(yùn)用銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)、性質(zhì)定理，教師應(yīng)該抓住學(xué)生的學(xué)習(xí)心理，并且在強(qiáng)化學(xué)生銳角三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，不斷向?qū)W生講授一些例題的講解與運(yùn)用，從而引導(dǎo)學(xué)生展開對(duì)課程知識(shí)的實(shí)踐運(yùn)用，進(jìn)而讓學(xué)生真正理解和掌握銳角三角函數(shù)知識(shí)，最終完成本次案例分析。

二、案例呈現(xiàn)

以下是“銳角三角函數(shù)——正弦”教學(xué)案例分析過程：

（一）新知導(dǎo)入?；趯W(xué)生對(duì)銳角三角形的理解和認(rèn)知，引入直觀的銳角三角形圖象，并引導(dǎo)學(xué)生探索邊與角的關(guān)系，如下圖所示：

從上面的圖象中，引導(dǎo)學(xué)生再次回顧銳角三角形的含義、性質(zhì)以及特點(diǎn)，由此為銳角三角函數(shù)的教學(xué)做好準(zhǔn)備。當(dāng)學(xué)生基本復(fù)習(xí)銳角三角形有關(guān)知識(shí)內(nèi)容之后，則將上述銳角三角形與實(shí)際的課程問題銜接起來，以引出新課主題內(nèi)容，即銳角三角函數(shù)問題。那么由上述銳角三角形延伸出實(shí)際的三角函數(shù)問題，具體如下：

這時(shí)教師可以利用多媒體教學(xué)設(shè)備，展示如上的直觀案例圖片，并提出實(shí)際的生活案例分析問題，如為了環(huán)保和綠化山林，先打算從山腳到山頂鋪設(shè)一條水管，以用于坡面的噴灌活動(dòng)，其中測(cè)得斜坡與水平面所成角的度數(shù)為30度，那么為了使得出水口的高度為35米，則需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管管道呢？

在問題提出之后，給予學(xué)生適當(dāng)時(shí)間進(jìn)行問題的交流與互動(dòng)，從而引導(dǎo)學(xué)生走進(jìn)銳角三角函數(shù)問題的教學(xué)情境之中[1]。然后，在此基礎(chǔ)上，引入與新課三角函數(shù)內(nèi)容相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，以此實(shí)現(xiàn)新課導(dǎo)入工作。

（老師：題目講了一個(gè)什么問題，與今天我們學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)知識(shí)有聯(lián)系嗎？我們?cè)撊绾谓獯疬@道問題呢？且可以運(yùn)用到之前我們學(xué)習(xí)過的哪些知識(shí)呢？學(xué)生：我們可以運(yùn)用銳角三角函數(shù)概念、性質(zhì)以及定理來進(jìn)行解答。）

那么教師可以抽取一位學(xué)生上講臺(tái)來作答：

解：將題目中的圖象抽象化，形成一個(gè)直角三角形，如下所示：

那么根據(jù)題目中的條件，得知直角三角形中的一個(gè)銳角等于30度，因而根據(jù)銳角三角函數(shù)的“比值”以及“固定值”有關(guān)知識(shí)點(diǎn)，求得出這個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比值都等于1/2，由此建立起數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)模型，進(jìn)而逐步求解出問題的答案，即需要準(zhǔn)備70米長(zhǎng)的水管。

（二）互動(dòng)討論。在分析上述新課導(dǎo)入問題之后，教師可以利用課堂互動(dòng)的方式，與學(xué)生繼續(xù)探討有關(guān)的銳角三角函數(shù)課程問題，并且給予他們適當(dāng)?shù)臅r(shí)間展開討論與互動(dòng)，以此激活學(xué)生的學(xué)習(xí)與探究熱情。

在此過程中，教師也可以根據(jù)學(xué)生的探究情況，適當(dāng)加深一些課程問題，以讓學(xué)生可以更為深入地學(xué)習(xí)“銳角三角函數(shù)——正弦”知識(shí)，如結(jié)合實(shí)際的應(yīng)用題型進(jìn)行問題的解答，使得學(xué)生能夠?qū)⑺鶎W(xué)的“銳角三角函數(shù)”應(yīng)用到實(shí)際問題解答當(dāng)中。

如圖，任意畫一個(gè)Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，計(jì)算∠A的對(duì)邊與斜邊的比，并說一說你從中得到了哪些結(jié)論？

那么針對(duì)這個(gè)互動(dòng)討論問題，學(xué)生可以繼續(xù)基于在一個(gè)直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于45°，不管這個(gè)直角三角形的大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于 其中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，這與當(dāng)前所學(xué)的銳角三角函數(shù)存在哪些關(guān)聯(lián)關(guān)系呢？

首先，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值”的結(jié)論，從而引出銳角三角函數(shù)中的“正弦”概念。其次，由銳角A的度數(shù)變化，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生探索正弦的數(shù)值，即：

在Rt△ABC中，∠C=90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦（sine），記作sinA，因而得到如下結(jié)果：

在探討中，教師可以加入適當(dāng)?shù)那榫郴?dòng)環(huán)節(jié)，即引導(dǎo)學(xué)生提問-回答-思索，讓學(xué)生互相分析與交流，以真正明白銳角三角函數(shù)中的正弦知識(shí)點(diǎn)、sinA表示直角三角形中兩邊的比、正弦計(jì)算等，由此引導(dǎo)學(xué)生做到對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的理解和有效認(rèn)知。

（三）課程訓(xùn)練。由于“銳角三角函數(shù)——正弦”不僅涉及到各種概念的理解、性質(zhì)定理的運(yùn)用、實(shí)踐計(jì)算，也涉及到一些實(shí)際問題的應(yīng)用與解答，這就需要教師加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的基礎(chǔ)訓(xùn)練，使其從不同的訓(xùn)練中強(qiáng)化自身的解題能力。那么在設(shè)計(jì)課程訓(xùn)練內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)該遵循從簡(jiǎn)單到困難的順序，對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行深化，從而強(qiáng)化學(xué)生對(duì)課程知識(shí)的掌握[2]。首先，可以先設(shè)計(jì)一些計(jì)算題目，如下所示：

（1）在Rt△ABC中，銳角A的對(duì)邊和斜邊同時(shí)擴(kuò)大100倍，sin A的值也擴(kuò)大多少倍？

（2）請(qǐng)求出sin A =？

其次，學(xué)生可以自行運(yùn)用所學(xué)的正弦知識(shí)點(diǎn)，展開上述知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)與探究，由此將所學(xué)的數(shù)學(xué)課程知識(shí)運(yùn)用于實(shí)際問題的解答，從而真正理解銳角三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)定理。

三、案例反思

在案例分析中，發(fā)現(xiàn)仍有不少學(xué)生對(duì)銳角三角函數(shù)的理解和認(rèn)知還不夠深入，尤其是在利用相關(guān)概念展開計(jì)算時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生不會(huì)靈活運(yùn)用與變通，這些都需要教師課后進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)牢固，并且配合適當(dāng)?shù)恼n后訓(xùn)練，來幫助學(xué)生鞏固舊知。

參考文獻(xiàn)：

[1]郁杰華.三角函數(shù)在初中數(shù)學(xué)課堂中的教學(xué)案例分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2020，12（6）：107-107.

[2][1]郭國(guó)清.初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)優(yōu)化策略的案例分析[J].中學(xué)生數(shù)理化，2019，5（10）：96-96.

（云南省昆明市官渡區(qū)小哨中學(xué)）