熱-力耦合作用下花崗巖蠕變損傷模型

劉 凱， 余宏波， 王 焱， 譚維佳

(1.青島地質(zhì)工程勘察院(青島地質(zhì)勘查開(kāi)發(fā)局)， 青島 266000; 2.青島地礦巖土工程有限公司， 青島 266000； 3.天津大學(xué)地球系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 天津 300072； 4.長(zhǎng)安大學(xué)地質(zhì)工程與測(cè)繪學(xué)院, 西安 710054)

巖石是一種非性質(zhì)非均質(zhì)的復(fù)雜地質(zhì)材料，在外界應(yīng)力、溫度、風(fēng)化、水等因素的作用下，材料內(nèi)部損傷不斷累積，從而導(dǎo)致宏觀力學(xué)性能的劣化，對(duì)巖體工程施工及運(yùn)營(yíng)造成潛在威脅[1-2]。隨著地下資源的不斷開(kāi)發(fā)利用，地下巖體開(kāi)挖和地?zé)衢_(kāi)發(fā)等人類(lèi)活動(dòng)愈發(fā)頻繁，深部巖體處于熱-力耦合作用下，蠕變變形效應(yīng)十分顯著，因此研究熱-力耦合作用下巖石蠕變力學(xué)特性、建立全面可行的本構(gòu)模型具有十分重要的意義[3-4]。

中外對(duì)于溫度效應(yīng)下巖石蠕變本構(gòu)關(guān)系的研究已有部分成果，Miura等[5]提出一種模擬水、溫度和應(yīng)力對(duì)巖石蠕變影響的微觀力學(xué)模型；Günther等[6]探究鹽巖穩(wěn)態(tài)蠕變速率與溫度及應(yīng)力之間的聯(lián)系，構(gòu)建了不同溫度、應(yīng)力條件下的鹽巖蠕變模型；茅獻(xiàn)彪等[7]開(kāi)展高溫狀態(tài)下泥巖單軸蠕變?cè)囼?yàn)，建立了考慮溫度影響的泥巖蠕變經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?；王艷春等[8]提出溫度-應(yīng)力-化學(xué)耦合作用的頁(yè)巖蠕變模型；王春萍等[9]考慮花崗巖流變參數(shù)在溫度作用下的非定常性，建立考慮溫度影響的改進(jìn)西原模型；李暢等[10]進(jìn)行紅層泥巖高溫后蠕變?cè)囼?yàn)，得到溫度對(duì)蠕變參數(shù)的影響規(guī)律，從而改進(jìn)Burgers模型；沈朝輝等[11]建立了花崗巖蠕變參數(shù)與溫度之間的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，在分?jǐn)?shù)階蠕變模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)；王永巖等[12]在傳統(tǒng)西原模型的基礎(chǔ)上，引入了某個(gè)考慮溫度、圍壓影響的損傷變量，得到考慮溫度-圍壓共同作用的西原損傷模型。

花崗巖作為一種高強(qiáng)度、低滲透性的脆性巖石，被認(rèn)為是高放射性廢料處置庫(kù)的理想圍巖，但深部花崗巖在熱-力耦合作用下，蠕變變形較明顯[13]，因此研究花崗巖在溫度效應(yīng)和荷載時(shí)間下的蠕變本構(gòu)關(guān)系具有重要意義?，F(xiàn)基于三峽細(xì)粒花崗巖20～300 ℃蠕變?cè)囼?yàn)，分析瞬時(shí)應(yīng)變、蠕變應(yīng)變率與溫度之間的關(guān)系，定義瞬時(shí)、蠕變熱損傷變量。采用Heard指數(shù)型模型描述花崗巖穩(wěn)態(tài)蠕變行為，構(gòu)建廣義Kelvin熱損傷模型和黏塑性熱損傷元件，串聯(lián)后得到一個(gè)新的熱-力耦合作用下的花崗巖蠕變損傷模型。給出模型參數(shù)求解方法，分析瞬時(shí)、蠕變熱損傷變量變化規(guī)律，辨識(shí)三種花崗巖的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證所建模型的合理性和適用性。以期為熱-力耦合作用下花崗巖蠕變行為模擬及深部地下工程、高放射性廢料處置工程長(zhǎng)期穩(wěn)定性研究提供一定參考。

1 花崗巖蠕變?cè)囼?yàn)

1.1 試驗(yàn)概況

劉泉聲等[14]開(kāi)展不同溫度下花崗巖單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)。花崗巖試樣采自長(zhǎng)江三峽壩區(qū)，呈灰黑色，細(xì)粒結(jié)構(gòu)，主要成分有石英、長(zhǎng)石、角閃石、黑云母及少量膠結(jié)物。將新鮮巖樣運(yùn)回試驗(yàn)室加工成直徑為50 mm，高度為100 mm的圓柱體，應(yīng)力加載前，首先以2 ℃/min的速率提至目標(biāo)溫度，再保持目標(biāo)溫度4 h后施加恒定軸向荷載。溫度條件分為20、60、80、100、200和300 ℃，軸向應(yīng)力均為120 MPa，蠕變?cè)囼?yàn)曲線如圖1所示，其中20 ℃和100 ℃試驗(yàn)時(shí)間分別為8 300 h和4 200 h，其余溫度條件下的試驗(yàn)時(shí)間約為700 h，為便于對(duì)比觀察，圖1時(shí)間軸最大值設(shè)為2 000 h。

圖1 不同溫度下花崗巖蠕變曲線

從圖1可看出，花崗巖在加載瞬間表現(xiàn)出瞬時(shí)彈性變形，接著進(jìn)入衰減蠕變階段，該階段巖石應(yīng)變率遞減，當(dāng)應(yīng)變率遞減到一定程度時(shí)，巖石進(jìn)入穩(wěn)定蠕變階段，此時(shí)應(yīng)變率保持基本穩(wěn)定。當(dāng)溫度T=300 ℃ 時(shí)，花崗巖還表現(xiàn)出一定的加速蠕變行為。

1.2 結(jié)果分析

圖2為不同溫度下花崗巖的瞬時(shí)應(yīng)變曲線，圖3為不同溫度下花崗巖蠕變應(yīng)變率曲線，為使得應(yīng)變率數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)比更加直觀，時(shí)間橫軸最大值設(shè)為650 h。

圖3 不同溫度下蠕變應(yīng)變率隨時(shí)間變化曲線

由圖2可看出，花崗巖在處于同一應(yīng)力條件時(shí)，隨著溫度的提升，瞬時(shí)應(yīng)變值近線性遞增。由于瞬時(shí)彈性模量與瞬時(shí)應(yīng)變呈反比，可發(fā)現(xiàn)花崗巖瞬時(shí)彈性模量隨著溫度提升而呈遞減趨勢(shì)，溫度的升高導(dǎo)致花崗巖瞬時(shí)彈性模量發(fā)生瞬時(shí)損傷。

圖2 不同溫度下花崗巖的瞬時(shí)應(yīng)變曲線

由圖3可看出，在同一溫度條件下，花崗巖蠕變應(yīng)變率先遞減，接著在某一恒定水平附近波動(dòng)，這反映出衰減蠕變到穩(wěn)定蠕變的流變過(guò)程?；◢弾r穩(wěn)態(tài)蠕變速率大致隨著溫度提升而呈遞增趨勢(shì)，這體現(xiàn)出了溫度升高對(duì)蠕變損傷發(fā)展的促進(jìn)作用。

綜合圖2、圖3可發(fā)現(xiàn)，溫度對(duì)花崗巖瞬時(shí)彈性模量造成瞬時(shí)損傷并促進(jìn)花崗巖后續(xù)蠕變損傷過(guò)程。

2 熱-力耦合作用下花崗巖蠕變損傷模型

2.1 模型結(jié)構(gòu)建立

巖石是一種同時(shí)包含彈性、黏彈性、黏性和黏塑性變形行為的復(fù)雜材料[1]，蠕變本構(gòu)模型需同時(shí)考慮彈性、黏彈性、黏性和黏塑性應(yīng)變。Cvisc模型(圖4)是一種元件模型，包含彈性體、Kelvin體、牛頓體和黏塑性元件，分別對(duì)應(yīng)圖4模型中的第1、2、3、4部分，鑒于Cvisc模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)練且可同時(shí)描述巖石黏彈塑性變形，故在Cvisc模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，以期得到能反映溫度效應(yīng)的花崗巖蠕變本構(gòu)模型。

E1為第1部分的瞬時(shí)彈性模量；E2和η2分別為第2部分的彈性模量和黏性系數(shù)；η3為第3部分的黏性系數(shù)；η4為第4部分的黏性系數(shù)；σ為應(yīng)力；σS為長(zhǎng)期強(qiáng)度

根據(jù)巖石黏彈塑性應(yīng)變特點(diǎn)，結(jié)合圖4中模型結(jié)構(gòu)，得到巖石應(yīng)變方程：

ε=ε1+ε2+ε3+ε4

(1)

式(1)中：ε1、ε2、ε3和ε4分別對(duì)應(yīng)圖4模型中的第1、2、3、4部分的應(yīng)變；ε為模型總應(yīng)變。

單軸條件下，Cvisc模型本構(gòu)方程[2]為

(2)

式(2)中：t為時(shí)間。

2.2 Heard穩(wěn)態(tài)蠕變模型

為研究花崗巖穩(wěn)態(tài)蠕變速率隨溫度的變化規(guī)律，選擇圖3中T=300 ℃下51 h51 h的蠕變速率點(diǎn)，取平均值后得到花崗巖穩(wěn)態(tài)蠕變速率隨溫度的變化曲線，如圖5所示。

圖5 穩(wěn)態(tài)蠕變速率隨溫度的變化曲線

由圖5可看出，穩(wěn)態(tài)蠕變速率與溫度呈指數(shù)函數(shù)遞增規(guī)律。Heard模型[15]是一種反映巖石穩(wěn)態(tài)蠕變速率隨溫度變化規(guī)律的指數(shù)型本構(gòu)模型，鑒于該模型能從某種意義上表征穩(wěn)態(tài)蠕變速率隨溫度的指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律，本文引入Heard模型，其應(yīng)變率本構(gòu)方程為

(3)

式(3)中：εH為穩(wěn)態(tài)蠕變速率；Q為激活能；R為摩爾氣體常量；R=8.314 J/(mol·K)；σ為應(yīng)力；T為熱力學(xué)溫度；M和N為流變常數(shù)。

由于巖石穩(wěn)定蠕變階段以黏性變形為主[3]，故利用Heard模型替換Cvisc模型第3部分牛頓體，對(duì)式(3)進(jìn)行積分得到ε3為

(4)

式(4)即為Heard穩(wěn)態(tài)蠕變模型本構(gòu)方程。

2.3 損傷變量的定義

由于溫度同時(shí)影響花崗巖的瞬時(shí)損傷和蠕變損傷，分別建立瞬時(shí)、蠕變熱損傷變量來(lái)描述花崗巖損傷發(fā)展過(guò)程。

(1)瞬時(shí)熱損傷變量D1。依據(jù)損傷力學(xué)理論，參考文獻(xiàn)[16]，定義瞬時(shí)熱損傷變量D1為

(5)

式(5)中：E(T)為不同溫度下的瞬時(shí)彈性模量；E0為常溫下的瞬時(shí)彈性模量。

(2)蠕變熱損傷變量D2。定義蠕變熱損傷變量時(shí)，本研究以某一恒定應(yīng)力或恒定溫度條件為前提，考慮溫度對(duì)蠕變熱損傷相關(guān)參數(shù)的影響?？ㄇ≈Z夫[17]認(rèn)為在一維應(yīng)力狀態(tài)下，蠕變條件下的損傷發(fā)展方程為

(6)

式(6)中：D2為蠕變熱損傷變量；A和ν為與溫度、應(yīng)力有關(guān)材料參數(shù)。

積分式(6)得到蠕變損傷破壞時(shí)間te為

te=[A(ν+1)σν]-1

(7)

聯(lián)立式(6)和式(7)可得蠕變熱損傷變量D2的演化規(guī)律：

(8)

圖6 不同β值下D2與的關(guān)系曲線

由圖6可看出，β值越小，D2接近1時(shí)的損傷曲線斜率越高，對(duì)應(yīng)巖石加速蠕變階段速率越高，此時(shí)巖石趨于表現(xiàn)出脆性破壞特征；相反地，β值越大，D2接近1時(shí)的損傷曲線斜率越小，對(duì)應(yīng)巖石加速蠕變階段速率越低，此時(shí)巖石趨于表現(xiàn)出延性破壞特征，由此認(rèn)為β可從一定程度上反映巖石蠕變破壞特征。

2.4 熱損傷演化

傳統(tǒng)Cvisc模型中第1、2部分分別為彈性體和Kelvin體，分別可描述巖石瞬時(shí)彈性和衰減蠕變行為，兩者串聯(lián)后即為廣義Kelvin模型。依據(jù)Lemaitre[18]效應(yīng)變?cè)?，分別通過(guò)瞬時(shí)熱損傷變量D1和蠕變熱損傷變量D2對(duì)Cvisc模型中第1、2部分進(jìn)行損傷演化，得到廣義Kelvin熱損傷模型本構(gòu)關(guān)系為

(9)

式(9)即為廣義Kelvin熱損傷模型本構(gòu)方程。

當(dāng)巖石應(yīng)力超過(guò)長(zhǎng)期強(qiáng)度后，Cvisc模型第4部分發(fā)揮作用，對(duì)其損傷演化后得到黏塑性熱損傷元件本構(gòu)關(guān)系為

(10)

式(10)即為黏塑性熱損傷元件本構(gòu)方程。

由于Heard穩(wěn)態(tài)蠕變模型本構(gòu)方程中無(wú)彈性模量和黏性系數(shù)，且模型已包含了穩(wěn)態(tài)蠕變速率隨溫度的變化規(guī)律，故無(wú)需對(duì)Heard穩(wěn)態(tài)蠕變模型進(jìn)行損傷演化。

2.5 熱-力耦合作用下的花崗巖蠕變損傷模型

將Heard穩(wěn)態(tài)蠕變模型、廣義Kelvin熱損傷模型和黏塑性熱損傷元件串聯(lián)，參考Cvisc模型組合方式，得到新的考慮溫度影響的花崗巖蠕變本構(gòu)模型，其本構(gòu)方程為

(11)

式(11)即為本文熱-力耦合作用下的花崗巖蠕變損傷模型。

3 模型分析驗(yàn)證及參數(shù)求解

3.1 參數(shù)求取

3.1.1E1和D1

首先確定瞬時(shí)熱損傷變量D1，假設(shè)常溫20 ℃下的D1為0，巖石處于無(wú)損狀態(tài)，根據(jù)圖2中不同溫度下的瞬時(shí)應(yīng)變，基于Hooke定律得到不同溫度下的瞬時(shí)彈性模量E1，從而確定D1，不同溫度下的E1和D1如表1和圖7所示。

表1 不同溫度下的E1和D1

圖7 D1隨溫度變化曲線

根據(jù)表1和圖7可看出，瞬時(shí)熱損傷變量D1隨溫度升高而呈線性遞增趨勢(shì)，D1的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

D1(T)=0.000 9T+0.002 9

(12)

在式(12)中，當(dāng)D1=1時(shí)，T=1 108 ℃。說(shuō)明花崗巖在1 108 ℃下，達(dá)到瞬時(shí)完全損傷。徐小麗等[19]研究發(fā)現(xiàn)花崗巖在超過(guò)1 200 ℃的環(huán)境下，基本失去承載能力，此時(shí)花崗巖在外界瞬時(shí)荷載下便會(huì)瞬時(shí)破壞，由此可認(rèn)為此時(shí)花崗巖在受力瞬間的瞬時(shí)熱損傷變量D1為1，這與本文結(jié)論基本吻合，體現(xiàn)了式(12)的可行性。

3.1.2 Heard穩(wěn)態(tài)蠕變模型參數(shù)

圖5反映了花崗巖穩(wěn)態(tài)蠕變速率隨溫度的指數(shù)型變化規(guī)律，利用式(3)擬合圖5中的穩(wěn)態(tài)蠕變速率點(diǎn)，可得Heard穩(wěn)態(tài)蠕變模型參數(shù)如表2所示。

表2 Heard穩(wěn)態(tài)蠕變模型參數(shù)

3.1.3 其余模型參數(shù)

參數(shù)E1、D1、M、Q、N通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果已確定，剩余參數(shù)為E2、η2、η4、te與β。將不同溫度下已求取的參數(shù)E1、D1、M、Q、N代入式(11)，通過(guò)Origin軟件基于Levenberg-Marquardt算法求解E2、η2、η4、te與β，計(jì)算結(jié)果如表3所示。

表3 模型參數(shù)

3.2 模型擬合及蠕變熱損傷分析

為了驗(yàn)證本研究所建模型的辨識(shí)效果，根據(jù)已求解參數(shù)代入式(11)得到理論值，與圖1中三峽細(xì)?；◢弾r單軸壓縮蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較，得到理論值與試驗(yàn)值對(duì)比曲線，如圖8所示。

由圖8可看出，本文所建模型擬合精度較高，平均R2為0.990 3，能較為精準(zhǔn)識(shí)別不同溫度下花崗巖蠕變曲線。

圖8 擬合值與試驗(yàn)值對(duì)比曲線

參數(shù)te關(guān)系到巖石蠕變損傷破壞時(shí)長(zhǎng)，β可從一定程度上反映巖石蠕變破壞特征，為研究te、β隨溫度變化的規(guī)律，根據(jù)表3得到te、β與溫度的關(guān)系曲線，如圖9所示。

圖9 參數(shù)te、β與溫度的關(guān)系曲線

由圖9可看出，隨著溫度的提升，花崗巖的蠕變損傷破壞時(shí)間te遞減，β值遞增。結(jié)合2.3節(jié)中的分析，可認(rèn)為花崗巖在溫度逐漸提升的過(guò)程中，加速蠕變階段的損傷破壞特性逐漸從脆性向延性過(guò)渡轉(zhuǎn)變。te、β與溫度之間的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式為

(13)

將式(13)代入式(8)即可得D2的經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式，由此得到可同時(shí)反映隨溫度、荷載時(shí)間變化規(guī)律的蠕變熱損傷演化方程，基于此方程取不同溫度、時(shí)間點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算，得到蠕變熱損傷變量D2與溫度、時(shí)間的三維關(guān)系，如圖10所示。

圖10 蠕變熱損傷變量與溫度、時(shí)間的三維關(guān)系圖

由圖10可看出，當(dāng)巖石保持在同一溫度下，蠕變熱損傷變量D2隨著荷載時(shí)間增長(zhǎng)而不斷累積。當(dāng)巖石處于同一時(shí)刻，D2隨著溫度提升而逐漸增大。當(dāng)T=1 200 ℃，t=900 h時(shí)，D2=1；當(dāng)T=1 000 ℃，t=1 000 h時(shí)，D2=1，這說(shuō)明了巖石蠕變熱損傷的累積同時(shí)受溫度和荷載時(shí)間的影響，溫度和荷載時(shí)間均促進(jìn)蠕變損傷發(fā)展，溫度越高，巖石蠕變熱損傷累積越快。

3.3 模型適用性驗(yàn)證

本文中的模型基于不同溫度的花崗巖蠕變?cè)囼?yàn)而建，然而某一實(shí)際工程中花崗巖多處于溫差不大的應(yīng)力環(huán)境中，故還需通過(guò)同一溫度下不同加載應(yīng)力的花崗巖蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)擬合來(lái)驗(yàn)證模型適用性。引用文獻(xiàn)[20-21]中遼寧高德地區(qū)細(xì)?；◢弾r和新疆塔什庫(kù)爾地區(qū)中粒花崗巖相關(guān)蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)，依據(jù)本文所建模型及參數(shù)解析方法進(jìn)行擬合解析，得到擬合值與試驗(yàn)值對(duì)比曲線，如圖11所示。

圖11 擬合值與試驗(yàn)值對(duì)比曲線

由圖11可看出，本文中所建模型識(shí)別效果較好，擬合精度較高，平均R2分別為0.990 7和0.986 5，能較為準(zhǔn)確地描述花崗巖在不同溫度環(huán)境下的蠕變特性，這說(shuō)明本研究所建蠕變模型對(duì)于熱-力耦合作用下的花崗巖具有一定適用性。

4 結(jié)論

(1)溫度效應(yīng)下，花崗巖的熱損傷主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是溫度提升導(dǎo)致巖石發(fā)生瞬時(shí)熱損傷，二是溫度提升使后續(xù)蠕變熱損傷不斷累積。

(2)花崗巖穩(wěn)態(tài)蠕變速率與溫度呈指數(shù)遞增規(guī)律，采用Heard指數(shù)型模型描述花崗巖穩(wěn)態(tài)蠕變行為。定義瞬時(shí)、蠕變熱損傷變量，構(gòu)建廣義Kelvin熱損傷模型和黏塑性熱損傷元件。參考Cvisc模型結(jié)構(gòu)，得到一個(gè)新的熱-力耦合作用下的花崗巖蠕變損傷模型。給出參數(shù)解析方法，利用三峽細(xì)粒、高德細(xì)粒和塔什庫(kù)爾中?；◢弾r蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型合理性和適用性。

(3)β越小，巖石加速蠕變階段趨于表現(xiàn)出脆性破壞特征；β越大，巖石加速蠕變階段趨于表現(xiàn)出延性破壞特征。隨著溫度的提升，花崗巖的蠕變損傷破壞時(shí)間te遞減，β遞增，加速蠕變階段的損傷破壞特性逐漸從脆性向延性過(guò)渡轉(zhuǎn)變。