分析力學(xué)中變分原理闡述與應(yīng)用

薛皓翔

（蘭州大學(xué)核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，甘肅蘭州 730000）

0.引言

分析力學(xué)是一門以廣義坐標(biāo)為描述質(zhì)點(diǎn)系的變量，以虛位移原理和達(dá)朗貝爾原理為基礎(chǔ)，運(yùn)用數(shù)學(xué)分析問(wèn)題的角度出發(fā)，從而研究宏觀現(xiàn)象中的力學(xué)問(wèn)題。分析力學(xué)的基本內(nèi)容是闡述力學(xué)的普遍原理，由這些原理出發(fā)導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系的基本運(yùn)動(dòng)微分方程，并研究這些方程本身以及它們的積分方法。分析力學(xué)是經(jīng)典物理學(xué)的基礎(chǔ)之一，也是整個(gè)力學(xué)的基礎(chǔ)之一。它廣泛用于核結(jié)構(gòu)分析，航天力學(xué)以及各種動(dòng)力學(xué)分析的實(shí)際工程應(yīng)用中。作為其核心的變分法，透徹研究其分析問(wèn)題的機(jī)理也具有較高地實(shí)際意義。

1.變分原理

所謂變分法，通俗地講，即研究泛函極值的一種手段或者說(shuō)是方法，那么泛函又是函數(shù)的函數(shù)，更一般地說(shuō)，在我們分析力學(xué)中所研究的泛函（I）指的是一個(gè)函數(shù)的集合（M）映到實(shí)數(shù)（R）的一個(gè)映射[1]。

那么為了更加清晰明了地闡述或者說(shuō)表達(dá)我們所說(shuō)的變分原理，我們假定有兩個(gè)曲線

我們將D(x)中拿出一個(gè)系數(shù)ε，則可以寫為D(x)=εξ(x)，而我們將D(x)稱之為F(x)的變分，記為δF(x)，其中ε為一個(gè)常數(shù)，當(dāng)然通常在用變分法研究泛函極值的時(shí)候，ε通常為一個(gè)無(wú)窮小量，ξ(x)是自變量為x的任意函數(shù)，另外一曲線ξ(x)那么我們可以把ξ(x)看作是引起變分的一種擾動(dòng)，此時(shí)我們對(duì)泛函變分問(wèn)題的認(rèn)識(shí)可能會(huì)更加具體，

變成了一個(gè)只有一個(gè)常數(shù)ε的函數(shù)組，即我們之前所提到的函數(shù)的集合，為了更清晰的認(rèn)識(shí)這個(gè)問(wèn)題，我們以最速曲線為實(shí)例，可以更好的說(shuō)明我們想要表達(dá)的問(wèn)題。

考慮最速曲線的實(shí)例，那么-F(x)則為其他的各種可能性（這種可能性是任意的），這也就是我們之前所提到的函數(shù)組，此時(shí)ξ(x)需要滿足兩個(gè)條件[1]：

（1）ξ(x)在A、B兩點(diǎn)處為零，即δF(x)在A、B處為零，否則我們所討論的問(wèn)題將會(huì)改變，以至于接下來(lái)的討論將沒(méi)有意義；

（2）ξ(x)連續(xù)，其1、2階導(dǎo)數(shù)存在。

接下來(lái)我們來(lái)討論一下上式，其中的ε我們可以將其認(rèn)為成控制因子，只有在ε=0的，取得極值，而ε為無(wú)窮小量也正是變分法的精妙之處，而ξ(x)即為我們之前所提到的一種擾動(dòng)，它決定著趨于零的方式。

2.最速曲線

不同的ε對(duì)應(yīng)不同的曲線，相應(yīng)的與泛函所對(duì)應(yīng)的不同的實(shí)數(shù)值，其中的ε1、ε2、ε3所對(duì)應(yīng)的時(shí)間T也不相同，只有當(dāng)ε=0（或者說(shuō)無(wú)窮趨向于0）時(shí)，函數(shù)組-F(x)趨向于最速曲線所對(duì)應(yīng)的F(x)，而我們提到的ξ(x)則決定著趨向于零的不同方式，當(dāng)然這種趨向方式也是任意的。

而對(duì)于我們所要求的最速曲線的問(wèn)題，其實(shí)就是算出，

所對(duì)應(yīng)的極小值，其中，

當(dāng)我們把它寫成一種更為一般的形式時(shí)，我們所求泛函即為：

該式被稱作單宗量Euler方程[2]，同樣的我們也能更為明了地理解變分的原理，對(duì)比兩式后我們發(fā)現(xiàn)在泛函取得極值時(shí)（或者說(shuō)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定時(shí)）與我們轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值問(wèn)題得到相同的被積函數(shù)的形式，就可以更加深入地了解變分的原理。當(dāng)然，凡事總是由一及多，由之前所推得的單宗量Euler公式，不難將其衍生到s個(gè)廣義坐標(biāo)上去，容易得到：

此時(shí)，系統(tǒng)為s個(gè)自由度，被積函數(shù)變成了L（qα，qα'；t）（α=1、2、3……），上式也就變成了保守了體系下的Lagerange方程。

當(dāng)我們分析整個(gè)過(guò)程的時(shí)候不難發(fā)現(xiàn)，我們的邏輯順序由自變量的變分出發(fā)，到函數(shù)變分，最后作用于泛函I的變分，而對(duì)于被積函數(shù)F的變分，δF=F(y+εξ，y'+εξ'；x)-F(y，y'；x)

此時(shí)的泛函S（qα，qα'）也就是我們定義的Hamilton作用量，確定泛函S的極值問(wèn)題，就是最小作用量原理，有時(shí)也泛稱為變分原理，那么這也是由數(shù)學(xué)向分析力學(xué)的一種延伸。

3.約束

當(dāng)然至此，我們還忽略了一個(gè)十分重要的問(wèn)題，那就是任何實(shí)際的問(wèn)題都存在約束f（qα，qα'；t）=0，那么這個(gè)約束的意義[2]是什么呢？通俗地講就是給我們假想的這種廣義坐標(biāo)或者說(shuō)廣義速度的變化給了限制，以虛功原理為例，假定在一管內(nèi)，一靜止小球，在理想約束的條件下我們假想一個(gè)虛位移δr時(shí)，δr只可能沿著x方向，不可能有y方向的分量，原本在沒(méi)有約束的條件下我的δr可以是任意的，但當(dāng)約束條件存在時(shí)，我的虛位移的變化變少了（更為科學(xué)地表述應(yīng)當(dāng)是自由度的減少），并且只能沿著特定的方向（即約束許可的軌跡）。同樣的對(duì)比虛功原理與達(dá)朗貝爾原理，從理論上講是對(duì)于靜力學(xué)問(wèn)題的虛功原理和動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的達(dá)朗貝爾原理，分析其本質(zhì)上的原理是沒(méi)有能量的輸入。

而至于說(shuō)對(duì)于變分法的另一種形式的理解，假定我們所取的u（y，z；x）和v（y，z；x）在其本質(zhì)上可以為

由于ξ（x）的函數(shù)形式和ε的取值是任意的，所以u(píng)，v也可以是x，y，z的任意函數(shù)，當(dāng)然在討論到泛函極值的問(wèn)題是，ε為一個(gè)無(wú)窮小量，u和v在此時(shí)也就趨近于y和y'了。

4.結(jié)語(yǔ)

本文在闡述變分的原理時(shí)，以數(shù)學(xué)原理入手，從數(shù)學(xué)本身的角度來(lái)表述對(duì)于變分原理的看法，從對(duì)泛函極值的分析，轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的函數(shù)取極值的問(wèn)題，以此繼續(xù)在泛函取極值的情況下（轉(zhuǎn)化的函數(shù)取極值）推導(dǎo)出單宗量的Euler-lagrange方程，以此為基礎(chǔ)，考慮s個(gè)廣義坐標(biāo)下的Lagrange方程，并考慮對(duì)于被積函數(shù)的變分從而引入的Hamilton原理，在取得泛函極值的情況下的最小作用量原理，并結(jié)合變分原理表達(dá)對(duì)于虛功原理與達(dá)朗貝爾原理的認(rèn)識(shí)。