相對論原理下質(zhì)心系的應(yīng)用

李魯淼

摘? ?要：在經(jīng)典力學(xué)中，研究質(zhì)點(diǎn)組的問題時(shí)，為了簡化問題的研究，往往會(huì)選擇質(zhì)心參考系，尤其是孤立的質(zhì)點(diǎn)組就更為方便了。在實(shí)驗(yàn)系中質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)能為各質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心系的動(dòng)能與質(zhì)心動(dòng)能之和（柯西尼定理）;而在質(zhì)心系中質(zhì)點(diǎn)組的總動(dòng)能即為各質(zhì)點(diǎn)相對于質(zhì)心系的動(dòng)能，孤立質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心的動(dòng)能不參與作用。在近代高能物理中為了研究微觀粒子的結(jié)構(gòu)和相互作用以及反應(yīng)機(jī)制，需要使用加速器把粒子加速到很高的能量去撞擊靜止靶中的粒子，以觀測反應(yīng)的結(jié)果，與理論互相印證。然而，在實(shí)驗(yàn)室參考系中參與粒子間的反應(yīng)，真正有用的能量是高能粒子與靶粒子之間的相對動(dòng)能，也就是質(zhì)點(diǎn)組在質(zhì)心系中的動(dòng)能，亦為資用能。在高能物理學(xué)中，粒子遵循相對論原理，下面就在相對論原理下對質(zhì)點(diǎn)組的問題進(jìn)行研究。

關(guān)鍵詞：質(zhì)心系;資用能;相對論

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? 文章編號：1003-6148（2021）8-0058-3

1? ? 相對論下質(zhì)點(diǎn)組在質(zhì)心系中的總動(dòng)量、總能量、總資用能

以兩微觀粒子碰撞為例，靜止質(zhì)量分別為m1，m2的兩個(gè)微觀粒子，以速度v1，v2發(fā)生對心碰撞，兩粒子質(zhì)心的速度：

兩粒子在質(zhì)心系中的速度分別為：

在質(zhì)心系中的總動(dòng)量：

所以，在質(zhì)心系中兩粒子的總動(dòng)量仍為零。

兩粒子在質(zhì)心系中的總能量：

兩粒子在質(zhì)心系中的資用能：

這些規(guī)律也可以推廣至多個(gè)微觀粒子之間的相互作用。有了以上的結(jié)論就可以很方便地分析微觀粒子之間以及光子與微觀粒子之間相互作用的關(guān)系。

2? ? 從三個(gè)方面的問題闡述質(zhì)心系在相對論中的妙用

2.1? ? 為什么高能物理中粒子都采用對撞的方式來釋放高能量

兩個(gè)相同質(zhì)量的粒子，靜止質(zhì)量都為m0，若將其中一粒子通過粒子加速器加速到能量為E，與另一靜止的粒子發(fā)生碰撞，可以釋放出來的最大能量對應(yīng)的狀態(tài)是兩粒子碰后在質(zhì)心系中無運(yùn)動(dòng)。

將m1=m0， m2=m0， β1=β， β2=0，代入（2）（3）兩式得：

能釋放的最大能量（資用能）為：

若采用對撞方式，β1=-β2=β，v1c=v2c=βc

碰撞可以釋放出來的最大能量也是碰后粒子在質(zhì)心系中無運(yùn)動(dòng)。

以歐洲核子研究中心的大型強(qiáng)子對撞機(jī)為例，質(zhì)子可以被加速至3.5萬億電子伏特，成功相撞后，釋放出來的最大資用能，采用對撞方式是第一種碰撞方式的266倍。所以，采用對撞方式能釋放出更高的能量，就能產(chǎn)生更多的新粒子。

2.2? ? 兩體反應(yīng)的閾能

在高能物理中，經(jīng)常通過碰撞釋放的能量來產(chǎn)生新的粒子，從而建立新的物理模型。最著名的一次就是2012年7月歐洲核子研究中心通過的能量高達(dá)8 TeV強(qiáng)子對撞，探尋到希格斯粒子，幫助科學(xué)家建立新的粒子物理的標(biāo)準(zhǔn)模型。

利用加速器使A1，A2兩粒子加速對撞，以產(chǎn)生某個(gè)或某些靜止質(zhì)量為M0的新粒子A3，A1+A2→A1+A2+A3，這是一類典型的粒子反應(yīng)。當(dāng)對撞后在質(zhì)心系中所有產(chǎn)物都靜止時(shí)，對應(yīng)的A1，A2所需的能量稱為反應(yīng)的閾能。

高能入射質(zhì)子轟擊靜止的質(zhì)子（靶質(zhì)子），可產(chǎn)生反質(zhì)子p，反應(yīng)式為：p+p→p+p+p+p，求能產(chǎn)生反質(zhì)子時(shí)入射質(zhì)子的閾能。

在質(zhì)心系中：

資用能恰好為產(chǎn)生兩質(zhì)子的靜能：

所以，利用質(zhì)心系的質(zhì)點(diǎn)組的最小能量是非常容易得到系統(tǒng)反應(yīng)的閾能。

2.3? ? 散射角分布的問題

在粒子反應(yīng)的過程中，末態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)方向的角分布是實(shí)驗(yàn)中一個(gè)重要的觀測量（圖1）。在實(shí)驗(yàn)系中遵循動(dòng)量、能量守恒，但方程求解一般較為繁瑣。如果能先轉(zhuǎn)換到質(zhì)心系，反應(yīng)后末態(tài)粒子運(yùn)動(dòng)方向角分布是各向同性的，再利用速度或動(dòng)量洛倫茲變換轉(zhuǎn)換到實(shí)驗(yàn)系就會(huì)比較方便。

質(zhì)子的靜止質(zhì)量為m0，靜能量為E0，一個(gè)質(zhì)子A以3E0的總能量沿著x軸方向撞向另一個(gè)靜止的質(zhì)子B，分析碰撞后質(zhì)子A動(dòng)量可能的方向。

質(zhì)子A的動(dòng)量和速度分別為：

質(zhì)心系中A，B質(zhì)子的速度和動(dòng)量分別為：

若碰撞為彈性碰撞，作用后在質(zhì)心系中：pAcx=pAccosθ，pAcy=pAcsinθ，如圖1所示，是以pAc為半徑的球分布。再利用洛倫茲動(dòng)量變換公式將兩個(gè)方向的動(dòng)量進(jìn)行轉(zhuǎn)換：

在實(shí)驗(yàn)系中x和y方向的動(dòng)量分別為：

按照vc小于、等于、大于vAc應(yīng)分三種情形：

（1）vc

（2）vc=vAc情形如圖3所示，橢球在原點(diǎn)與yz平面相切，所有粒子都在朝前方2π的立體角內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

（3）vc>vAc情形如圖4所示，原點(diǎn)在橢球之外，從原點(diǎn)作橢球的切線，與x軸的夾角θmax是上限，全部粒子集中在以θmax為半頂角的圓錐形立體角內(nèi)運(yùn)動(dòng)。

關(guān)于散射問題的另一個(gè)重要的現(xiàn)象就是康普頓效應(yīng)，一般都在實(shí)驗(yàn)系中研究，由能量守恒和動(dòng)量守恒得到康普頓散射公式：Δλ=λ-λ0=1-cosφ），其中Δλ是散射光與入射光波長的變化量，m0為靜止電子的質(zhì)量，φ為實(shí)驗(yàn)系中散射光子與入射光子的夾角，稱為散射角。

下面我們同樣在質(zhì)心系中進(jìn)行研究，設(shè)入射光子的能量E=hν0，靜止電子質(zhì)量仍設(shè)為m0，質(zhì)心的速度v由光速不變性原理在質(zhì)心系中光子的速度仍為c，根據(jù)相對論中多普勒效應(yīng)，光子在質(zhì)心系中的頻率ν1?？灯疹D效應(yīng)在質(zhì)心系中為彈性碰撞，碰后光子和電子的動(dòng)量、能量大小不改變，方向相反。設(shè)碰后出射光子在實(shí)驗(yàn)系中與x軸夾角為φ，如圖5所示，利用多普勒效應(yīng)將出射光子由質(zhì)心系中轉(zhuǎn)換到實(shí)驗(yàn)系，出射光子在實(shí)驗(yàn)系中頻率為：

整理得：

綜上所述，質(zhì)心系不僅在經(jīng)典力學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，在相對論原理下同樣也可以讓各種問題處理得很巧妙，從而回避一些復(fù)雜的能量守恒、動(dòng)量守恒的方程計(jì)算。從更高的層面講，我們平時(shí)看待物理現(xiàn)象的時(shí)候，一定要多角度、多維度地看問題，打破常規(guī)束縛，解放固化思維，尋找新的突破。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2004.

（欄目編輯? ? 羅琬華）