運(yùn)用GeoGebra軟件分析中學(xué)物理動(dòng)態(tài)問題
——以磁場中三類動(dòng)態(tài)問題為例

關(guān)健波 李志堅(jiān)

(1. 云南省昆明市第十四中學(xué)，云南 昆明 650106；2. 云南省昆明市教育科學(xué)研究院，云南 昆明 650106)

帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)是高中物理教學(xué)的重難點(diǎn)，也是高考的必考內(nèi)容，在高考中常以選擇題和壓軸題的形式進(jìn)行考查。這類問題的難點(diǎn)在于綜合考查知識(shí)且與平面幾何結(jié)合緊密，特別是涉及帶電粒子在磁場中軌跡的動(dòng)態(tài)問題，學(xué)生僅通過想象，很難找到幾何關(guān)系中的臨界點(diǎn)，無法建立正確的物理模型，導(dǎo)致考試中失分率較高。[1]

在傳統(tǒng)教學(xué)中，教師往往通過固定圓進(jìn)行演示，雖有一定的效果，但學(xué)生在考場中很難找到特定的固定圓，而且固定圓也不能很好地呈現(xiàn)幾何關(guān)系和臨界問題。GeoGebra軟件具有開源、免費(fèi)和跨平臺(tái)等諸多優(yōu)點(diǎn)，在中小學(xué)教學(xué)中得到越來越廣泛的應(yīng)用。[2]運(yùn)用GeoGebra軟件可以較好地模擬帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)，幫助學(xué)生找到幾何關(guān)系和臨界點(diǎn)，從而突破難點(diǎn)。筆者針對帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)問題，以案例的形式說明GeoGebra課件的制作原理、方法和使用。

1 粒子速度相同、入射位置不同——“平移圓”模型

大量同種粒子在垂直于磁場方向的同一平面內(nèi)，從同一直線上的不同位置以相同的速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場內(nèi)，各粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的半徑相同，只需要選取一特殊位置的運(yùn)動(dòng)軌跡，沿特定的直線平移該軌跡就可以得到其它粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到幾何關(guān)系和臨界點(diǎn)。

例1：如圖1所示,相距為2R的兩水平極板間有正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向如圖1所示。極板的右側(cè)有范圍足夠大、磁感應(yīng)強(qiáng)度也為B的勻強(qiáng)磁場，在邊界PQ上距下極板距離為R的M點(diǎn)放置足夠長的熒光屏MN，熒光屏與PQ夾角θ=60°。從一線狀發(fā)射裝置水平射出一束帶正電、比荷相同的粒子，所有粒子均能沿平行極板通過兩板間，其中沿極板正中央入射的粒子，恰能垂直打在熒光屏上，不計(jì)粒子重力及其相互作用。求：粒子在熒光屏上落點(diǎn)的范圍。

圖1

1.1 課件原理

大量比荷相同的粒子以相同的速度從速度選擇器中垂直于PQ的方向進(jìn)入PQ右邊的磁場，做半徑為2R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。經(jīng)分析，該圓心在虛線PQ上、速度選擇器下方2R的直線范圍內(nèi)。通過GeoGebra軟件可以畫出此段直線(圓心所在直線)，并使該軌跡在此線段上移動(dòng)，顯示出該軌跡與MN的交點(diǎn)。

1.2 課件制作

(1) 選擇“線段”工具，作出平行于x軸的線段AB代表上極板、線段CD代表下極板。其中，兩極板相距為4。

(2) 選擇“直線”工具，作出過B、D兩點(diǎn)的直線，并點(diǎn)擊右鍵在“屬性”中設(shè)置為虛線。

(3) 選擇“點(diǎn)”工具，在直線BD上D的下方1處選取M點(diǎn)，下方6處選取F點(diǎn)。

(4) 選擇“旋轉(zhuǎn)”工具，把點(diǎn)F繞M點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度，選擇“射線”工具，連接M、N得到射線MN。

(5) 選擇“角”工具，把∠FMN的角度標(biāo)出。

(6) 選擇“點(diǎn)”工具，在直線BD上D點(diǎn)下方2處取一個(gè)點(diǎn)E，再選擇“線段”工具，連接D、E兩點(diǎn)。

(7) 選擇“對象上的點(diǎn)”工具，在DE上選取點(diǎn)O，在輸入欄輸入circle(O，4)，作以O(shè)點(diǎn)為圓心、半徑為4的圓O。

(8) 選擇“交點(diǎn)”工具，作圓O與熒光屏的交點(diǎn)G。

(9) 點(diǎn)擊O點(diǎn)“啟動(dòng)動(dòng)畫”，即可看到圓O與熒光屏的交點(diǎn)經(jīng)過的區(qū)域，隱藏不需要的對象。

1.3 課件說明

該題涉及粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的邊界問題，核心依然是找圓心、定半徑。粒子沿邊界BD射出，形成半徑為2R的圓弧。選擇“啟動(dòng)動(dòng)畫”就可以看到軌跡圓與屏幕MN形成的交點(diǎn)痕跡(圖2)。

圖2

圖3

拖動(dòng)O點(diǎn)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)粒子從B點(diǎn)射出時(shí)，粒子在熒光屏上打到離M最近的點(diǎn)(圖3)；軌跡的圓心與G點(diǎn)在同一水平線上時(shí)，粒子在熒光屏上打到離M最遠(yuǎn)的點(diǎn)(圖4)；而最容易出錯(cuò)的地方是：有學(xué)生認(rèn)為粒子從D點(diǎn)射出時(shí)，在熒光屏上打到離M最遠(yuǎn)的點(diǎn)，其實(shí)不然(圖5)。通過動(dòng)畫把粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡分析清楚后，再結(jié)合數(shù)學(xué)關(guān)系，很容易得到正確答案。

圖4

圖5

2 粒子入射位置相同，速度大小相同、方向不同———“旋轉(zhuǎn)圓”模型

大量同種粒子在垂直于磁場方向的同一平面內(nèi)，從同一位置以不同方向、相同大小的速度進(jìn)入勻強(qiáng)磁場內(nèi)，各粒子的軌跡半徑相同，只需要選取一特殊位置的運(yùn)動(dòng)軌跡，沿特定的圓弧旋轉(zhuǎn)軌跡就可以得到其他粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，這樣就能夠找到幾何關(guān)系和臨界條件，得到粒子運(yùn)動(dòng)過程所滿足的規(guī)律。

圖6

圖7

2.1 課件原理

2.2 課件制作

(1) 選擇“線段”工具，作出水平線段MN，并選擇“點(diǎn)”工具在線段MN上選取一點(diǎn)O。

(2) 在輸入欄輸入B(6，2)作出B點(diǎn)，輸入C(6，-2)作出C點(diǎn)。

(3) 選擇“圓弧”工具，作出半徑為2的圓弧BC。

(4) 選擇“對象上的點(diǎn)”工具，在圓弧BC上取一點(diǎn)D，在輸入欄輸入circle(O，4)，并選擇“交點(diǎn)”工具，作出線段MN與圓弧BC的交點(diǎn)E。

(5) 選擇“圓弧”工具，作出圓弧OE。

(6) 點(diǎn)擊D點(diǎn)設(shè)置“啟動(dòng)動(dòng)畫”，即可看到軌跡圓所經(jīng)過的區(qū)域，隱藏不需要的對象(圖8)，點(diǎn)擊“追蹤”即可得到答案。

圖8

2.3 課件說明

該問題是帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的臨界問題，對學(xué)生的想象能力和思維能力都有較高要求。其重點(diǎn)是找到旋轉(zhuǎn)圓在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的幾個(gè)特殊位置，拖動(dòng)D點(diǎn)，選取幾個(gè)位置，如圖9中的初始位置、圖10中的特殊位置、圖11中的一般位置。設(shè)置D點(diǎn)的“啟動(dòng)動(dòng)畫”，通過軌跡圓的運(yùn)動(dòng)情況，可以幫助學(xué)生選出正確答案，再通過對軌跡圓進(jìn)行“追蹤”，可以得到答案(圖12)，大大降低了解題難度。

圖9

圖10

圖11

圖12

3 粒子入射位置相同，速度大小不同、方向相同——“縮放圓”模型

大量同種帶電粒子在垂直于磁場方向的同一平面內(nèi)，從同一位置以相同的方向、不同的速度大小進(jìn)入勻強(qiáng)磁場，各粒子的軌跡半徑不同，只需要選取一特殊位置的運(yùn)動(dòng)軌跡，沿特定的直線縮放半徑，就可以得到其他粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而找到幾何關(guān)系和臨界點(diǎn)。

圖13

例3：如圖13所示，在半徑為R的圓筒內(nèi)有大小為B的勻強(qiáng)磁場，質(zhì)量為m、電荷量為q的正離子在小孔S處，以一定的速度向著圓心射入，設(shè)相碰時(shí)電荷量和動(dòng)能均無損失，則此粒子速度為多大時(shí)才能在最短的時(shí)間內(nèi)從原孔射出？

3.1 課件原理

3.2 課件制作

(1) 選擇“直線”工具，作出水平直線AB，在輸入欄輸入(4，4)，點(diǎn)擊Enter鍵后，輸入circlet(O,4)，點(diǎn)擊Enter鍵，畫出圓O。

(2) 選擇“交點(diǎn)”工具，作出圓O與直線AB的交點(diǎn)C，選擇“對象上的點(diǎn)”在直線AB上選取D點(diǎn)，在輸入欄輸入circle(D,CD),作出圓D。選取“交點(diǎn)”標(biāo)出圓O與圓E的交點(diǎn)F點(diǎn)。選擇“線段”工具連接CD、OD、ED。

(3) 選擇“圓弧”工具，作出圓弧CE。

(4) 連續(xù)兩次選擇“軸對稱”工具，作出圓弧EF和圓弧FN。移動(dòng)O點(diǎn)可以看到：經(jīng)過2次可以射出S點(diǎn)。

(5) 選擇“線段”工具，連接ON，作出圓弧NG，即可演示經(jīng)過3次撞擊射出S點(diǎn)的情況。

(6) 重復(fù)步驟(5)，可以演示更多情況。

3.3 課件說明

拖動(dòng)D點(diǎn)，使帶電粒子剛好能射出C點(diǎn)，圖14、圖15分別呈現(xiàn)了粒子射出C點(diǎn)前與圓筒相撞2次、3次的情形。通過動(dòng)畫把粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡分析清楚，很容易得到正確答案。

圖14

圖15

圖16

圖17

4 結(jié)語

上述帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的三類問題對學(xué)生的想象力和思維能力有較高的要求，學(xué)習(xí)難度較大。GeoGebra軟件簡單易學(xué)，功能強(qiáng)大，給教師和學(xué)生帶來極大的便利。[3]運(yùn)用GeoGebra軟件中的動(dòng)畫功能和追蹤功能可以幫助學(xué)生進(jìn)行情景體驗(yàn)，達(dá)到理想的教學(xué)效果。