基于峰值優(yōu)化的改進(jìn)PTS算法

季 策, 張 超

(東北大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院, 遼寧 沈陽 110169)

0 引 言

正交頻分復(fù)用(orthogonal frequency division multiplexing,OFDM)是一種基于多個(gè)正交子載波調(diào)制的頻分復(fù)用技術(shù)。由于OFDM技術(shù)具有抗頻率選擇性衰落能力強(qiáng)和頻譜利用率高等優(yōu)點(diǎn),使其在無線局域網(wǎng)、數(shù)字視頻廣播及無線移動(dòng)通信等領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[1-2]。然而,OFDM系統(tǒng)中信號(hào)的峰均功率比(peak-to-average power ratio,PAPR)較高,當(dāng)其通過功率放大器時(shí)會(huì)產(chǎn)生非線性失真,從而導(dǎo)致接收端的誤碼率(bit error rate, BER)性能下降。所以,如何降低OFDM系統(tǒng)的PAPR已成為研究熱點(diǎn)。

對(duì)于OFDM系統(tǒng)的高PAPR問題,許多降低PAPR的方法已經(jīng)被提出,如限幅法[3-5](clipping)、選擇映射法[6-10](selected mapping, SLM)和部分傳輸序列法[11-30](partial transmit sequence, PTS)。其中,SLM和PTS是處理OFDM系統(tǒng)中信號(hào)的常用算法,屬于概率類的算法,不會(huì)產(chǎn)生失真。本文重點(diǎn)研究PTS算法,缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度較高,計(jì)算復(fù)雜度主要產(chǎn)生于OFDM系統(tǒng)中備選序列的生成和備選序列的PAPR的計(jì)算。為了降低計(jì)算復(fù)雜度,許多改進(jìn)的PTS算法相繼被提出。文獻(xiàn)[11-13]是基于遺傳算法的改進(jìn)PTS算法,通過減少搜索次數(shù),從而降低計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[14-16]是將PTS算法與限幅法相結(jié)合的聯(lián)合算法,先對(duì)OFDM信號(hào)作PTS優(yōu)化處理,再對(duì)處理后的信號(hào)作限幅處理。文獻(xiàn)[17-19]簡化了備選序列生成的運(yùn)算過程,降低了計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[20-24]是基于峰值優(yōu)化的PTS算法,峰值優(yōu)化的思想是對(duì)備選序列采樣位置的功率值進(jìn)行分析,對(duì)峰值功率較小的采樣位置的數(shù)據(jù)不作處理,而對(duì)易出現(xiàn)較大峰值功率的位置的數(shù)據(jù)集中優(yōu)化處理,通過減少優(yōu)化的點(diǎn)數(shù)降低計(jì)算復(fù)雜度?；诜逯祪?yōu)化的PTS算法的核心在于確定易出現(xiàn)較大峰值功率的位置的度量函數(shù),好的度量函數(shù)能夠準(zhǔn)確地確定易出現(xiàn)較大峰值功率的位置,不同的基于峰值優(yōu)化的PTS算法的區(qū)別正是度量函數(shù)的不同。

在絕大部分改進(jìn)的PTS算法中,其基本思路是在PAPR性能和計(jì)算復(fù)雜度之間進(jìn)行權(quán)衡,通過犧牲部分PAPR性能換取低計(jì)算復(fù)雜度,或是通過少量增加復(fù)雜度來換取PAPR性能的提升。本文提出的改進(jìn)PTS算法亦是如此,是一種基于峰值優(yōu)化的PTS算法。文中首先分析了每個(gè)采樣位置的最大峰值功率出現(xiàn)的特點(diǎn),然后對(duì)其估計(jì)得到度量函數(shù)Pn,根據(jù)度量函數(shù)Pn和預(yù)設(shè)閾值確定易出現(xiàn)較大峰值功率的采樣點(diǎn),對(duì)其集中優(yōu)化,減少了優(yōu)化的點(diǎn)數(shù),降低了復(fù)雜度。本文提出的PTS算法與文獻(xiàn)[20]相比,在計(jì)算復(fù)雜度和BER性能基本相同的情況下,PAPR性能有一定的提升。

1 OFDM系統(tǒng)PAPR

在OFDM系統(tǒng)中,N個(gè)經(jīng)過正交幅度調(diào)制(quadrature amplitude modulation,QAM)或正交相移鍵控(quadrature phase shift keying,QPSK)調(diào)制的符號(hào)以L倍的過采樣產(chǎn)生長度為LN的符號(hào)序列X=[X0,X1,…,XLN-1]。其中,Xk(k=0,1,…,N-1)為經(jīng)過調(diào)制的輸入符號(hào),Xk(k=N,N+1,…,LN-1)為L倍過采樣補(bǔ)的零。頻域序列X通過傅里葉逆變換(inverse Fourier transform,IFFT)變換得到OFDM時(shí)域序列x=[x0,x1,…,xLN-1],即

(1)

式中,L為過采樣因子。

OFDM時(shí)域序列x的PAPR定義為

(2)

式中,E[·]表示數(shù)學(xué)期望。

由于PAPR具有隨機(jī)性,通常用互補(bǔ)累計(jì)分布函數(shù)(complementary cumulative distribution function,CCDF)來衡量系統(tǒng)PAPR的統(tǒng)計(jì)分布特性,表達(dá)式為

CCDF=P(PAPR>PAPR0)=1-(1-e-PAPR0)LN

(3)

式中,PAPR0為閾值。

2 部分傳輸序列

PTS算法是一種無失真的概率類算法,能夠有效地降低OFDM系統(tǒng)的PAPR,其原理如圖1所示。在PTS算法中,一個(gè)OFDM符號(hào)序列X被分割為M個(gè)互不相交的子塊序列Xm=[Xm,0,Xm,1,…,Xm,LN-1],1≤m≤M。表達(dá)式為

(4)

(5)

(6)

(7)

圖1 PTS的基本原理Fig.1 Basic principle of the PTS

3 基于峰值優(yōu)化的PTS算法

基于峰值優(yōu)化的PTS算法是通過某種度量方法從LN個(gè)采樣位置中找出易出現(xiàn)較大峰值的Nγ個(gè)采樣位置,對(duì)Nγ個(gè)采樣位置的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)集中優(yōu)化而不是對(duì)LN個(gè)采樣位置的采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)優(yōu)化,減少了優(yōu)化的采樣點(diǎn)數(shù),從而降低了計(jì)算復(fù)雜度。規(guī)定度量值Vn(0≤n≤LN-1)為第n個(gè)位置的所有備選采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)中功率的最大值[22],表達(dá)式為

(8)

SV(Nγ)為易出現(xiàn)較大峰值功率的采樣位置的集合,表達(dá)式為

SV(Nγ)={n|Vn≥γ,0≤n≤LN-1}

(9)

式中,γ為預(yù)設(shè)閾值;Nγ為度量值Vn超過預(yù)設(shè)閾值γ的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。然而,計(jì)算度量值Vn需計(jì)算所有備選采樣點(diǎn)數(shù)據(jù),顯然不可取。

以M=4、W=2為例,即相位因子集合為{1,-1},說明度量值Vn的計(jì)算方法。正常情況下,以相位因子1和-1為旋轉(zhuǎn)量的子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)的圖例共WM-1=8種。規(guī)定用虛線將坐標(biāo)復(fù)平面均勻分割為2W個(gè)區(qū)域,虛線分割的區(qū)域可以以原點(diǎn)為中心旋轉(zhuǎn),分如下兩種情況討論:

(1) 如果子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)分布在虛線分割的對(duì)角區(qū)域(或同一區(qū)域),那么將所有子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)以相位因子1或-1旋轉(zhuǎn)到第一子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)x1,n所在區(qū)域,所有子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)求和后平方即為度量值Vn,如圖2所示。

(2) 如果子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)分布在虛線分割的非對(duì)角區(qū)域(或非同一區(qū)域),那么將所有子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)以相位因子1或-1旋轉(zhuǎn)到包含第一子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)x1,n的2個(gè)相鄰區(qū)域,每種情況中所有子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)求和后平方的最大值即為度量值Vn,如圖3所示。

圖2 對(duì)角分布下度量值Vn的計(jì)算方法Fig.2 Calculating method of the metric value Vn underdiagonal distribution

圖3 非對(duì)角分布下度量值Vn的計(jì)算方法Fig.3 Calculating method of the metric value Vn under non-diagonal distribution

雖然上述圖示可以直觀地得到度量值Vn的計(jì)算方法,但是實(shí)際操作相當(dāng)困難,特別是子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)分布在虛線分割的非對(duì)角區(qū)域的情況。因?yàn)樾枰獙?duì)每個(gè)采樣位置的子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)的分布進(jìn)行判斷,然后根據(jù)分布特性對(duì)子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行旋轉(zhuǎn),該過程非常繁瑣,因此需要對(duì)上述計(jì)算度量值Vn的方法進(jìn)行簡化?；谏鲜龇治?可以發(fā)現(xiàn)子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)分布在對(duì)角區(qū)域時(shí)旋轉(zhuǎn)后的數(shù)據(jù)占一個(gè)區(qū)域(陰影),而子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)分布在非對(duì)角區(qū)域時(shí)旋轉(zhuǎn)后的數(shù)據(jù)占兩個(gè)區(qū)域(陰影)。如果將所有子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)到第一子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)x1,n所在區(qū)域(對(duì)角分布或非對(duì)角分布)使其占一個(gè)區(qū)域,利用旋轉(zhuǎn)后的子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)求和后的平方值去估計(jì)度量值Vn,那么操作過程將很大程度上得到簡化。因此,定義一個(gè)新的替代度量值Pn的計(jì)算表達(dá)式為

(10)

式中,φm,n為子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)xm,n的相位；|·|為取模運(yùn)算符;%為取余運(yùn)算符。規(guī)定從坐標(biāo)復(fù)平面的正實(shí)軸開始逆時(shí)針將復(fù)平面均勻分割為2W個(gè)區(qū)域,若子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)的分布特性如圖4(a)所示,則替代度量值Pn的計(jì)算方法如圖4(b)所示。由于矢量旋轉(zhuǎn)不改變其模值,所以可以將圖4(b)中的所有子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)旋轉(zhuǎn)到正實(shí)軸上方的第一區(qū)域,所有子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)求和后的平方仍為替代度量值Pn,如圖4(c)所示。

根據(jù)替代度量值Pn與預(yù)設(shè)閾值γ確定易出現(xiàn)較大峰值位置的集合,即

SP(Nγ)={n|Pn≥γ,0≤n≤LN-1}

(11)

圖4 替代度量值Pn的計(jì)算方法Fig.4 Calculating method of the alternative metric value Pn

現(xiàn)將基于峰值優(yōu)化的PTS算法的具體步驟歸納如下:

步驟1將原始數(shù)據(jù)流經(jīng)QPSK或QAM調(diào)制后的頻域序列X分割為M個(gè)互不相交的子塊序列Xm,對(duì)頻域子塊序列Xm作IFFT變換得到時(shí)域子塊序列xm;

步驟2計(jì)算時(shí)域子塊序列xm中所有的子塊采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)xm,n的模值|xm,n|和相位φm,n,根據(jù)式(10)計(jì)算替代度量值Pn;

步驟3根據(jù)替代度量值Pn和預(yù)設(shè)閾值γ確定易出現(xiàn)較大峰值的采樣位置集合SP(Nγ);

步驟4對(duì)集合SP(Nγ)中的Nγ個(gè)采樣位置的數(shù)據(jù)集中優(yōu)化,選出最佳相位因子序列的索引uopt;

4 算法的復(fù)雜度分析

針對(duì)傳統(tǒng)PTS算法、文獻(xiàn)[20]及本文提出的PTS算法進(jìn)行計(jì)算復(fù)雜度分析。其中,文獻(xiàn)[20]是一種基于峰值優(yōu)化的PTS算法。度量函數(shù)為

(12)

為了比較本文提出的PTS算法和文獻(xiàn)[20]的PTS算法,引入比率pγ,即

(13)

傳統(tǒng)PTS算法生成備選序列需要(M-1)ULN次復(fù)數(shù)乘法和(M-1)ULN次復(fù)數(shù)加法,計(jì)算備選序列的功率需要ULN次復(fù)數(shù)乘法,選出每個(gè)備選序列中最大峰值功率需要U(LN-1)次復(fù)數(shù)加法,選出PAPR最低的備選序列需要(U-1)次復(fù)數(shù)加法,共需MULN次復(fù)數(shù)乘法和(MULN-1)次復(fù)數(shù)加法。本文提出的PTS算法步驟2中需要(M+1)LN次復(fù)數(shù)乘法和(M-1)LN次復(fù)數(shù)加法,步驟3中需要LN次復(fù)數(shù)加法,步驟4中需要MUpγLN次復(fù)數(shù)乘法和(MUpγLN-1)次復(fù)數(shù)加法,步驟5中需要(M-1)LN次復(fù)數(shù)乘法和(M-1)LN次復(fù)數(shù)加法,共需(2+pγU)MLN次復(fù)數(shù)乘法和((2M-1)LN+pγUMLN-1)次復(fù)數(shù)加法。文獻(xiàn)[20]需要((2M-1)LN+pγUMLN)次復(fù)數(shù)乘法和((2M-1)LN+pγUMLN-1)次復(fù)數(shù)加法。通常情況下,選用計(jì)算復(fù)雜度降低率(computational complexity reduction ratio, CCRR)作為衡量計(jì)算復(fù)雜度降低的標(biāo)準(zhǔn),即

(14)

傳統(tǒng)PTS算法、文獻(xiàn)[20]及本文提出的PTS算法的計(jì)算量及CCRR如表1所示。其中,N=1 024,L=4,M=8,W=2,pγ=0.073,將文獻(xiàn)[20]的PTS算法定義為Q-PTS,本文提出的算法定義為P-PTS算法。

表1 3種PTS算法的計(jì)算量及CCRR

由表1中數(shù)據(jù)可以看出,文獻(xiàn)[20]和本文提出的PTS算法的計(jì)算量基本相同,這是因?yàn)?種PTS算法都是基于峰值優(yōu)化的,只是度量函數(shù)不同。相比傳統(tǒng)PTS算法,2種PTS算法計(jì)算量大幅度下降約91%。

5 仿真結(jié)果

為了說明本文提出的PTS算法在降低PAPR方面的性能,基于Matlab對(duì)傳統(tǒng)PTS算法、文獻(xiàn)[20]的Q-PTS算法及本文提出的P-PTS算法進(jìn)行了仿真,如圖5所示。

仿真參數(shù)為:隨機(jī)分割方式,QPSK調(diào)制,子載波數(shù)N=1 024,過采樣因子L=4,子塊數(shù)M=8,相位因子個(gè)數(shù)W=2,pγ=0.073。由圖5可知,在pγ=0.073,即采樣個(gè)數(shù)Nγ=300時(shí),本文提出的P-PTS算法的PAPR性能優(yōu)于文獻(xiàn)[20]中的Q-PTS算法。選擇pγ=0.073的原因是考慮到整體仿真時(shí)間的緣故,隨著pγ的增大,圖5中P-PTS算法和Q-PTS算法的CCDF曲線逐漸向PTS算法的CCDF曲線靠近,PAPR的性能越好,但仿真的時(shí)間越長。

圖5 傳統(tǒng)PTS、P-PTS、Q-PTS算法的CCDF曲線Fig.5 CCDF curves for the PTS, P-PTS and Q-PTS

圖6給出了pγ取不同值時(shí),原始OFDM信號(hào)、傳統(tǒng)PTS算法和P-PTS算法的CCDF曲線。

圖6 pγ取不同值時(shí),原始OFDM信號(hào)、傳統(tǒng)PTS和P-PTS算法的CCDF曲線 Fig.6 CCDF curves for the original OFDM signal, PTS and P-PTS with the different pγ values

隨著pγ的增大,P-PTS算法的PAPR性能越好,計(jì)算復(fù)雜度越高。圖7給出了pγ=0.073時(shí),原始OFDM信號(hào)、傳統(tǒng)PTS、P-PTS及Q-PTS算法的BER曲線。

圖7 pγ=0.073時(shí),原始OFDM信號(hào)、傳統(tǒng)PTS、P-PTS及Q-PTS算法的BER曲線 Fig.7 BER curves for the original OFDM signal, PTS, P-PTS andQ-PTS when pγ=0.073

由圖7可知,原始OFDM信號(hào)、傳統(tǒng)PTS、P-PTS、Q-PTS算法的BER性能基本相同。

6 結(jié) 論

提出了基于峰值優(yōu)化的PTS算法,該算法權(quán)衡了PAPR性能和計(jì)算復(fù)雜度,通過特定的度量函數(shù)Pn確定易出現(xiàn)較大峰值功率點(diǎn)的位置,集中對(duì)這些位置上的數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化。通過算法復(fù)雜度分析和仿真結(jié)果可知,所提出的P-PTS算法相比文獻(xiàn)[20]的Q-PTS算法,在同傳統(tǒng)PTS算法計(jì)算復(fù)雜度降低程度和BER性能基本相同的情況下,PAPR性能更優(yōu)。所以所提出的P-PTS算法具有一定參考價(jià)值。

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