對衛(wèi)星機械能大小的深度研究

王小慶

摘? ?要：比較衛(wèi)星機械能大小的問題，是高考中的高頻考點。各省考查的主要是單顆衛(wèi)星變軌時機械能大小的變化，對于多個衛(wèi)星機械能大小的比較雖然暫時還沒考過，但是，選擇無窮遠處為零勢能平面的高考題已經(jīng)多次出現(xiàn)。對動能、重力勢能具有相對性的深度分析，可以得出重要結(jié)論，那就是比較兩顆衛(wèi)星機械能大小的關(guān)系時，考慮到衛(wèi)星飛行的實際高度，只有選擇無窮遠處為參考平面才是正確的分析方法。

關(guān)鍵詞：零勢能面;機械能的相對性;衛(wèi)星勢能

中圖分類號：G633.7 文獻標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）8-0061-3

1? ? 引? 言

近幾年高考試題中，?？夹l(wèi)星機械能大小的相關(guān)問題。然而在這個問題上，關(guān)于衛(wèi)星勢能大小的計算，存在諸多爭論。經(jīng)過調(diào)查，絕大部分物理教師沒有從根本上理解問題所在，造成了在課堂上無法正確講解，給學(xué)生造成物理觀念上的困擾。本文對此類問題進行深入分析，為解決不同衛(wèi)星在天上運行時機械能大小的比較問題提出有效方法。

首先，讓我們來看一個問題[1]，如圖1所示，假設(shè)兩顆人造衛(wèi)星A和B都繞地球做勻速圓周運動，其質(zhì)量之比為mA∶mB=1∶4，周期之比為TA∶TB=1∶8，那么，衛(wèi)星A和衛(wèi)星B的機械能大小關(guān)系如何呢？

通過簡單的計算，我們可以得出兩顆衛(wèi)星的軌道半徑之比為rA：rB=1：4，速度之比為vA：vB=2∶1。根據(jù)機械能等于動能和重力勢能之和，從常規(guī)思路分析可以得知，兩顆衛(wèi)星的動能相等，衛(wèi)星B質(zhì)量大，且距地球表面的高度大，衛(wèi)星B的重力勢能比衛(wèi)星A的重力勢能大，故而，衛(wèi)星B的機械能大。這種情況是以地球表面為零勢能平面為前提的，重力勢能計算式為常用公式EP=mgh。但是，我們也常將無窮遠處規(guī)定為零勢能點，此時，重力勢能的表達式為EP=-G，將已知條件m和r代入公式，可得兩顆衛(wèi)星的重力勢能大小是相等的，且動能也相同，從而，得到了第二種結(jié)論，即兩顆衛(wèi)星的機械能一樣大。

對于以上兩種情況，到底是機械能相等，還是衛(wèi)星B的機械能大呢？接下來，我們將進行深度探究。

2? ? 選取不同零勢能參考平面重力勢能的相應(yīng)表達式

首先，我們來看勢能的定義，將物體從某一位置移動到零勢能點，重力所做的功，即為該點的勢能值。

若選擇無窮遠處為零勢能平面，將一個質(zhì)量為m的物體從距地心為r處移動到無窮遠處，萬有引力所做的功，即為物體在r處所具有的重力勢能，其大小為：

若選擇地球表面為零勢能平面，設(shè)地球的半徑為R，物體距地面的高度為h，將物體從距地心r=R+h處移動到地球表面，重力做的功，即為物體在距地面h處所具有的重力勢能（圖2），其大小為：

分析上式可知，當(dāng)h<

EP=mgh（4）

該公式中所有勢能值均為正值[2]。

于是，衛(wèi)星在天空運行時，根據(jù)（1）（5）及（2）（5）式，分別選取無窮遠處和地面為參考平面的機械能的表達式各自為：

再回到本文開始提出的問題，衛(wèi)星A和衛(wèi)星B的機械能等于動能和重力勢能之和，在動能相同的條件下，重力勢能到底該?。?）式還是（4）式呢？已知衛(wèi)星A和衛(wèi)星B距地心的距離為1：4，若衛(wèi)星A貼地飛行，rA=R，rB=4R，由此可知，衛(wèi)星B距地面的距離h=3R，不滿足（3）式中h<

3? ? 動能和勢能相對性的深度分析

動能和勢能是狀態(tài)量，它們都具有相對性，選擇不同的參考系，它們的數(shù)值大小是不同的。接下來，我們分析一下兩個物體動能的大小關(guān)系。

如圖3所示，有兩個質(zhì)量都是m的木塊在光滑的足夠長的木板上滑動，A木塊向左勻速運動，B木塊向右勻速運動，速度大小都是v，若長木板也向右以速度v做勻速直線運動，那么，哪個木塊的動能大呢？

如果選取地面為參考系，兩個木塊相對于地面的速度都是v，可知兩個木塊的動能是相等的。如果選擇長木板為參考系，則A木塊相對于長木板的速度為2v，B木塊相對于長木板的速度為零，可知A木塊的動能大，B木塊的動能小。

現(xiàn)將木塊的動能和衛(wèi)星的勢能綜合分析，通過以上條件，計算結(jié)果列入表1。

綜合分析可知，動能具有相對性，勢能具有相對性，機械能等于動能和勢能之和，機械能也具有相對性。選取不同的參考系，兩個物體的相對動能的大小是不同的，重力勢能的大小也是不同的，如果比較兩個物體的機械能、動能和勢能，一定要選取同一參考系，否則，得出的結(jié)果是不一樣的。

也有很多教師對以上分析提出質(zhì)疑，認為上面的結(jié)果違反了愛因斯坦的相對論原理，即在慣性參考系中，所有物理規(guī)律是一樣的，不會隨著參考系的改變而產(chǎn)生不同的結(jié)果。其實，這是對相對論原理的誤解，在慣性參考系中物理規(guī)律相同指的是物理公式的表達形式是一樣的，就像表1中所示，無論選擇地面為參考系還是選擇其他平面為參考系，動能和勢能的表達式并沒有發(fā)生本質(zhì)的改變，其內(nèi)在形式還是保持了原來的一致性。

若有兩個長均為L0的金屬棒，相互垂直放置在傳輸帶上，金屬棒和傳輸帶一起以速度v向右做勻速直線運動，俯視圖如圖4所示。

若以傳輸帶為參考系，金屬棒相對于傳輸帶靜止不動，其靜止長度均為L0，A和B金屬棒長度相等;若以地面為參考系，金屬棒相對于地面向右做勻速直線運動，根據(jù)相對論可知，在運動方向上，相對長度會變短，即A金屬棒的長度不變，B金屬棒的長度會變短，A金屬棒的相對長度比B金屬棒的相對長度大，如表2所示。

通過以上分析可知，選取不同的參考系，相同的兩根金屬棒的長度是不同的，比較兩個物體的相對長度，還是要選取相同的參考平面。這再次證明了衛(wèi)星機械能的相對性、重力勢能的相對性與相對論并不矛盾，比較不同衛(wèi)星機械能大小時，選取不同的參考平面，其結(jié)果是不同的。

4? ? 結(jié)束語

比較衛(wèi)星機械能大小的問題，是高考中的高頻考點，各省考查的主要是單顆衛(wèi)星變軌時機械能大小的變化。對于多個衛(wèi)星機械能大小的比較雖然暫時還沒考過，但是，選擇無窮遠處為零勢能平面的高考題已經(jīng)多次出現(xiàn)。通過本文對重力勢能的深度分析，可以得出重要結(jié)論，那就是若比較兩顆衛(wèi)星勢能大小關(guān)系，根據(jù)衛(wèi)星實際飛行的高度，只有選擇無窮遠處為參考平面才是正確的分析方法。希望本文給還有困惑的一線教師提供一個思路，提高自己對動能、勢能和機械能的認識，真正做到用物理思維去探究物理難題，真正做到對學(xué)科的深度學(xué)習(xí)。

參考文獻：

[1]李書.分析衛(wèi)星速度變化的兩條途徑[J].物理教師，2000，21（05）：42.

[2]王文.淺談-G（Mm）/r和mgh的區(qū)別及聯(lián)系[J].中學(xué)物理教學(xué)參考，2014，43（05）：16-17.

（欄目編輯? ? 羅琬華）