迭代學習PMLSM跟蹤控制

趙玉杰

（廈門興才學院工學院，福建廈門 361024）

0 引 言

在永磁材料性能不斷提高以及電力電子技術不斷發(fā)展的推動下，擁有較高的能量密度、高可靠性和高效率等優(yōu)勢［1－2］的永磁直線同步電機（PMLSM）被廣泛地應用到伺服系統(tǒng)中。但由于永磁直線同步電機去除了旋轉(zhuǎn)電機由旋轉(zhuǎn)運動到直線運動的機械傳動鏈的中間環(huán)節(jié)，外部擾動和負載的變化將直接作用于伺服系統(tǒng)。而直線電動機本身所存在的系統(tǒng)參數(shù)的變化、摩擦阻力的非線性變化、狀態(tài)的觀測噪聲、永磁體磁鏈諧波等產(chǎn)生推力紋波、端部效應以及齒槽效應等都會降低系統(tǒng)的伺服性能和機床的加工精度［3］。重復運動方式在機器人、數(shù)控機床等伺服系統(tǒng)應用的很多場合都比較常見。在該系統(tǒng)的設計過程中，一個重要的設計目標就是要不斷減小位置跟蹤誤差，以及提高系統(tǒng)的響應速度和位置跟蹤精度。

由于一些非線性因素和永磁同步直線電機的不精確數(shù)學模型，PID控制很難滿足永磁同步直線電機控制的運動控制系統(tǒng)要求。而前饋－反饋控制器在重復的軌跡跟蹤系統(tǒng)的控制中得到了廣泛的應用。一種基于PID反饋的神經(jīng)網(wǎng)絡控制方法在文獻［4］中被應用到永磁同步直線電機的控制系統(tǒng)中，該方法在提高了直線伺服系統(tǒng)跟蹤精度的同時，還有效地降低了負載擾動以及參數(shù)變化對系統(tǒng)的影響。迭代學習控制由于其學習過程簡單和控制精確性高［5］，被廣泛地應用到各個控制領域。

文中提出了一種新型的前饋－反饋控制方法。迭代學習控制器的設計克服了軌跡跟蹤系統(tǒng)中存在的外部擾動和非線性的影響，提高了系統(tǒng)的跟蹤特性和控制精度。而IP反饋控制器的設計旨在提高系統(tǒng)的抵抗擾動特性。

1 永磁直線同步電機（PMLSM）簡單的數(shù)學模型

PMLSM的電壓方程和磁鏈方程為［6］：

式中：ud，uq——分別為PMLSM的d，q軸的電壓分量；

Ld，Lq——分別為d，q軸等效的電感，對于永磁體表面安裝的電機而言，Ld＝Lq；

id，iq——分別為d，q軸的等效永磁體電流；

p——微分算子；

λd，λq——分別為d，q軸磁鏈；

Rs——定子電阻；

λPM——定子永磁體產(chǎn)生的勵磁磁鏈。

電磁推力表達式為：

由式（5）可以看出，推力僅由iq決定，從而得到運動方程為：

式中：v——動子的運動速度；

s——動子位移；

KF——推力系數(shù)；

D——粘滯摩擦系數(shù)；

Fe——電磁推力；

FL——負載阻力；

M——動子質(zhì)量；

Fd——推力總量；

Fef——端部效應。

永磁同步直線電機端部效應的簡化波形為

式中：Fefm——端部效應力波動的幅值；

τ——極距；

θ0——初始相位電角度。

將式（8）和式（9）寫成狀態(tài)方程的形式：

其中，

PMLSM的結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 PMLSM的結(jié)構(gòu)圖

2 前饋－反饋控制器的設計

將IP反饋和迭代學習前饋相結(jié)合，旨在提高具有重復性運動特性系統(tǒng)的抗擾動能力和跟蹤精度?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

如圖2可知，控制輸入

k——迭代學習的次數(shù)。

2.1 IP反饋控制器的設計

對參數(shù)變化和外部擾動具有強魯棒性以及快速而又準確的跟蹤能力是高性能的伺服系統(tǒng)設計的重要指標。前饋控制器保證了直線伺服系統(tǒng)的跟蹤特性，系統(tǒng)對擾動和參數(shù)變化的魯棒性由反饋控制器來完成。通過設計較高積分增益的IP控制器來提升系統(tǒng)的響應速度和抑制負載擾動的影響。具體設計方法見文獻［7］，IP反饋控制器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 IP反饋控制器結(jié)構(gòu)

2.2 迭代學習控制器的設計

迭代學習控制通過不斷的迭代學習過程，獲得系統(tǒng)的經(jīng)驗知識，能夠在有限的時間間隔內(nèi)改進具有重復操作特性系統(tǒng)的跟蹤性能，補償對象模型的不確定性和擾動。PD-型迭代學習控制是文中所采用的學習算法，其迭代學習率為：

式中：Γ，Q——關于誤差學習算子；

k——迭代次數(shù)；

yd（t）——期望輸出值。

首先，建立系統(tǒng)（11）的狀態(tài)空間表達式：

式中：xk（t）∈Rn，uk（t）∈Rm，yk（t）∈Rr——分別為系統(tǒng)的狀態(tài)、控制和輸出向量；

wk（xk（t），t）——系統(tǒng)狀態(tài)擾動；

E（·）∈Rr×n——常數(shù)陣；

t∈［0，T］——每次迭代的運行時間。

函數(shù)：

為了證明收斂性，先作以下定義：

設非線性系統(tǒng)的動態(tài)方程見式（12），且t∈［0，T］中滿足如下條件：

1）函數(shù)f（·，·），wk（·，·）和B（·，·）在區(qū)間［0，T］上滿足Lipschitz條件。

2）第K次迭代的系統(tǒng)初始狀態(tài)誤差滿足：‖xd（0）－xk（0）‖≤bx0，?κ。

3）存在唯一理想控制ud（t），使得系統(tǒng)的狀態(tài)和輸出為期望值。

定理1 對于式（12）的非線性系統(tǒng)，滿足條件1）～3），如果存在正數(shù)ρ，使得

成立，其中

那么在系統(tǒng)（12）采用綜合了迭代學習前饋控制和IP反饋控制的控制器進行控制時，如果初始狀態(tài)誤差δx（0）、狀態(tài)擾動wk（xk（t），t）均有界的情況下，當k→∞時，跟蹤誤差‖yd（t）－yk（t）‖漸進收斂且趨于0，即跟蹤誤差漸進趨近于零。

證明：

則

利用系統(tǒng)（12）和ILC控制律得

整理上式得：

對上式取范數(shù)得

下面求‖δxk‖：

其中

對式（16）兩端取λ范數(shù)并合并

令

將方程（18）代入方程（15）可得

那么如果滿足定理條件

則

同理可得：

從式（20）和式（21）中可以看出，在初始狀態(tài)誤差δx（0）、狀態(tài)擾動wk（xk（t），t）有界的情況下，當k→∞時，通過ILC，跟蹤誤差‖yd（t）－yk（t）‖的漸近收斂到0。

3 Matlab仿真

系統(tǒng)參數(shù)為Mn＝11.0kg，Dn＝8.0N·s／m，Kf＝28.5N／A?？刂茀?shù)為KS＝6.07，KI＝809.56，Kp＝34.602，Γ＝10.4，Q＝6.8。通過Matlab仿真軟件對所設計控制器進行了系統(tǒng)的仿真研究。在迭代方向上的均方誤差曲線（直線表示為IP反饋的均方誤差，虛線為有迭代學習前饋的均方誤差曲線）如圖4所示。

從圖中可知，帶有迭代學習前饋的IP反饋控制器在軌跡跟蹤和消除參數(shù)變化和外部擾動上比單獨的IP反饋控制器具有更好的效果，使跟蹤誤差逐漸減小，漸進趨于零，從而證明了該方法的有效性。

圖4 均方誤差曲線

4 結(jié) 語

針對永磁直線同步電機在具有重復運動的軌跡跟蹤控制系統(tǒng)中的應用，設計了前饋－反饋結(jié)構(gòu)控制器。該控制結(jié)構(gòu)包括了IP反饋和迭代學習前饋兩部分。IP反饋部分來保證系統(tǒng)對擾動和參數(shù)變化的魯棒性，迭代學習前饋用來進一步加強系統(tǒng)的跟蹤特性，減小系統(tǒng)的跟蹤誤差。仿真結(jié)果驗證了該方法對提高系統(tǒng)的跟蹤精度以及消除系統(tǒng)的擾動和參數(shù)變化具有很好的效果。

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