一類復(fù)對稱線性系統(tǒng)的雙參數(shù)對稱塊三角分裂迭代法

袁 翔

(溫州大學(xué)數(shù)理學(xué)院，浙江溫州 325035)

本文主要考慮復(fù)對稱線性系統(tǒng)問題

其中A=W+iT是一個非奇異復(fù)對稱矩陣，即A∈Cn×n，W和T都是n階實對稱矩陣，x,b∈Cn×1，為虛數(shù)單位.這種形式的復(fù)對稱線性系統(tǒng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)計算和工程應(yīng)用中的許多實際問題，例如電磁學(xué)（麥斯威爾方程）、波傳播（Helmholtz 方程）、量子力學(xué)（Schrodinger方程）、分子散射、結(jié)構(gòu)動力學(xué)（機械系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析）、電路分析和量子色動力學(xué)（QCD框架）擴散光學(xué)層析、高速列車振動分析等，復(fù)對稱系統(tǒng)也可能從某些移位和逆特征值算法的使用中產(chǎn)生，關(guān)于更多細節(jié)可以參見文獻[1-5].

由于復(fù)對稱線性系統(tǒng)的普遍存在和意義，近年來學(xué)者們對研究問題（1）的興趣激增，針對這類線性系統(tǒng)提出了許多求解技術(shù).基于（1）式中的A的厄爾米特和斜厄爾米特（Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,HSS）分裂：A=H+S，其中，Bai 等人在文獻[6]中最早建立HSS 迭代法，此處矩陣右上角的H 表示矩陣A的共軛轉(zhuǎn)置（下文對某個向量和矩陣同理），再記表示對任意的矩陣B和C有B?C為對稱正定矩陣（B?C為對稱半正定矩陣）.然而在HSS 迭代法的每個步驟中，都需要求解一個偏移的斜厄爾米特線性系統(tǒng)，為了克服這一困難，Bai 等人在文獻[7]中巧妙地設(shè)計了一種修正的HSS（Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,MHSS）迭代法；并在文獻[8]中提出了預(yù)處理MHSS（Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,PMHSS）迭代法求解線性系統(tǒng)（1），并證明了此方法是無條件收斂的.PMHSS 迭代法的優(yōu)良性，引起了研究者廣泛關(guān)注，并得到了一些改進和推廣的版本.Dehghan 等人[9]通過引入一個附加參數(shù)，提出了廣義的PMHSS（Generalied Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,GPMHSS）迭代法.之后Li 等人[10]提出了一種不平衡的PMHSS（Lopsided Preconditioned Modified Hermitian and Skew-Hermitian Splitting,LPMHSS）迭代法，指出當系數(shù)矩陣的實部為主導(dǎo)時，其性能優(yōu)于PMHSS迭代法.除上述方法之外，HSS 和MHSS 方法還有其他很有意義的變體，詳見文獻[11-12].

復(fù)對稱線性系統(tǒng)（1）常被看作一種特殊的廣義鞍點問題，事實上，如果令x=x1+ix2和b=b1+ib2，則復(fù)對稱系統(tǒng)（1）可轉(zhuǎn)化為下列塊2×2 實值結(jié)構(gòu)化線性系統(tǒng)：

其中 Ξ ∈R2n×2n是非對稱不定的，且x1,x2,b1,b2∈Rn×1.對于像系統(tǒng)（2）這種鞍點問題，Bai等人在文獻[13]中建立了廣義逐次超松弛（Generalized Successive Overrelaxation,GSOR）迭代法.之后，Bai 等人在文獻[14]中提出了參數(shù)化非精確Uzawa（Parameterized Inexact Uzawa,PIU）迭代法，這在一定基礎(chǔ)上推廣了GSOR 迭代法.后來，Salkuyeh 等人基于文獻[13]中的方法在文獻[15]中定義了求解線性系統(tǒng)（2）的GSOR 迭代法.為了進一步提高GSOR 迭代法的效率，Hezeari等人[16]構(gòu)造出預(yù)處理GSOR（Preconditioned Generalized Successive Overrelaxation,PGSOR）迭代法，得出該方法的最優(yōu)收斂因子小于GSOR 迭代法的最優(yōu)收斂因子.Li 等人[17]推導(dǎo)出一種新的對稱塊三角分裂（Symmetric Block Triangular Splitting,SBTS）迭代法.隨后，Zhang 等人[2]提出了預(yù)處理SBTS（Preconditioned Symmetric Block Triangular Splitting,PSBTS）迭代法，證明了在恰當?shù)臈l件下，PSBTS 迭代優(yōu)于SBTS 迭代法.

為了有效解決復(fù)對稱系統(tǒng)（1）或者塊2×2 實值結(jié)構(gòu)化線性系統(tǒng)（2），文獻[2]通過添加預(yù)處理子先預(yù)處理原系統(tǒng)，然后再按照文獻[17]中SBTS 迭代法進行分裂，得到含兩個參數(shù)的迭代法，即PSBTS 迭代法，并對其進行譜分析，最后用數(shù)值實驗驗證了PSBTS 較SBTS 和PGSOR 迭代法更快.本文受這種雙參數(shù)加速迭代算法的收斂性態(tài)的啟示，在文獻[17]的SBTS 迭代法基礎(chǔ)上通過增加一個參數(shù)，建立含雙參數(shù)的SBTS（Double-Parameter Symmetric Block Triangular Splitting,DSBTS）迭代法，從而更有效地解決線性系統(tǒng)問題（1）或（2）.

1 DSBTS 迭代法

考慮W? 0，，當且僅當W與T的零空間不相交，即，Ker(W) ∩Ker(T)={0},其中Ker(?)表示相應(yīng)矩陣的零空間（下同），線性系統(tǒng)（2）中的系數(shù)矩陣Ξ 是非奇異的.對系數(shù)矩陣Ξ 做如下分裂：

其中α,β∈ (0,∞).利用分裂（3）式和（4）式可以構(gòu)造出 DSBTS 迭代方法，即令為給定的初始向量，對于k= 0,1,2,…，有

因為W ? 0,α,β∈ (0,∞)，所以（6）式中的四個子線性系統(tǒng)都是對稱正定的.因此數(shù)值實驗中可用喬里斯基（Cholesky）分解并采用共軛梯度法解決，以此加快算法運行速度.

2 DSBTS 迭代法的收斂性分析

以下討論DSBTS 迭代法收斂的收斂理論和使迭代矩陣的譜半徑最小的仿真參數(shù)α*和β*的選擇方式（可用數(shù)值實驗?zāi)M取值），下文中的σ(?)表示某矩陣的譜集，ρ(?)表示某矩陣的譜半徑.

引理1[16]已知n階實矩陣W? 0，T對稱，則矩陣S=W?1T的所有特征值都是實的，且S相似于對角矩陣；若，則S=W?1T的所有特征值都是非負的.

由引理1，推導(dǎo)出如下關(guān)于DSBTS 迭代法的迭代矩陣的特征值分布情況和其收斂性分析.

注2 由（7）式和（12）式知，當α=β時，得到SBTS 迭代法的收斂范圍

和相應(yīng)的迭代矩陣的譜半徑

其中假設(shè)Γα為SBTS 迭代法的迭代矩陣.

由（11）―（12）式、（16）―（17）式知，要比較DSBTS 迭代法與SBTS 迭代法的收斂速度，就要比較二者的收斂因子即迭代矩陣的譜半徑大小.由（12）式和（17）式知只要選取合適的α和β，使得在（11）式和（16）式中選取的α和β滿足，也即滿足<1且α≤β或者1<α且β≤α?xí)r，再在此范圍內(nèi)用Matlab 模擬選取最合適的仿真參數(shù)α*和β*，便有.因此，由“迭代矩陣的譜半徑越小，迭代法收斂得越快”之原理得DSBTS 迭代法較SBTS 迭代法收斂得更快.

注3 當α=β時，ρ(Γα,β) =ρ(Γα)，即DSBTS 迭代法退化成SBTS 迭代法，也即DSBTS迭代法是SBTS 迭代法的推廣形式之一.

從上面的理論分析可知，前者相對于后者，擴大了迭代法的收斂范圍，這一點可以從（11）式、（16）式以及注1 中的（15）式得到證明.通過注2 知當選取恰當?shù)膮?shù)時，后者還縮小了迭代矩陣的譜半徑.由（12）式知當μmax=0時，只要使取自于收斂范圍（11）式里的α和β滿足(α? 1)(β? 1)=0就可使得DSBTS 迭代法擁有最快的收斂速度，即此時ρ(Γα,β)=0.下述，不失一般性，我們都假設(shè)μmax≠ 0.

3 數(shù)值實驗

通過一些數(shù)值實驗來說明DSBTS 迭代法求解復(fù)對稱系統(tǒng)（1）的有效性，所有數(shù)值實驗將利用Matlab（R2014a）解決.

由此得到復(fù)對稱線性系統(tǒng)（18）式.

表1 是關(guān)于DSBTS、SBTS、GSOR 和MHSS 迭代法的實驗參數(shù)選取，分別來自于（11）式、文[17]、文[13]和文[7].

表1 DSBTS、SBTS、GSOR 和MHSS 的實驗參數(shù)選取

表2 是DSBTS、SBTS、GSOR 和MHSS 的實驗結(jié)果.

表2 DSBTS、SBTS、GSOR 和MHSS 的實驗結(jié)果

通過表2 的實驗結(jié)果，可以看出DSBTS 迭代法解決算例1 較其他三種方法來說具有更快的收斂速度和更強的穩(wěn)定性.