利用MATLAB模擬直角三角形恒定電流線圈的磁場分布

田歡歡

關(guān)鍵詞：畢奧.薩伐爾定律;磁感應(yīng)強(qiáng)度;直角三角形載流線圈

一、緒論

載流線圈周圍的磁場分布是大學(xué)物理中重要的知識點(diǎn)之一，而在大學(xué)物理中僅對直導(dǎo)線、圓環(huán)、螺線管等載流導(dǎo)體周圍的磁場進(jìn)行了介紹。在理論和實(shí)際應(yīng)用中，由導(dǎo)線形成的其他形狀的載流導(dǎo)體的磁場分布也非常重要，例如三角形載流導(dǎo)體的磁場。

很多學(xué)者在畢奧-薩伐爾定律的基礎(chǔ)上，對三角形載流導(dǎo)體的磁場分布已進(jìn)行了系列研究。鄧衛(wèi)娟和李秉寬利用場強(qiáng)疊加原理推導(dǎo)了正三角形載流線圈的空間磁場分布;李秉寬、顧國鋒和蘇安推導(dǎo)了三角形載流線圈空間磁場分布的普遍表達(dá)式;姜海麗、孫秋華、劉艷磊和馬伯洋利用矢量場旋轉(zhuǎn)和矢量疊加求出了任意形狀的三角形電流的磁場分布;鄺向軍首先導(dǎo)出了載流直導(dǎo)線空間磁場的x、y、z分量表達(dá)式，然后將這一表達(dá)式運(yùn)用到任意三角形電流，從而得到了它的空間磁場分布，并利用該結(jié)果對正三角形載流線圈其平面和中心軸線的磁場進(jìn)行了討論。通過數(shù)值模擬，可以直觀形象的再現(xiàn)各種形狀載流導(dǎo)體的磁場，但是目前尚未見有學(xué)者對三角形載流線圈的磁場分布進(jìn)行過數(shù)值模擬。

本文根據(jù)畢奧-薩伐爾定律推導(dǎo)出直角三角形載流線圈磁場的空間分布表達(dá)式，利用MATLAB軟件編程進(jìn)行仿真，繪制了磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖，對教學(xué)和實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)作用。

二、三角形載流線圈磁場分布的數(shù)值計(jì)算方法

對于任意一個(gè)通有恒定電流的閉合回路在周圍空間產(chǎn)生的磁場大小和方向可以通過畢奧一薩伐爾定律計(jì)算出來：

考慮一個(gè)通有恒定電流的單匝直角三角形線圈模型，如圖1所示。假設(shè)線圈的兩條直角邊的邊長分別為a和b，其中流過的恒定電流的大小為I。，流向?yàn)?一A—B一0。根據(jù)式（1），可將整個(gè)線圈在空間中產(chǎn)生的磁場分解成三條直導(dǎo)線單獨(dú)產(chǎn)生的磁場的矢量疊加。設(shè)從三條直導(dǎo)線上取出一個(gè)電流元分別，其在空間中P（x，y，z）點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以根據(jù)式（1）寫出為：

整個(gè)線圈在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量就等于所有電流元在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量求和，即：

三、模擬結(jié)果與分析

利用MATLAB軟件編程來分析直角三角形載流線圈周圍的磁場分布。取a=3m，b=4m，d1=0.01m，電流大小I。=10A。

圖2顯示的是與直角三角形線圈平行的平面上的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分布情況。從圖2（a）和（b）中可以看出，斜邊附近的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小呈鋸齒狀，這是因?yàn)橹苯侨切尉€圈本身不是對稱的，兩直角邊上的電流元在斜邊附近點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度疊加后其大小不一致。在離線圈較遠(yuǎn)的地方（如圖2（c）和（d）），中央?yún)^(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度較三個(gè)角落處的大，幾何中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度最大;同時(shí)發(fā)現(xiàn)，再增加的值，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小分布呈現(xiàn)的特征基本與圖2（d）的相似。隨著z值（即與線圈所在平面的垂直距離）的增加，各場點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小不斷減小，該規(guī)律與畢奧一薩伐爾定律反應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小隨場點(diǎn)與源點(diǎn)問的間距的增加而減少的普遍規(guī)律一致。

總磁感應(yīng)強(qiáng)度主要由z方向上的分量來決定。

圖4給出的是與直角三角形線圈所在平面垂直且平行y軸的平面上的總磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小情況。圖5（a）和（b）給出的是與圖4（a）和（b）對應(yīng)且y分別為-1.0m、0.0m、1.0m、2.0m、3.0m、4.0m時(shí)總磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。圖5（c）給出的是與圖4（c）對應(yīng)且z分別為-1.0m、-0.8m、-0.6m、-0.4m、-0.2m、0.0m時(shí)總磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。從圖中可以看出，當(dāng)觀察平面不穿過線圈時(shí)（即圖4（a）和（e）、圖5（a）），z=Om時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最大;當(dāng)線圈0B邊在觀察平面內(nèi)時(shí)（即圖4（b）和圖5（b）），z=0m時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，而在z=0m附近處（靠近導(dǎo)線表面時(shí)）的磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)，遠(yuǎn)離導(dǎo)線時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度迅速減小，幾乎為O;當(dāng)線圈0A邊的中垂線在觀察平面內(nèi)時(shí)（即圖4（c）和圖5（c）），呈現(xiàn)的規(guī)律與圖4（b）和圖5（b）的一致，即導(dǎo)線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，靠近導(dǎo)線表面時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)，遠(yuǎn)離導(dǎo)線時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度迅速減小，幾乎為0。

四、結(jié)語

本文從畢奧一薩伐爾定律出發(fā)，將直角三角形載流線圈分為3段通電直導(dǎo)線，推導(dǎo)出直角三角形載流線圈磁場的空間分布表達(dá)式。根據(jù)疊加原理，利用MATLAB軟件編程進(jìn)行仿真，繪制了與直角三角形線圈平面平行、垂直的平面上時(shí)磁感應(yīng)強(qiáng)度分布圖。模擬結(jié)果表明，在與直角三角形線圈平面平行的觀察面上，x和y方向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度分量對總磁感應(yīng)強(qiáng)度的貢獻(xiàn)不大，總磁感應(yīng)強(qiáng)度主要由z方向上的分量來決定;導(dǎo)線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度為0，靠近導(dǎo)線表面時(shí)的磁感應(yīng)強(qiáng)度最強(qiáng)，遠(yuǎn)離導(dǎo)線時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度迅速減小，幾乎為0。模擬結(jié)果直觀展現(xiàn)了直角三角形載流線圈周圍磁感應(yīng)強(qiáng)度分布情況，對教學(xué)和實(shí)際工程應(yīng)用具有一定的指導(dǎo)作用。