一道2020年高考數(shù)列題的十種證法探究

武增明

摘 要：本文給出一道2020年高考數(shù)列題的十種證法，與讀者共賞.

關(guān)鍵詞：高考試題;數(shù)列通項(xiàng);證法探究

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0063-02

試題 設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=3，an+1=3an-4n.

（1）計(jì)算a2，a3，猜想{an}的通項(xiàng)公式并加以證明;

（2）求數(shù)列{2nan}的前n項(xiàng)和Sn .

這是2020年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第17題.

這道考題的第（1）問是以數(shù)列遞推式為背景，求數(shù)列的通項(xiàng)公式問題，此問題符號優(yōu)美，題面簡潔，構(gòu)思巧妙，立意新穎，讓人賞心悅目，耐人尋味，回味無窮，涉及的數(shù)學(xué)知識和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法非常豐富，邏輯推理性很強(qiáng)，具有很大的探究價(jià)值，具有很高的訓(xùn)練價(jià)值，具有很強(qiáng)的代表性，是一道訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維的好題，很值得深入探究.于是，引起筆者極大的探究興趣與熱情.下面給出此題第（1）問的十種證法，旨在供同仁在教學(xué)過程中作參考，旨在對同學(xué)們在學(xué)習(xí)這類問題時(shí)有所幫助和啟示.

證法1 （試驗(yàn)法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

若an=2n+1，則an+1=2（n+1）+1=2n+3，

又3an-4n=3（2n+1）-4n=6n+3-4n=2n+3，

此時(shí)an+1=3an-4n成立，所以an=2n+1.

證法2 （數(shù)學(xué)歸納法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，由an=2n+1知，a1=3，符合題意，故當(dāng)n=1時(shí)，an=2n+1成立.

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N*）時(shí)，an=2n+1成立，即ak=2k+1成立.

則n=k+1時(shí)，因?yàn)閍k+1=3ak-4k=3（2k+1）-4k=2（k+1）+1，

所以當(dāng)n=k+1時(shí)，an=2n+1成立.

由（1），（2）可知，對于任意正整數(shù)n，an=2n+1成立.

證法3 （正向思維迭代遞推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

因?yàn)閍n+1=3an-4n，

所以a2-5=3（a1-3），

a3-7=3（a2-5），

a4-9=3（a3-7），

……

an-（2n+1）=3[an-1-（2n-1）].

因?yàn)閍1-3=0，

所以an-（2n+1）=0，即an=2n+1.

證法4 （逆向思維迭代遞推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

由已知可得an+1-（2n+3）=3[an-（2n+1）]，

an-（2n+1）=3[an-1-（2n-1）]，

……

a2-5=3（a1-3）.

因?yàn)閍1=3，即a1-3=0，

所以an-（2n+1）=0，即an=2n+1.

證法5 （逆向思維迭代遞推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

因?yàn)閍n+1=3an-4n，①

所以an=3an-1-4（n-1），②

①-②，得an+1-an=3an-3an-1-4，

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2），

所以an-an-1-2=3（an-1-an-2-2），

……

a4-a3-2=3（a3-a2-2），

a3-a2-2=3（a2-a1-2）.

因?yàn)閍2-a1-2=0，所以an+1-an-2=0.

于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=3，公差d=2的等差數(shù)列，故an=a1+（n-1）d，從而an=3+（n-1）·2，即an=2n+1.

證法6 （逆向思維迭代遞推法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

因?yàn)閍n+1=3an-4n①

所以an=3an-1-4（n-1）②

①-②，得an+1-an=3an-3an-1-4，

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2），

所以an+1-an-2=3（an-an-1-2）

=32（an-1-an-2-2）=33（an-2-an-3-2）=…=3n-1（a3-a2-2）=3n（a2-a1-2）.

因?yàn)閍2-a1-2=0，所以an+1-an-2=0.

于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a1=3，公差d=2的等差數(shù)列，故an=a1+（n-1）d，從而an=3+（n-1）

·2，即an=2n+1.

證法7 （逆向思維迭代遞推法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

令bn=an-（2n+1），

因?yàn)閍n+1=3an-4n，所以bn+1=3bn，

從而bn+1=3bn=32bn-1=33bn-2=…=3n-1b2=3nb1.

所以b1=0，故bn=0，即an-（2n+1）=0，于是an=2n+1.

證法8 （逆向思維待定系數(shù)法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

設(shè)an+1+k（n+1）+b=3an+（k-4）n+k+b，則

an+1+k（n+1）+b=3（an+k-43n+k+b3），

所以k=k-43，b=k+b3， 解得k=-2，b=-1.

從而an+1-2（n+1）-1=3（an-2n-1），

所以an-2[（n-1）+1]-1=3[an-1-2（n-1）-1]

……

a4-2（3+1）-1=3（a3-2×3-1），

a3-2（2+1）-1=3（a2-2×2-1），

a2-2（1+1）-1=3（a1-2×1-1），

因?yàn)閍1-2×1-1=0，所以an-2n-1=0，即an=2n+1.

證法9 （待定系數(shù)法） a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

將an+1=3an-4n兩邊同除3n+1，得

an+13n+1=an3n-4n3n+1，

令an+13n+1-λ（n+1）+μ3n+1=an3n-λn+μ3n，則

an+13n+1=an3n-2λn-λ+2μ3n+1，

故2λ=4，-λ+2μ=0， 所以λ=2，μ=1.

于是an+13n+1-2（n+1）+13n+1=an3n-2n+13n，

從而數(shù)列{an3n-2n+13n}是常數(shù)數(shù)列，

所以an3n-2n+13n=a13-33

=33-33=0.

故而an3n-2n+13n=0，即an=2n+1.

證法10 （迭加法）a2=5，a3=7.猜想an=2n+1，證明如下：

將an+1=3an-4n兩邊同除3n+1，得

an+13n+1-an3n=-4n3n+1.

設(shè)數(shù)列{4n3n+1}的前n項(xiàng)和為Tn，則

Tn=4×132+4×233+4×334+…+4（n-1）3n+4n3n+1①

13Tn=4×133+4×234+…+4（n-1）3n+1+4n3n+2②

①-②，得

23Tn=432+433+434+…+43n+1-4n3n+2=432[1-（13）n]1-13-4n3n+2，

所以Tn=3n+1-2n-33n+1 .

又a232-a13=-4×132，

a333-a232=-4×233，

……

an3n-an-13n-1=-4（n-1）3n，

an+13n+1-an3n=-4n3n+1，

把上述n個(gè)等式相加，得

an+13n+1-a13=-Tn，

所以an+13n+1-1=-3n+1-2n-33n+1，

所以an+1=2n+3，

從而an=2n+1.

作為學(xué)生領(lǐng)路人的教師，一些前因后果需要我們教者從其背后去思考、挖掘，只有潛心研究高考試題，從中探究出更多潛在價(jià)值，才能在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中高屋建瓴、有的放矢，才能確保對學(xué)生的指導(dǎo)方法得當(dāng)、條理清楚、思路流暢.潛心研究高考試題，在尋求解法的同時(shí)，要領(lǐng)略考題的本質(zhì)，挖掘其深刻的內(nèi)涵，才能充分發(fā)揮考題的功能和作用.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)5（A版）[M].北京：人民教育出版社，2014.

[2]天利全國高考命題研究中心，北京天利考試信息網(wǎng).2020全國各省市高考試題匯編全解（數(shù)學(xué)·理科）[M].拉薩：西藏人民出版社，2020.

[責(zé)任編輯：李 璟]