從數學抽象的角度審視相似形概念的教學

韓詩貴

摘? 要：數學概念是抽象的，概念教學是數學教學的基石，在概念教學中發(fā)展學生的數學抽象素養(yǎng)是概念學習的需要，也是數學學習的需要. 文章結合相似形概念的教學，從概念的弱抽象、強抽象，以及抽象的形式化、具體化等角度進行剖析，嘗試理清數學概念形成中的不同抽象形式及過程，以期在概念教學中發(fā)展學生的數學抽象素養(yǎng).

關鍵詞：相似形;弱抽象;強抽象;形式化;具體化

在《普通高中數學課程標準（2017年版）》中，數學抽象位于六大數學學科核心素養(yǎng)之首，是數學學習需要具備的關鍵能力之一. 數學抽象是數學的基本思想，反映了數學的本質特征，是形成理性思維的重要基礎，貫穿于數學知識產生、發(fā)展、應用的整個過程.

眾所周知，數學概念是抽象的，是抽取出事物的本質屬性，舍棄其非本質屬性，使人們的認識從感性的具體進入理性的抽象. 如何在概念教學中發(fā)展學生的數學抽象素養(yǎng)？章建躍教授認為，要選取學生熟悉的典型事例，提供豐富的材料，讓學生經歷完整的數學抽象過程，熟悉數學抽象的“基本套路”，在概念學習中學會數學抽象. 在概念教學中發(fā)展學生的數學抽象是概念學習的需要，也是數學學習的需要. 筆者結合蘇科版《義務教育教科書·數學》九年級下冊“6.3 相似圖形”一課的設計與實施片斷，談一談對培養(yǎng)學生數學抽象思維能力的實踐與思考.

一、教學片斷簡述

教學片斷1：相似形概念的教學.

問題1：教師手中的這兩塊三角板有什么共同特征？（均是含有45°角的三角板，一塊是教師教學用的大三角板，一塊是學生作圖用的小三角板.）

問題2：圖1中各組圖形有什么共同特征？

【說明】在新課導入時，選取學生熟悉的三角板等生活中常見的物品，長方體、圓柱體等常見的立體圖形，以及五角星、三角形等常見的平面圖形，創(chuàng)設有利于學生積極思考的情境，提出指向數學本質的問題. 讓學生觀察具有典型特征的圖例，經歷抽象概括的思維過程，提煉相似形的概念.

教學片斷2：相似多邊形概念的教學.

（1）引發(fā)認知沖突，促進思考.

問題3：如圖2，四邊形ABCD與四邊形[A′B′C′D′]相似嗎？

師：在幾何畫板軟件中對應調整點B和點[B′]的位置后，四邊形ABCD與四邊形[A′B′C′D′]還相似嗎？

【說明】前一環(huán)節(jié)設置了相似的辨別練習，進一步鞏固從“形”的角度理解概念. 然后通過圖形的變化引起認知沖突，實現從“形”到“數”的角度研究相似多邊形概念的自然過渡. 同時，認知沖突也在一定程度上激發(fā)了學生的探究欲望，以及鉆研的積極性.

（2）列舉反例，辨析概念.

師：僅根據“形狀相同”常常難以判斷兩個多邊形是否相似. 若要進行準確的判斷，你覺得需要哪些條件？

師：首先，這兩個多邊形邊數應該相同，對嗎？

學生表示認同.

師：邊數相同的兩個多邊形具備怎樣的條件就會相似呢？

生1：各角分別相等，兩個多邊形相似.

生2：各邊成比例，兩個多邊形相似.

生3：只有角相等的兩個多邊形不一定相似.

師：為什么？

生3：一個正方形，一個矩形，它們的四個角都是90°，但它們不相似.

師：非常好！這個反例十分典型，一個正方形和一個矩形滿足四個角分別相等，但這樣的兩個四邊形不一定相似. 那么，各邊成比例，兩個多邊形是不是就一定相似呢？

生4：不一定相似. 正方形和菱形的各邊成比例，但是不相似.

師：說說你的理由.

生4：可以設正方形的邊長為a，菱形的邊長為b，則正方形的四條邊與菱形的四條邊的比都是[ab.]

師：顯然，正方形和菱形不相似. 可見，僅有各邊對應成比例的兩個多邊形也不一定相似. 在數學上，我們這樣定義相似多邊形：各角分別相等，各邊成比例的兩個多邊形，它們的形狀相同，稱為相似多邊形.

【說明】學習本節(jié)知識之前，學生已經經歷了三角形和四邊形的學習，對從邊和角的元素研究圖形有深刻的體會，能自然聯想到從邊和角兩個方面定義相似多邊形. 而學習兩個三角形全等的判定時，只需要邊和角的部分元素，在這樣的知識儲備下，學生可能會認為各邊成比例或各角分別相等就能確定兩個多邊形相似. 舉反例有助于學生總結相似多邊形的概念，理解概念的抽象定義.

（3）證明相似，理解概念.

師：在圖2中，當四邊形ABCD與四邊形[A′B′C′D′]相似時，記作四邊形ABCD ∽ 四邊形[A′B′C′D′.] 同理，若△ABC與[△A′B′C′]的三個角分別相等，且三邊成比例，則△ABC與[△A′B′C′]相似，記作△ABC ∽ [△A′B′C′.] 試根據相似形的定義畫兩個相似的三角形，并說明理由. 畫好之后，先在小組內交流，然后全班展示.

展示1：如圖3，在△ABC中，分別取各邊中點D，E，F，構成△DEF，根據三角形中位線的性質，可以得到△DEF和△ABC各邊的比都是[12.] 又可以證得四邊形BDEF、四邊形CDFE、四邊形AEDF均為平行四邊形. 所以△DEF和△ABC的各角分別相等. 所以△DEF和△ABC相似.

展示2：如圖4，△ABC與△A′B′C′都是等邊三角形，它們的三個內角都是60°，兩個等邊三角形的邊長分別記作a，b，可得各邊的比都是[ab]，所以△ABC與△A′B′C′相似.

展示3：如圖5，[△ABC]和[△A′B′C′]都是等腰直角三角形，[∠B=∠B′=90°，△ABC]與[△A′B′C′]的腰長分別記為[a，b，] 則斜邊長分別是[2a， 2b.] 所以各邊的比都是[ab，] 三個內角分別是45°，45°，90°，各角分別相等，所以這兩個三角形相似.

展示4：如圖6，△ABC與△DEF的形狀完全相同，它們的各角分別相等，各邊的比都等于1，所以△ABC和△DEF相似.

【說明】例子在概念教學中至關重要，一個好的例子勝過千萬條說教. 在教學中，得出相似形的概念之后，讓學生舉例，并推理論證，這是理解概念和運用概念的過程，也是概念從理性的抽象走向理性的具體，從形式化抽象走向形式化具體的過程.

二、從數學抽象的角度審視教學

數學學習是一個抽象的過程，大到一個數學體系的公理化，解決實際問題的模型化，小到一個概念的定義，一個證明技巧的發(fā)現等都需要數學抽象. 正如史寧中教授所說，數學在本質上研究的是抽象的東西，數學發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也是抽象. 上述案例中，相似形概念形成、理解與應用的過程，其實就是一個數學抽象的過程.

1. 求同舍異——概念的弱抽象

在數學思想活動中，有一類方法是在同類的事物中抽取關于數量、空間形式或結構關系方面的共同屬性，舍棄其他的特征，從而形成新的數學概念. 這種舍棄一部分屬性保留共同屬性的抽象過程稱之為“弱抽象”. 例如，在教學片斷1中，“形狀相同”是不同圖形的共同屬性，而三角板、正方體等名稱，以及大小相等或大小不等，立體或平面等，都是不同屬性而被舍棄. 也就是說，相似形概念的形成過程正是弱抽象的過程.

在初中數學的概念教學中，弱抽象非常普遍. 弱抽象形成概念的關鍵是歸納概括. 因此，在教學中，教師首先應該提供豐富的、典型的事例;其次，要給予學生充分的時間觀察、比較、交流，這是培養(yǎng)學生歸納概括能力的過程. 在“相似形”一課的教學中，教師提供了學生熟悉的圖形，這些圖形從生活到數學，從立體到平面，從不全等到全等，豐富而典型. 在一系列活動的基礎上，通過師生交流、生生交流，最后提煉“形狀相同”的共同屬性. 這正是積累數學抽象活動經驗，發(fā)展數學核心素養(yǎng)的過程.

2. 增添內涵——概念的強抽象

在數學思想活動中，有一類方法是將新的特征或屬性添加到已有的數學結構中，從而形成新的數學概念. 這種通過在原有數學結構中增添新的性質來獲得新的數學概念的過程，稱之為“強抽象”. 例如，邊數相同的多邊形增加“各角分別相等和各邊成比例”的條件屬性，從而形成相似多邊形的概念. 隨著內涵的增加，外延隨之縮小. 由此可見，相似多邊形概念的形成正是數學強抽象的結果.

強抽象在初中數學概念的教學中十分常見. 強抽象使原有數學對象的內涵更加豐富，但這種豐富不是具體的，而是抽象的. 鑒于上述特點，教學中為了幫助學生理解概念，首先，應提供豐富而具體的事例. 在教學片斷2中，學生列舉了大量的例子，先是舉反例，如“各角分別相等的四邊形不一定相似”“各邊成比例的四邊形不一定相似”，然后舉正例，如展示1、展示2、展示3、展示4. 具體的事例有助于學生深刻理解相似多邊形的概念. 其次，因為增加了內涵條件才有了新概念，才有了新概念的外延和性質，所以新增的內涵條件應該是教學的重點，抓住新增的內涵條件也就抓住了新、舊概念之間的關系，也就能夠實現有意義的知識建構. 教學中，學生所列舉的例子都是圍繞各角分別相等和各邊成比例來證明圖形不相似或相似，有效促進了學生對新的抽象概念的理解.

3. 引進符號——抽象的形式化

數學對象不僅是抽象的思想材料，還是形式化的思想材料. 所謂形式化，是指這些抽象的思想材料是用數學符號語言組織起來的，當人們面對一系列數學材料時，看到的僅僅是材料的形式，其所包含的真正內容卻是抽象的思想隱藏在形式之中. 例如，從直觀上看，“∽”就是一個符號，但它在數學中的真實含義是指兩個圖形之間滿足如下關系：圖形的形狀相同（定性）;或者是邊數相同的多邊形，各角分別相等，各邊成比例（定量）. 但是單從符號的形式上看不到它的真實含義，這一點也正說明了符號的抽象性.

數學符號是在數學抽象的基礎上逐步引入的，并以此為基礎把數學對象的研究轉化為數學符號的研究. 數學符號是數學抽象的產物，同時也使數學更加抽象. 史寧中教授認為抽象有兩個層次：一是直觀描述;二是符號表達. 數學概念需要用文字語言闡述，數學概念通常也會用簡約的符號語言表述，使數學抽象走向形式化，這是數學的特點，貫穿于數學學習的始終. 而理解這種形式化正是進一步學習數學的基礎. 上述案例中，教師在引入符號“∽”時，介紹了“∽”的歷史，以及“∽”與“≌”的關系，明確了“∽”的意義. 并以三角形相似進行舉例：在[△ABC]和[△A′B′C′]中，因為[∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′， ABA′B′=BCB′C′=][CAC′A′，] 所以[△ABC∽△A′B′C′，] 反之亦然. 將“∽”與[∠A=∠A′，][∠B=∠B′，∠C=∠C′]等已有的符號之間建立聯系，有利于學生理解相似符號“∽”的形式化意義.

4. 有效聯系——抽象的具體化

數學概念是抽象的，數學概念的抽象性增加了它的理解難度，也成為數學學習的障礙. 其實，數學概念也是具體的. 首先，數學概念定義的對象是具體的，它是對客觀世界數量關系和空間形式的表述;其次，任何一個數學概念都是用具體的語言描述的. 也就是說，數學概念其實是抽象與具體的統(tǒng)一. 例如，相似的概念是抽象的，但相似的內容是用具體的語言描述的，相似的圖形也是具體存在的.

對學生而言，如果新的概念始終停留在抽象層面，很難說他已經理解了概念，只有當新概念從抽象走向具體，學生才是真正接受它，并能靈活運用它，才能成為學習更抽象知識的基礎. 否則，只會是機械模仿、生搬硬套. 如何使新的概念從抽象走向具體？筆者認為通常有兩條路徑：建立新概念與現實世界之間的聯系;建立新概念與舊知識體系之間的聯系. 而舉例與推理是建立這種聯系的常用方法. 在上述案例中，相似形概念的形成基于觀察典型的例子，然后教師又安排了一組圍繞“形狀相同”的圖形特征的練習，在圖形的觀察與辨析中理解相似;而在相似多邊形的概念教學中，學生列舉了4個典型的例子. 在教學中，這樣的具體例子能幫助學生理解概念，感受相似的具體存在，在新概念與現實世界之間建立有效聯系. 在證明多邊形相似的推理論證中，相似與邊和角、相似與全等等原有知識之間建立了有意義的聯系. 這是應用概念的過程，是理解概念的過程，更是相似形的概念從抽象走向具體的過程. 可以說，舉例與推理使新概念從理性的抽象走向理性的具體，在兩者之間建立了有效的聯系.

概念教學是數學教學的基石，而形成概念的過程正是數學抽象的過程. 理清數學概念形成中的不同抽象形式及過程，才能在教學中有的放矢，培養(yǎng)學生的數學抽象能力才能從不自覺走向自覺.

參考文獻：

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