空間目標(biāo)光度測(cè)量的消光修正擬合

滿(mǎn) 意，楊輕云，陳 濤

（1. 中國(guó)科學(xué)院 長(zhǎng)春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林 長(zhǎng)春 130033；2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049）

1 引 言

隨著航空航天技術(shù)的飛速發(fā)展，大量的航天設(shè)備被送上太空，用于通信、遙感、導(dǎo)航等方面［1-5］。與此同時(shí)，空間碎片等太空垃圾的數(shù)量也隨之急劇增加，它們可能會(huì)對(duì)在軌航天器造成不可估量的影響，因此空間目標(biāo)的監(jiān)測(cè)及管理對(duì)于太空安全非常重要，成為了目前的研究熱點(diǎn)［6］。在監(jiān)管監(jiān)測(cè)過(guò)程中，空間目標(biāo)探測(cè)系統(tǒng)可以確定目標(biāo)的尺寸和形狀等目標(biāo)特性，并對(duì)空間目標(biāo)進(jìn)行分類(lèi)［7］。然而，對(duì)于中高軌目標(biāo)，難以直接通過(guò)高分辨率成像獲取目標(biāo)信息，這時(shí)可以通過(guò)地基光學(xué)系統(tǒng)追蹤中高軌道目標(biāo)，從而獲取其光度信息［8］。通過(guò)光度測(cè)量得到基于時(shí)間序列和基于相位角序列的光度曲線(xiàn)，用于反演目標(biāo)的形狀和姿態(tài)［9-10］。

目前，CCD 是獲取空間目標(biāo)光度信息的主要手段?；贑CD 測(cè)量星等的方法主要有對(duì)比法和標(biāo)定法［11-12］。對(duì)比法是將在同一高角、背景以及仰角下獲取的待測(cè)目標(biāo)的圖像和已知星等目標(biāo)的圖像進(jìn)行灰度級(jí)對(duì)比，從而獲取待測(cè)目標(biāo)的星等。此方法每次測(cè)量都需要一個(gè)對(duì)比目標(biāo)，計(jì)算復(fù)雜且無(wú)法同時(shí)測(cè)量多個(gè)目標(biāo)。標(biāo)定法是利用多顆不同方位和仰角的已知星等的恒星標(biāo)定出標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值，再將待測(cè)目標(biāo)的灰度值與標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值進(jìn)行對(duì)比，從而獲取待測(cè)目標(biāo)的星等。此方法無(wú)需對(duì)比目標(biāo)，可以同時(shí)測(cè)量多個(gè)目標(biāo)，是目前常用的方法。

起初的光度測(cè)量方法沒(méi)有考慮大氣消光所產(chǎn)生的影響，最終計(jì)算結(jié)果的測(cè)量誤差相對(duì)較大。后來(lái)考慮大氣消光的影響，利用經(jīng)典的大氣透過(guò)率公式計(jì)算大氣消光的星等，采用修正后的星等數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，得到的測(cè)量精度較之前有了一定的提高［13］。但經(jīng)典的大氣透過(guò)率公式是在一個(gè)理想環(huán)境下得到的公式，并不能很好地體現(xiàn)實(shí)際的大氣環(huán)境狀況，大氣透過(guò)率會(huì)受海拔等各方面因素的影響［14］。同時(shí)，上述方法在計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)零等星灰度值時(shí)都是采用算術(shù)平均值的方法，無(wú)法有效地降低大氣不穩(wěn)定所帶來(lái)的異常數(shù)據(jù)對(duì)最終計(jì)算結(jié)果的影響。

本文基于以往的CCD 光度測(cè)量方法，利用實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)計(jì)算過(guò)程中的消光修正進(jìn)行擬合，同時(shí)改進(jìn)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)零等星灰度值的方法，采用迭代求均值的方法替換算術(shù)平均值的方法［15］。改進(jìn)后的算法提高了測(cè)量精度，計(jì)算結(jié)果更適用于反演目標(biāo)的形狀和姿態(tài)。

2 測(cè)量原理

2.1 空間目標(biāo)星等測(cè)量

空間目標(biāo)反射太陽(yáng)光產(chǎn)生亮度值，在天文學(xué)上用星等衡量空間目標(biāo)的光度，規(guī)定1 等星的亮度是6 等星的100 倍［16］。當(dāng)參考星為零等星時(shí)，未知星等的星A 的星等值ma可以表示為：

式中：G0為零等星的灰度值，Ga為未知星等星A的灰度值。

由式（1）可知，在已知星A 灰度值的情況下，只需知道零等星的灰度值就可以計(jì)算得到星A的星等值。計(jì)算零等星灰度值的公式為：

選取已知星等和灰度值的星即可通過(guò)式（2）計(jì)算出其相應(yīng)的零等星的灰度值，選取多顆不同方位和不同仰角的恒星即可標(biāo)定出標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值。

2.2 經(jīng)典大氣消光模型

大氣消光是指大氣對(duì)輻射能量產(chǎn)生了折射、吸收和散射，導(dǎo)致光輻射強(qiáng)度衰減，因此在空間目標(biāo)的光度測(cè)量過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生誤差。天頂角越大，輻射穿過(guò)的大氣層越厚，大氣消光所帶來(lái)的影響就越大，經(jīng)典的大氣透過(guò)率公式為［13］：

其中：τ0=0.735 5，為在可見(jiàn)光范圍內(nèi)的垂直大氣透過(guò)率，z為取弧度值的天頂角。消光星等xg的計(jì)算公式為：

因此在考慮經(jīng)典大氣消光后，計(jì)算星A 的星等值ma的公式可以改進(jìn)為：

計(jì)算零等星灰度值G0的公式改進(jìn)為：

將τz/τ0記為消光修正系數(shù)τ，其計(jì)算公式為：

3 迭代法標(biāo)定標(biāo)準(zhǔn)零等星灰度值

在測(cè)量空間目標(biāo)星等的過(guò)程中，標(biāo)準(zhǔn)零等星灰度值是否準(zhǔn)確很大程度上決定最終結(jié)果是否準(zhǔn)確。標(biāo)定標(biāo)準(zhǔn)零等星灰度值通常采取的方法為多次選取不同仰角不同方位的已知星等和灰度值的星，計(jì)算出它們各自所對(duì)應(yīng)的零等星的灰度值，然后取算術(shù)平均值作為標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值。然而，取算術(shù)平均值的方法受不穩(wěn)定大氣的影響較大，當(dāng)測(cè)量的恒星的灰度值出現(xiàn)異常時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值會(huì)出現(xiàn)比較大的偏差。因此為了獲取更加準(zhǔn)確的標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值，本文對(duì)此過(guò)程進(jìn)行改進(jìn)，利用迭代法獲取均值［15］。迭代均值法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)零等星灰度值的流程如圖1所示。具體步驟如下：

（1）計(jì)算零等星的灰度算術(shù)平均值X1，同時(shí)找到數(shù)據(jù)中的最大值Xmax，將Xmax替換為X1；

（2）計(jì)算更新后的零等星的灰度算術(shù)平均值X2，同時(shí)找到數(shù)據(jù)中的最小值Xmin，將Xmin替換為X2；

（3）再次計(jì)算更新后的零等星的灰度值平均值X3，并轉(zhuǎn)到（1）進(jìn)行迭代計(jì)算，直到數(shù)據(jù)的方差收斂為0。

4 消光修正擬合

在采用經(jīng)典的大氣消光公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，由于沒(méi)有充分考慮實(shí)際環(huán)境中消光的影響，最終的測(cè)量誤差較大。本文利用實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)擬合光度測(cè)量過(guò)程中的消光修正系數(shù)τ，從而得到更符合實(shí)際情況的測(cè)量數(shù)據(jù)，具體步驟如下：

（1）建立自變量為仰角E、因變量為消光修正系數(shù)τ、多項(xiàng)式次數(shù)為N的擬合公式：

多項(xiàng)式擬合次數(shù)通常不高于5，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)及數(shù)據(jù)驗(yàn)證，N=3 時(shí)擬合效果最佳，因此：

（2）選取多顆不同高角和方位、仰角為E、星等為ma、灰度值為Ga的星，利用式（2）計(jì)算出對(duì)應(yīng)的零等星的灰度值。

（3）計(jì)算步驟（2）得到的零等星的灰度平均值，將它作為消光后的標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值G0，然后將G0以及步驟（2）選取的星的星等ma和灰度值Ga帶入式（7），計(jì)算τ的值。

（4）將選取的星的仰角E和對(duì)應(yīng)計(jì)算得到的τ值進(jìn)行最小二乘擬合，從而得到多項(xiàng)式（9）的系數(shù)a0，a1，a2，a3，以及最終的擬合公式。

（5）將待測(cè)星的仰角帶入擬合公式（9）計(jì)算對(duì)應(yīng)的τ值，再通過(guò)公式（5）計(jì)算出其星等值。

5 測(cè)量結(jié)果

測(cè)量條件如表1 所示。首先選取30 顆不同方位和仰角的恒星，分別采取不加消光、經(jīng)典大氣消光和消光修正擬合3 種消光處理方法計(jì)算出相應(yīng)零等星的灰度值，具體數(shù)據(jù)及計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

表1 星等測(cè)量條件Tab.1 Magnitude measuring condition

表2 不同消光方法的零等星灰度值計(jì)算結(jié)果Tab.2 Calculation result of zero magnitude’s gray value with different extinction methods

在不同消光方法下分別采用求算術(shù)平均值和迭代均值兩種方法計(jì)算最終的標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值，計(jì)算結(jié)果如表3 所示。

再選取10 顆不同方位和仰角的待測(cè)恒星進(jìn)行光度測(cè)量，通過(guò)式（5）計(jì)算測(cè)量星等，計(jì)算時(shí)采用表3 中的標(biāo)準(zhǔn)零等星灰度值。然后與10 顆恒星的理論星等進(jìn)行比較得出測(cè)量誤差。利用算術(shù)平均值計(jì)算的測(cè)量星等及誤差如表4 所示，利用迭代均值計(jì)算的測(cè)量星等及誤差如表5 所示。

表3 標(biāo)準(zhǔn)零等星灰度值計(jì)算結(jié)果Tab.3 Calculation result of standard“0”magnitude’s gray value

表4 取算術(shù)平均值時(shí)不同消光方法的光度測(cè)量結(jié)果Tab.4 Photometric measurement result of different extinction methods using arithmetic mean

表5 取迭代均值時(shí)不同方法下的光度測(cè)量結(jié)果Tab.5 Photometric measurement result of different extinction methods using iteration mean

測(cè)量精度σ為：

其中：Δmi為不同恒星對(duì)應(yīng)的測(cè)量誤差，n為恒星數(shù)量，計(jì)算結(jié)果如表6 所示。

表6 測(cè)量精度計(jì)算結(jié)果Tab.6 Calculation result of measurement accuracy

由表6 可以看出，在相同的計(jì)算均值方法下，消光修正擬合方法的測(cè)量誤差最小，精度最高；在相同的消光處理方法下，迭代均值方法的測(cè)量誤差更小，精度更高；改進(jìn)后的方法的測(cè)量精度可以達(dá)到0.11 個(gè)星等。

6 結(jié) 論

本文研究了基于CCD 的空間目標(biāo)光度測(cè)量的方法，針對(duì)空間目標(biāo)監(jiān)測(cè)中的光度測(cè)量算法進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化。首先介紹了光度測(cè)量的基本原理以及經(jīng)典大氣消光模型，然后分析了傳統(tǒng)方法存在的問(wèn)題并提出了消光修正擬合方法。同時(shí)，采用迭代法替代算術(shù)平均法計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值。最后，選取30 顆不同方位和仰角的恒星計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)零等星的灰度值，再選取10 顆不同方位和仰角的恒星計(jì)算測(cè)量精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：優(yōu)化后的光度測(cè)量算法的精度可以達(dá)到0.11 個(gè)星等，與之前算法相比測(cè)量精度更高，可為后續(xù)的姿態(tài)形狀反演提供更準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。