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    巧解四力作用下物體的平衡問題

    2021-09-10 07:22:44賴世鏘
    關(guān)鍵詞:圖解法物理模型平衡

    摘 要:力的平衡是高中物理一個(gè)重要內(nèi)容和高考的熱點(diǎn).在處理這一問題時(shí),對(duì)物體受力分析,并建構(gòu)物理模型,用數(shù)學(xué)方法或圖解法來求解,通過巧解把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.

    關(guān)鍵詞:平衡;物理模型;圖解法;全反力;摩擦角

    中圖分類號(hào):G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):1008-0333(2021)10-0083-03

    在處理力的動(dòng)態(tài)平衡時(shí),我們往往會(huì)采取正交分解的方法,建立平衡方程,討論邊、角等變化來判斷力的變化,有時(shí)問題較復(fù)雜時(shí),可將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)換成物理模型,變物理問題為數(shù)學(xué)問題.有時(shí),未免數(shù)學(xué)運(yùn)算過于繁瑣,此時(shí),可用圖解法求解力的平衡問題.可作出平行四邊形或矢量三角形,通過其中一力的大小或方向變化,判斷其他力的大小與方向的變化,往往用于三力平衡.若四力作用下物體平衡問題,如何建構(gòu)物理模型,能否用圖解法來處理,下面我們一起來探討這一問題.

    原題 (廣州市2020屆高三年級(jí)階段訓(xùn)練題)水平固定的輕桿AB長為3L,兩端系著長為3L的不可伸長且光滑的柔軟輕繩,繩上套著一質(zhì)量為m的小鐵環(huán),靜止時(shí)位置如圖1(甲)所示.現(xiàn)用一水平向左的力F將小鐵環(huán)由圖甲位置緩慢拉至如圖1(乙)所示位置.已知重力加速度為g,設(shè)繩的拉力為T,則().

    A.在乙所示位置T=32mg

    B.在乙所示位置F=33mg

    C.此過程T大小保持不變

    D.此過程F先增大后減小

    方法一 在F作用下,將小鐵塊緩慢拉至乙圖所示位置,對(duì)小鐵塊受力分析,由于輕繩上套著小鐵環(huán),鐵環(huán)兩邊繩子拉力大小相等,用正交分解法即可求出在乙所示位置的T與F的大小,得到T=23mg,F(xiàn)=33mg,選項(xiàng)B正確.至于,此過程T與F如何變化,屬于四力動(dòng)態(tài)平衡問題,有點(diǎn)困難.

    如圖2所示,由于輕繩長度不變,繩子的運(yùn)動(dòng)軌跡為橢圓,橢圓圓心在O點(diǎn),半長軸a=32L,半短軸b=62L,焦距c=32L,橢圓方程x2a2+y2b2=1.由于小鐵環(huán)緩慢移動(dòng),由動(dòng)能定理可知Fdx=mgdy.由橢圓方程可得y=b2-b2a2x2,dydx=-b2a2xb2-b2a2x2,則F=mgdydx=mg-b2a2xb2-b2a2x2,小鐵環(huán)向左緩慢移動(dòng),-x增大,所以F逐漸增大.

    下面分析輕繩拉力T的變化,如圖3所示,由力的平衡可知Tsinα+Tsinβ=mg可得T=mgsinα+sinβ.由正弦定理可得ADsinβ=DBsinα=2r,于是sinβ=AD2r,sinα=DB2r,所以sinα+sinβ=AD+DB2r=2a2r=ar,所以T=mgra.

    如圖4所示,設(shè)外接圓圓心C(0,yc),半徑r=CB=CD,即c2+yc2=x2+(y-yc)2,結(jié)合橢圓方程x2a2+y2c2=1,聯(lián)立可得a2(1-y2c2)+y2-2yyc-c2=0,于是yc=12y(a2-a2c2y2+y2-c2)=b22y-b22c2y,所以外接圓半徑r=CB=c2+y2c=c2-b42c2+b44y2+b44c4y2,其中0<y≤b.設(shè)Y=1y2+1c4y2≥2c2,則當(dāng)y=c時(shí),Y有最小值,即Ymin=2c2,rmin=c,如圖5所示.由于c=32L<b,即c2<b2,故Y隨y2增大而增大,即r隨y2增大而增大.再由上式T=mgra,可知輕繩拉力逐漸增大.所以,選項(xiàng)C和D不正確.

    方法二 上述方法數(shù)學(xué)運(yùn)算比較繁瑣,下面用圖解法處理.由于小鐵環(huán)兩邊輕繩的拉力大小始終相等,故可以把兩力合成為一個(gè)力T合,四力平衡變?yōu)槿ζ胶?,如圖6所示.在小鐵環(huán)向左緩慢移動(dòng)過程中,重力mg大小與方向不變,水平力F方向不變,作出“三力”的矢量三角形,如圖7所示,從圖中可知力F與T合都逐漸增大.

    從上述方法可知,若利用圖解法求解物體的動(dòng)態(tài)平衡問題,避免了繁瑣的數(shù)學(xué)運(yùn)算,提高解題的效率,同時(shí)發(fā)展了學(xué)生模型建構(gòu)的科學(xué)思維.下面以圖解法為例,求解多力作用下物體的平衡問題.

    例2 (2017全國Ⅱ卷)如圖8所示,一物塊在水平拉力F的作用下沿水平桌面做勻速直線運(yùn)動(dòng).若保持F的大小不變,而方向與水平面成60°角,物塊也恰好做勻速直線運(yùn)動(dòng).物塊與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為().

    A.2-3 B.36C.33 D.32

    分析 物塊做勻速直線運(yùn)動(dòng),受到重力、支持力、滑動(dòng)摩擦力與水平拉力F作用,如圖9所示,現(xiàn)把支持力N與滑動(dòng)摩擦力f合成一力,物理上該力稱為全反力R,全反力R與支持力N方向的夾角稱為摩擦角φ,有tanφ=fN=μ.水平拉力F大小不變,方向改變,物塊仍向右勻速直線運(yùn)動(dòng),支持力N與滑動(dòng)摩擦力f都發(fā)生了改變,兩者均減小了,但是由于tanφ=fN=μ,兩者方向的夾角始終等于φ,故此全反力R的方向不變.于是,把四力平衡變成三力平衡,作出首尾相連的矢量三角形,如圖10所示.由圖可知,φ=30°,即tanφ=tan30°=33,所以動(dòng)摩擦因數(shù)μ=33,選項(xiàng)C正確.

    例3 如圖11所示,一水平導(dǎo)軌處于與水平方向成45°角向左上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,一根通有恒定電流的金屬棒,由于受到安培力作用而在粗糙的導(dǎo)軌上向右做勻速運(yùn)動(dòng).現(xiàn)將磁場(chǎng)方向沿順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)至豎直向上,在此過程中,金屬棒始終保持勻速運(yùn)動(dòng),已知棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=33,則().

    A.金屬棒所受摩擦力一直在增大

    B.導(dǎo)軌對(duì)金屬棒的支持力先變小后變大

    C.磁感應(yīng)強(qiáng)度先變小后變大

    D.金屬棒所受安培力恒定不變

    分析 如圖12所示,通電金屬棒向右勻速運(yùn)動(dòng),對(duì)金屬棒受力分析,受到重力mg、支持力N、滑動(dòng)摩擦力f與安培力F安作用,把N與f兩力合成全反力R,四力平衡變成三力平衡,其中摩擦角正切值tanφ=fN=μ=33,則φ=30°.由于全反力R的方向保持不變,故可作出首尾相連的矢量三角形,如圖13所示.從圖中可看出,在磁場(chǎng)方向沿順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)過程中,全反力R逐漸變大,故金屬棒所受的支持力與摩擦力均逐漸變大,選項(xiàng)A正確;安培力F安先變小后變大,當(dāng)安培力與全反力方向垂直時(shí),F(xiàn)安達(dá)到最小值,由B=F安IL可知,磁感應(yīng)強(qiáng)度B也先變小后變大,選擇C正確.

    例4 質(zhì)量為M、傾角為θ的斜面體靜止在水平面上,將一質(zhì)量為m的物塊輕放在斜面體上,物塊恰好處于靜止?fàn)顟B(tài),輕推物塊,物塊剛好能勻速下滑.現(xiàn)用與斜面體上表面成α角的拉力F拉著物塊勻速上滑,如圖14所示.問當(dāng)α為多大時(shí),拉力F有最小值?重力加速度為g.

    分析 物塊恰好能勻速下滑,對(duì)物塊受力分析可知,mgsinθ=μmgcosθ,則μ=tanθ.物塊受到斜面體的支持力N、滑動(dòng)摩擦力f的合力R與重力等大反向,全反力R與支持力N方向的夾角即為摩擦角φ,則φ=θ,如圖15所示.現(xiàn)用力F拉著物塊勻速上滑,滑動(dòng)摩擦力方向沿斜面體向下,現(xiàn)受到重力mg、全反力R、拉力F三個(gè)力作用,運(yùn)動(dòng)過程中全反力的方向沒有改變,全反力R與支持力N的方向仍為φ,故R與豎直方向夾角2φ,作出矢量三角形如圖16所示.由圖可知,當(dāng)拉力F與全反力R垂直時(shí),F(xiàn)有最小值,此時(shí)Fmin=mgsin2φ=mgsin2θ,此時(shí)φ=θ.

    對(duì)于四力或多力平衡,可根據(jù)題意,建構(gòu)物理模型,列出表達(dá)式求解.若數(shù)學(xué)運(yùn)算復(fù)雜繁瑣,可采用圖解法,把四力或多力變成三力平衡問題,將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化,同時(shí)發(fā)展學(xué)生科學(xué)思維.

    參考文獻(xiàn):

    [1]賴世鏘.以水平轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤為例談科學(xué)思維的培養(yǎng)[J].中學(xué)物理教學(xué)參考,2020(2):11-15.

    [2]席明珍.利用摩擦角巧解平衡態(tài)[J].物理教師,2019(5):94-95.

    [責(zé)任編輯:李 璟]

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