“動靜法”解函數(shù)背景下幾何最值問題

摘 要：中考不僅有選拔功能，也有反饋功能，教師可以通過中考試題以及中考改編題發(fā)現(xiàn)學(xué)生的認(rèn)知水平，從而為指導(dǎo)教學(xué)提供依據(jù).“動靜法”解函數(shù)背景下動態(tài)幾何最值問題，特別是動態(tài)下三角形面積最值問題，考慮用三角形的面積等底乘高的一半，或者鉛垂高水平寬的一半.這類綜合題是初中重點知識、思想方法的考查范圍，能從不同角度充實、優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是平時教學(xué)中的優(yōu)質(zhì)例題，具有良好的教學(xué)價值.

關(guān)鍵詞：動靜法;幾何最值;底乘高的一半;鉛垂高水平寬的一半

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）14-0012-02

收稿日期：2021-02-15

作者簡介：張春花（1989.3-），福建省莆田人，碩士，中學(xué)二級教師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、題目呈現(xiàn)

如圖1，拋物線y=x2-x-4與直線y=-2x+2交于A、B兩點，

直線與y軸、x軸的交點分別為點E、點F.直線AB下方的拋物線上有一動點P，記點P的橫坐標(biāo)為t.當(dāng)△ABP的面積最大時求t的值，并求出△ABP面積的最大值.

二、特色解讀

題目簡約，內(nèi)涵豐富，指向核心素養(yǎng).

現(xiàn)在人的眼里，簡單即是美，體現(xiàn)在數(shù)學(xué)題目上也一樣.本題圖像簡單唯美，文字簡約，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的簡約美.簡約外形下對動態(tài)下求三角形面積最大值這一核心問題考查到位，而且此題考查函數(shù)背景下的幾何最值問題，具有較好的延展性，題目不變，可以把問題變式為求線段最短，求三角形周長最短等等，可以從多角度變式探究，此題不失為一道內(nèi)涵豐富的課堂例題.

本題以二次函數(shù)為載體，綜合考查了初中階段“圖形與幾何”“數(shù)與代數(shù)”的重點知識：二次函數(shù)，一次函數(shù)，相似三角形，三角函數(shù)等，不僅為高中學(xué)習(xí)二次函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，也對學(xué)生的思維發(fā)展產(chǎn)生了積極作用.

三、解法欣賞

由已知條件中拋物線與直線交于A、B兩點，聯(lián)立直線與拋物線的解析式可以求出點A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點之間的距離公式得到A、B兩點間的長度;由已知條件中直線與y軸、x軸的交點分別為點E、點F，根據(jù)直線的解析式可以求出點E，點F的坐標(biāo)，進(jìn)而求出OE=2，OF=1，EF=5，這樣我們就得到直角三角形EOF是確定的，這些都是本題的定量條件;由已知直線AB下方的拋物線上有一動點P，記點P的橫坐標(biāo)為t，則動點P的坐標(biāo)滿足拋物線的解析式，從而得到P的坐標(biāo)為P（t，t2-t-4），又動點P在直線AB的下方，這樣可以得到t的范圍在A、B兩點的橫坐標(biāo)之間，這是本題的變量條件.

分析完本題的條件，再來看本題的問題，當(dāng)△ABP的面積最大時求t的值，并求出△ABP面積的最大值.通過分析已經(jīng)知道AB的長度，從靜態(tài)視角下考慮只要找到AB邊上的高長度最大時所對應(yīng)的點P即可.從動態(tài)視角下考慮可以利用相似或三角函數(shù)轉(zhuǎn)化表示出AB邊上的高DP關(guān)于變量t的關(guān)系式，也可以考慮利用“化斜為直”轉(zhuǎn)化.

1.靜態(tài)法——利用直線平移，化動為靜

思路分析 要求△ABP面積的最大值，AB的長度固定，只要找到點P到直線AB的距離最大值即可，將直線AB進(jìn)行平移，很明顯平移到直線與拋物線只有一個交點的時候，即直線與拋物線相切時的切點P到直線AB的距離最大.聯(lián)立直線與拋物線的解析式，根據(jù)Δ=0得到k的取值，進(jìn)而得到切點P的坐標(biāo).解法1 利用直角三角形求面積

由于A，B，P三點的坐標(biāo)都已知，根據(jù)兩點的坐標(biāo)公式可以得到AB，AP，BP的長度，通過勾股定理的逆定理可以得到此時△ABP是直角三角形，利用直角三角形的面積公式可以求得t=-12時△ABP面積的最大值為1258.

解法2 利用“化斜為直”求面積

因為A，B，P三點的坐標(biāo)已經(jīng)求出來了，所以可以利用“割補(bǔ)法”求出ΔABP的面積.采用割法——“化斜為直”利用三角形面積等于鉛垂高與水平寬乘積的一半來求，前面求A，B，P三點的坐標(biāo)同解法1，過點P作CP∥y軸交直線AB于點C，根據(jù)直線的解析式可以得到點C的坐標(biāo)，根據(jù)兩點的坐標(biāo)公式可以得到CP長度，利用三角形面積等于鉛垂高（CP長度）與水平寬（A，B兩點的水平距離）乘積的一半可以回答本題的問題.

2.動態(tài)法——構(gòu)造函數(shù)法

思路分析 從動態(tài)角度思考這道動點問題，根據(jù)ΔABP的面積等于底乘高的一半，已知AB長度，只要用變量t表示AB邊上的高DP即可，考慮利用相似，銳角三角函數(shù)把變量CP的長度轉(zhuǎn)化成DP的長度.

解法1 利用相似構(gòu)造函數(shù)

過點P作CP∥y軸交AB于C，DP⊥AB交AB于D，因為點C，P的橫坐標(biāo)相同，且點C在直線y=-2x+2上，所以Ct，-2t+2，進(jìn)而得到CP的長度，利用△CDP與ΔEOF相似轉(zhuǎn)化得到DP與CP的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而得到DP關(guān)于t的二次函數(shù)，然后根據(jù)三角形的面積等于底乘高的一半就成功的構(gòu)造出△ABP的面積關(guān)于t的二次函數(shù)，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)回答本題的問題.

解法2 利用三角函數(shù)構(gòu)造函數(shù)

因為解法1中兩個相似三角形是直角三角形，所以可以考慮利用銳角三角函數(shù)轉(zhuǎn)化，由于DP與CP是∠PCD的對邊與斜邊的關(guān)系，所以考慮用銳角正弦三角函數(shù)轉(zhuǎn)化.解題過程同解法1一樣，只是在求DP與CP關(guān)系式時用正弦三角函數(shù)轉(zhuǎn)化，同樣得到DP關(guān)于t的二次函數(shù).

解法3 利用“化斜為直”構(gòu)造函數(shù)

解法1，2是根據(jù)△ABP的面積等于底乘高的一半，利用相似，三角函數(shù)把變量CP的長度轉(zhuǎn)化成DP的長度求解，解法3考慮把△ABP的面積“化斜為直”直接利用CP（鉛垂高）的長度求面積.△ABP的面積等于鉛垂高（CP長度）與水平寬（A，B兩點的水平距離）乘積的一半.

四、教學(xué)導(dǎo)向

“動靜”視角思考函數(shù)背景下幾何圖形中含有“動態(tài)”元素題

函數(shù)背景下幾何最值問題，一題多解，可以提高同學(xué)運(yùn)算能力，拓寬解題思路，對于幾何圖形中含有“動態(tài)”元素（點，線段等）的問題一般都有兩種視角思考的思路，視角1靜態(tài)下數(shù)形結(jié)合找到題目中要的動態(tài)元素位置;視角2動態(tài)下通過線段，面積等建立“動態(tài)”元素間的函數(shù)關(guān)系，用函數(shù)思想來處理，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求出限制條件下的最值.

怎樣構(gòu)造函數(shù)表達(dá)式？解決步驟：一、根據(jù)題意和幾何圖形的性質(zhì)對所給條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，合理設(shè)置參數(shù)，將點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段長;二、合理利用面積，特殊圖形（如直角三角形、矩形、圓等），特殊關(guān)系（如全等、相似、三角函數(shù)、勾股定理）將這類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題;三、利用函數(shù)性質(zhì)求解.

“動靜法”除了可以解決三角形面積最值外，還可以求解線段長、三角形或者四邊形的周長最值.此題的問題是求△ABP的面積最大時t的值，并求出△ABP面積的最大值，題目不變，對問題進(jìn)行變式，變式一：過點P作CP∥y軸交直線AB于點C，求CP最小時t的值，并求出CP的最小值;變式二：過點P作DP⊥AB交AB于點D，求DP最小時t的值，并求出DP的最小值;變式三：求△CDP周長最小時t的值，并求出△CDP周長的最小值等等變式，可以做多角度變式探究，這些變式題的做法都可以從以上總結(jié)的“動靜法”兩種視角思考.

參考文獻(xiàn)：

[1]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版總社，2016.

[2]龐彥福.初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2015.

[責(zé)任編輯：李 璟]