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    基于投影平移的一般位置直線實(shí)長(zhǎng)和傾角作圖方法

    2021-09-02 08:20:40賀雨田
    南方農(nóng)機(jī) 2021年16期
    關(guān)鍵詞:投影面作圖原點(diǎn)

    賀雨田

    (西安石油大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院,陜西 西安 710065)

    0 引言

    “畫法幾何”是實(shí)踐性較強(qiáng)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課,也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)制圖課程(“建筑制圖”“工程制圖”“機(jī)械制圖”等)的基礎(chǔ)[1]。掌握“畫法幾何”理論與制圖基本規(guī)定,對(duì)認(rèn)識(shí)所學(xué)專業(yè)的行業(yè)通用“工程語言”至關(guān)重要。該課程通常在大學(xué)一年級(jí)開設(shè),這一階段,學(xué)生尚未充分建立本專業(yè)工程設(shè)計(jì)的基本概念,對(duì)于設(shè)計(jì)的理解,往往以本專業(yè)的某一具體有形幾何特征為宏觀指導(dǎo)。因此,學(xué)生對(duì)制圖中所要表達(dá)的對(duì)象理解并不深刻[2]。如何讓一個(gè)沒有任何工程背景的學(xué)生建立起對(duì)有形幾何特征的直觀認(rèn)識(shí),進(jìn)行幾何結(jié)構(gòu)、空間位置和理解思維的簡(jiǎn)化是有效可行的辦法[3]。

    一般線的實(shí)長(zhǎng)是一個(gè)空間概念,在投影中求解時(shí),需要與一般線的空間位置相聯(lián)系,從而在平面投影中通過幾何關(guān)系繪制出線的實(shí)長(zhǎng)[4]。而傾角的本質(zhì)就是實(shí)長(zhǎng)與投影的夾角,因此,可以通過構(gòu)造投影為直角邊、實(shí)長(zhǎng)為斜邊的直角三角形求得[5]。

    筆者針對(duì)一般線空間位置的特點(diǎn),對(duì)一般線或其投影進(jìn)行平移,并結(jié)合平移后一般線展開投影圖的幾何特點(diǎn),對(duì)一般位置線段進(jìn)一步分類,建立了基于投影平移的一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角求解方法,為提高學(xué)生對(duì)一般線的空間理解提供一種新思維,從而豐富“畫法幾何”教學(xué)中一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角的求解理論。

    1 一般線

    1.1 一般線投影

    一般線的投影為直線,一般線的實(shí)長(zhǎng)和傾角可以通過作圖求解,其中傾角為一般線與各投影面上的投影在投影線平面上的夾角,一般線與H面、V面和W面的夾角分別用α、β和γ表示,如圖1所示。

    圖1 一般線投影

    將圖1所示位置的一般線投影展開后,得到如圖2所示的投影圖。圖中三個(gè)投影面上的投影都傾斜于投影軸,投影不反映一般線的實(shí)長(zhǎng),各投影與相對(duì)投影軸的夾角也不反映一般線對(duì)投影面傾角的大小。

    圖2 一般線投影展開圖

    通過線段在圖1中的空間位置認(rèn)識(shí)圖2的三面投影,比較容易理解,但通過圖2的三面投影還原線段在圖1中的空間位置時(shí),需要一定的空間想象能力[6]。為了簡(jiǎn)化對(duì)這一還原線段空間位置的理解,對(duì)圖1中的線段位置進(jìn)行平移。假設(shè)圖1中所示一般線的端點(diǎn)B距離H面的距離為d,另一個(gè)端點(diǎn)A距離V面和W面的距離分別為l和w。將該一般線向下平移d,向后平移l,再向左平移w,則該線段的端點(diǎn)A平移到了Z軸上,端點(diǎn)B平移到了H投影面上,如圖3所示。

    圖3 一般線位置平移

    此時(shí),展開一般線位置平移后的投影,端點(diǎn)A在H面上的投影a和端點(diǎn)B在V面上的投影b′同在OX軸上,端點(diǎn)A在V面上的投影a′和在H面上的投影a″同在Z軸上,如圖4所示。這使得一般線相對(duì)于投影坐標(biāo)系的空間位置以及投影展開圖均得到簡(jiǎn)化。而在實(shí)際投影時(shí),任意一般線均可以通過平移,使其位置具有上述特點(diǎn)。

    圖4 一般線平移后投影的展開圖

    需要指出的是,一般線在空間中平移后可以得到特殊的展開圖;相應(yīng)地,一般線的投影圖展開后,通過對(duì)投影進(jìn)行平移,即對(duì)圖2進(jìn)行平移,也可以得到與空間中平移后一樣的投影展開圖,即圖4展開圖。

    1.2 一般線分類

    在第一分角內(nèi),任意一般線通過平移后可以產(chǎn)生以下4種位置情況:1)一般線與H面和Z軸相交;2)一般線與V面和Y軸相交;3)一般線與W面和X軸相交;4)一般線通過原點(diǎn)O。對(duì)這4種位置進(jìn)一步分類,可以將一般線分為兩類:一類是線段與一個(gè)投影面和垂直于該投影面的軸線的相交,也可視為一般線不通過原點(diǎn)O,這是上述4種位置的前3種情況;另一類是一般線通過原點(diǎn)O。

    2 一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角求解

    2.1 一般線與投影面和軸相交

    一般線AB與H面和Z軸相交的空間位置及其投影如圖5所示。此時(shí),一般線AB、一般線在Z軸的截距OA、一般線在H面上的投影OB構(gòu)成一個(gè)直角三角形(圖中的陰影三角形),其中一般線AB為斜邊,OA和OB為直角邊,在該三角形中,AB為一般線的實(shí)長(zhǎng),∠ABO為一般線AB與H面的夾角α。

    圖5 一般線與H面和Z軸相交的空間位置及其投影

    圖5所示投影展開后如圖6所示,圖中Oa′(Oa″)和Ob的長(zhǎng)度就是圖5所示陰影三角形中OA和OB兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度。因此,只要構(gòu)造一個(gè)以O(shè)a′(Oa″)和Ob為直角邊的三角形,則其斜邊就是一般線的實(shí)長(zhǎng),斜邊與Ob的夾角為一般線AB與H面的夾角α。求得實(shí)長(zhǎng)后,再分別構(gòu)造出以實(shí)長(zhǎng)為斜邊、以V面上的投影a′b′和W面上的投影a″b″為直角邊的兩個(gè)直角三角形,就可分別求解得到一般線AB與V面和W面的傾角。

    圖6 一般線與H面和Z軸相交時(shí)的投影展開圖

    在投影展開圖中的具體作圖方法如圖7所示。

    圖7 一般線與H面和Z軸相交時(shí)實(shí)長(zhǎng)與傾角的作圖方法

    1)過O作Ob的垂線;

    2)以O(shè)為圓心,以O(shè)a′(Oa″)為半徑畫圓,與Ob的垂線交于點(diǎn)c;

    3)將該交點(diǎn)c與b相連,則bc就是一般線的實(shí)長(zhǎng),∠Obc就是一般線AB與H面的夾角α;

    4)分別過b′和b″作a′b′和a″b″的垂線;

    5)以a′(a″)為圓心,以所求的實(shí)長(zhǎng)為半徑畫圓弧,與兩條射線分別交于點(diǎn)d和點(diǎn)e,則∠b′a′d為線段與V面的夾角β,∠b″a″e(cuò)為線段與W面的夾角γ。

    通過這樣的作圖,就可以在三投影面體系中求解一般線的實(shí)長(zhǎng)以及一般線與三個(gè)投影面的傾角。

    另外兩種一般線位置(一般線與V面和Y軸相交,一般線與W面和X軸相交)的實(shí)長(zhǎng)和傾角作圖方法與上述位置一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角的作圖思路一致,這里給出另外兩種一般線的投影圖和在相應(yīng)投影展開圖上求解實(shí)長(zhǎng)和傾角的作圖過程。一般線AB與V面和Y軸相交的空間位置及其投影如圖8所示,該一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角的作圖過程如圖9所示。一般線AB與W面和X軸相交的空間位置及其投影如圖10所示,該一般線實(shí)長(zhǎng)和傾角的作圖過程如圖11所示。

    圖8 一般線與V面和Y軸相交的空間位置及其投影

    圖9 一般線與V面和Y軸相交時(shí)實(shí)長(zhǎng)與傾角的作圖方法

    圖10 一般線與W面和X軸相交的空間位置及其投影

    圖11 一般線與W面和X軸相交時(shí)實(shí)長(zhǎng)與傾角的作圖方法

    2.2 一般線通過原點(diǎn)

    一般線OA通過原點(diǎn)O的空間位置及其投影如圖12所示。此時(shí),一般線OA與三個(gè)投影面的投影和相應(yīng)的投影線構(gòu)成三個(gè)直角三角形,其中一般線OA為斜邊,OA和三個(gè)投影的夾角就是線段與投影面的傾角。

    圖12 線段通過原點(diǎn)O的空間位置及其投影

    投影圖展開后,可以以任意一個(gè)投影為直角邊構(gòu)造直角三角形。為了表述作圖過程,選擇以O(shè)a″為直角邊構(gòu)造直角三角形,具體作圖過程如圖13所示。

    1)過O作Oa″的垂線;

    2)連接a和a′交OX軸與ax;

    3)以O(shè)為圓心,以O(shè)ax為半徑畫圓,交垂直O(jiān)a″的垂線于點(diǎn)c;

    4)連接點(diǎn)a″與點(diǎn)c,則a″c為一般線的實(shí)長(zhǎng),∠Oa″c為一般線與W面的夾角γ,

    5)過a和a′分別作Oa和Oa′的垂線;

    6)以O(shè)為圓心,以實(shí)長(zhǎng)a″c為半徑畫圓,交垂直O(jiān)a的垂線于點(diǎn)d,交垂直O(jiān)a′的垂線于點(diǎn)e,得∠aOd為線段與H面的夾角α,∠a′Oe為線段與V面的夾角β。以其余兩個(gè)投影為直角邊構(gòu)造直角三角形與上述方法相似,這里不再贅述。

    圖13 線段通過原點(diǎn)O時(shí)實(shí)長(zhǎng)與傾角的作圖方法

    3 結(jié)論

    1)對(duì)一般線進(jìn)行了平移,平移后簡(jiǎn)化了一般線與投影面和投影軸的空間位置關(guān)系,得到了位置特殊的投影展開圖,相應(yīng)地,通過投影平移也可以得到相同的結(jié)果。

    2)根據(jù)平移后一般線與投影面和投影軸的位置關(guān)系,將一般線分為兩類:一類是與一根軸和與軸垂直的投影面相交的一般線,即不通過原點(diǎn)O的一般線;而另一類是通過原點(diǎn)O的一般線。

    3)一般線的實(shí)長(zhǎng)和傾角通過構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解:當(dāng)一般線與一根軸和與軸垂直的投影面相交時(shí),求解實(shí)長(zhǎng)時(shí),選擇投影通過原點(diǎn)O的線段和一般線與軸的截距為直角邊構(gòu)造直角三角形,該三角形的構(gòu)造可同時(shí)求解出一般線與通過原點(diǎn)O的投影所在投影面的傾角;當(dāng)一般線通過原點(diǎn)O時(shí),可以以任意一個(gè)投影為直角邊構(gòu)造直角三角形。

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