復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下金屬材料屈服模型及有限元驗(yàn)證

劉彥杰，李明強(qiáng)，楊衛(wèi)平

（航空工業(yè)第一飛機(jī)設(shè)計(jì)研究院強(qiáng)度設(shè)計(jì)研究所，西安710089）

0 引 言

金屬延性斷裂是飛行器金屬實(shí)體類結(jié)構(gòu)，例如接頭、加強(qiáng)框等結(jié)構(gòu)，最重要的破壞形式。復(fù)雜的結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)特征及載荷作用形式對飛行器實(shí)體結(jié)構(gòu)的精細(xì)化設(shè)計(jì)和驗(yàn)證提出了較高的要求。金屬實(shí)體類結(jié)構(gòu)的失效破壞屬于金屬材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的失效破壞，試驗(yàn)研究表明，在不同應(yīng)力狀態(tài)下金屬材料呈現(xiàn)出不同的屈服及破壞行為。利用精細(xì)有限元數(shù)值仿真預(yù)測金屬結(jié)構(gòu)延性斷裂行為成為結(jié)構(gòu)精細(xì)化設(shè)計(jì)的重要手段，其前提是建立合理的適用于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的金屬屈服準(zhǔn)則。只有在正確預(yù)測復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料初始屈服以及后繼屈服塑性硬化行為的基礎(chǔ)上，才能進(jìn)一步研究金屬結(jié)構(gòu)斷裂行為。

經(jīng)典von Mises理論（J2理論）認(rèn)為，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料的彈塑性本構(gòu)關(guān)系可以通過引入等效應(yīng)力和等效應(yīng)變的概念等價(jià)為一維問題，即單一曲線假設(shè)。然而，大量試驗(yàn)和理論研究表明，單一曲線假設(shè)并不能很好地描述材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的彈塑性本構(gòu)規(guī)律，金屬屈服行為與應(yīng)力狀態(tài)有著密不可分的關(guān)系。目前國內(nèi)外已有大量文獻(xiàn)研究應(yīng)力狀態(tài)參數(shù)對金屬材料屈服面的影響。最早受到關(guān)注的是靜水應(yīng)力（或應(yīng)力三軸度）參數(shù)，并產(chǎn)生了多種基于靜水應(yīng)力（或應(yīng)力三軸度）修正的von Mises模型：W.A.Spitzig等對鋁合金和鋼的研究表明靜水應(yīng)力顯著影響金屬材料的屈服應(yīng)力，且認(rèn)為兩者線性相關(guān)；A.Needleman等基于細(xì)觀孔洞損傷演化模型，提出了一種含損傷量的屈服模型，該模型認(rèn)為靜水應(yīng)力對屈服面產(chǎn)生非線性影響，即屈服面隨著靜水應(yīng)力的增加而收縮；K.Nahshon等進(jìn)一步發(fā)展了Gurson理論。國內(nèi)研究人員也對應(yīng)力三軸度參數(shù)對金屬屈服的影響進(jìn)行了理論研究與試驗(yàn)研究。隨著有關(guān)金屬延性斷裂研究的不斷深入，Lode角參數(shù)對金屬屈服和斷裂的影響越來越受到人們的關(guān)注。最具代表性的研究工作有：Y.Bai等、L.Xue提出了一種包含應(yīng)力三軸度和Lode角參數(shù)耦合的修正屈服模型；L.Xue還提出了一種與損傷變量耦合的彈塑性本構(gòu)模型，間接體現(xiàn)了靜水應(yīng)力和Lode角參數(shù)對后繼屈服切線模量的影響。但上述研究沒有細(xì)致研究應(yīng)力三軸度和Lode角參數(shù)影響金屬屈服行為的差異性，而是直接將應(yīng)力三軸度和Lode角參數(shù)耦合在一起共同影響金屬初始屈服應(yīng)力以及后繼屈服演化，導(dǎo)致模型復(fù)雜、材料常數(shù)多且標(biāo)定困難。

本文首先在文獻(xiàn)［9］研究的基礎(chǔ)上，結(jié)合鋁合金AL 2024材料5種典型構(gòu)形試驗(yàn)件進(jìn)行拉伸破壞試驗(yàn)，研究應(yīng)力三軸度和Lode角參數(shù)對金屬材料屈服行為的作用方式；然后根據(jù)試驗(yàn)分析提出一種分別慮及應(yīng)力三軸度對初始屈服應(yīng)力和Lode角參數(shù)對塑性切線模量修正的屈服模型，并進(jìn)行有限元與試驗(yàn)對比驗(yàn)證；最后對耳片結(jié)構(gòu)拉伸試驗(yàn)進(jìn)行有限元與試驗(yàn)對比分析，以驗(yàn)證本文提出的修正屈服模型的精度。

1 三維應(yīng)力狀態(tài)的表征參數(shù)

首先對三維應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間的表征參數(shù)進(jìn)行概要介紹。任意應(yīng)力張量

σ

都可用三維主應(yīng)力空ˉ ˉˉ間→ 中的向量表示其應(yīng)力狀態(tài)，如圖1所示，向量

OA

表示應(yīng)力狀態(tài)(

σ

，

σ

，

σ

)，其中

σ

，

σ

，

σ

為主應(yīng)力分量。圖1中的

z

軸為等傾線，垂直于等傾線的平面稱為等傾面；

p

為靜水應(yīng)力（材料受壓縮時(shí)為正）；

σ

為Mises等效應(yīng)力。

圖1 應(yīng)力狀態(tài)在主應(yīng)力空間中的表示Fig.1 Stress state in principal stress space

此外，在描述靜水應(yīng)力

p

時(shí)常用其無量綱形式，即應(yīng)力三軸度

η

，定義如下：

主應(yīng)力狀態(tài)(

σ

，

σ

，

σ

)在等傾面上的投影為主應(yīng)力偏量(

s

，

s

，

s

)，如圖2所示。

圖2 主應(yīng)力在等傾面內(nèi)的投影以及Lode角Fig.2 Demonstration of Lode angle

在等傾面內(nèi)，主應(yīng)力偏量的分布情況可用Lode角

θ

表示，定義為

2 基于應(yīng)力狀態(tài)修正的金屬屈服準(zhǔn)則

試驗(yàn)和理論研究結(jié)果表明，應(yīng)力三軸度（或靜水應(yīng)力）和Lode角參數(shù)會對材料的初始屈服和后繼屈服產(chǎn)生不可忽略的影響。W.A.Spitzig等認(rèn)為初始屈服應(yīng)力隨材料靜水應(yīng)力的變化而線性改變；Y.Bai等則認(rèn)為應(yīng)力三軸度和Lode角均會影響材料初始屈服和后繼屈服行為，并給出了慮及應(yīng)力三軸度和Lode角參數(shù)的修正屈服準(zhǔn)則。本文結(jié)合試驗(yàn)和數(shù)值仿真研究發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力三軸度主要影響材料初始屈服應(yīng)力值，而Lode角參數(shù)主要對后繼屈服的塑性切線模量產(chǎn)生影響。

本文提出一種分別慮及應(yīng)力三軸度對初始屈服應(yīng)力以及Lode角參數(shù)對塑性切線模量影響的修正屈服理論。其中，初始屈服應(yīng)力修正表達(dá)式為

由式（6）可得，當(dāng)應(yīng)力三軸度

η

為1/3時(shí)（光滑圓棒拉伸應(yīng)力狀態(tài)），該修正初始屈服應(yīng)力與材料標(biāo)準(zhǔn)試件初始屈服應(yīng)力相同。試驗(yàn)結(jié)果表明，

k

通常是一個(gè)正數(shù)，當(dāng)應(yīng)力三軸度增加時(shí)，材料實(shí)際的初始屈服應(yīng)力降低。

后繼屈服的塑性切線模量修正表達(dá)式為

式中：

H

為由光滑圓棒拉伸試驗(yàn)獲得的材料塑性切線模量；

H

為慮及Lode角影響的修正塑性切線模量；修正系數(shù)

w

為材料常數(shù)。

式中：

σ

、

K

和

n

為材料常數(shù)。

綜上所述，結(jié)合初始屈服應(yīng)力與塑性切線模量修正，本文提出的修正屈服應(yīng)力表達(dá)式為

式中：

σ

、

K

、

n

、

k

和

w

為屈服準(zhǔn)則常數(shù)，其中前三個(gè)常數(shù)為經(jīng)典Mises屈服準(zhǔn)則常數(shù)，后兩個(gè)常數(shù)為修正常數(shù)。

由式（10）可知，修正的屈服面可寫為

根據(jù)相關(guān)聯(lián)的Prandtl-Reuss塑性流動增量理論，塑性應(yīng)變增量可寫為

通過張量求導(dǎo)計(jì)算，可得

該屈服準(zhǔn)則中將應(yīng)力三軸度與Lode角參數(shù)的影響解耦，不僅減少了模型的材料常數(shù)，還有利于簡化材料標(biāo)定試驗(yàn)及數(shù)據(jù)處理過程。

3 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)金屬拉伸試驗(yàn)

以航空航天領(lǐng)域常用的AL2024-T 4鋁合金材料為例，對包含光滑圓棒、帶缺口圓棒、帶缺口槽平板等五種不同構(gòu)形的元件級試驗(yàn)件進(jìn)行拉伸試驗(yàn)，研究不同應(yīng)力狀態(tài)下金屬構(gòu)件的屈服行為。詳細(xì)的試驗(yàn)件構(gòu)型、試驗(yàn)內(nèi)容和結(jié)果參見文獻(xiàn)［13］。

4 元件試驗(yàn)與分析結(jié)果對比

以ABAQUS/Explicit求解器為平臺，采用VUMAT用戶材料子程序開發(fā)修正屈服準(zhǔn)則算法，對第3節(jié)所述5種典型構(gòu)形元件級試件拉伸試驗(yàn)進(jìn)行數(shù)值模擬，檢驗(yàn)第2節(jié)提出的修正屈服準(zhǔn)則對復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料屈服行為的預(yù)測精度。

由于試驗(yàn)件構(gòu)型和受載的對稱性，本文采用4結(jié)點(diǎn)軸對稱單元建立圓棒模型，采用8結(jié)點(diǎn)實(shí)體單元建立平板模型，所有模型在缺口區(qū)域內(nèi)進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化。有限元模型在一側(cè)固支，另一側(cè)加載，并施加對稱約束。

結(jié)合試驗(yàn)結(jié)果與有限元數(shù)值分析，可獲取修正屈服準(zhǔn)則常數(shù)。以鋁合金AL 2024材料為例，修正屈服準(zhǔn)則的材料常數(shù)為：

σ

＝380 MPa，

K

＝328 MPa，

n

＝0.22，

k

＝0.5，

w

＝0.2。分別采用傳統(tǒng)von Mises屈服準(zhǔn)則、只對初始屈服應(yīng)力修正的屈服準(zhǔn)則（式（6））、以及初始屈服應(yīng)力和塑性切線模量同時(shí)修正的屈服準(zhǔn)則（式（6）和式（7））進(jìn)行對比分析，數(shù)值仿真結(jié)果如圖3~圖7所示，圖中橫軸表示引伸計(jì)位移；圖例“

η

修正”表示只修正初始屈服應(yīng)力，“

η

和

θ

修正”表示同時(shí)修正初始屈服應(yīng)力和塑性切線模量。各類型構(gòu)件真實(shí)試驗(yàn)與模擬計(jì)算誤差詳見文獻(xiàn)［13］。

圖3 光滑圓棒試驗(yàn)與數(shù)值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.3 Comparison of test and simulation of smooth bar in force-displacement curves

圖5 大缺口圓棒試驗(yàn)與數(shù)值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.5 Comparison of test and simulation of large notched bar in force-displacement curves

圖7 大缺口槽平板試驗(yàn)與數(shù)值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.7 Comparison of test and simulation of large grooved plate in force-displacement curves

圖6 小缺口槽平板試驗(yàn)與數(shù)值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.6 Comparison of test and simulation of small grooved plate in force-displacement curves

數(shù)值計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果的誤差如表1~表2所示，可以看出：對于初始屈服應(yīng)力，最高誤差出現(xiàn)在應(yīng)力三軸度最高的小缺口圓棒和小缺口槽平板試件上，誤差分別為8.21%和13.56%；但對于光滑圓棒試件，由圖3及表1的數(shù)據(jù)可得，數(shù)值模擬與真實(shí)試驗(yàn)誤差極小。據(jù)此可得出基于單一曲線假設(shè)的von Mises屈服理論在材料處于一維應(yīng)力狀態(tài)下能與真實(shí)試驗(yàn)精確符合，然而卻不足以適應(yīng)更常見的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)。

表1 試驗(yàn)與模擬結(jié)果的初始屈服載荷誤差Table 1 Error of test and simulation in yield strength

表2 試驗(yàn)與模擬結(jié)果的破壞載荷誤差Table 2 Error of test and simulation in failure strength

從數(shù)值預(yù)測與試驗(yàn)結(jié)果的對比中可以看出，不同準(zhǔn)則的精度差異主要體現(xiàn)在對帶缺口圓棒和帶缺口槽平板試驗(yàn)件的預(yù)測上。對于初始屈服而言，經(jīng)典von Mises準(zhǔn)則在預(yù)測缺口半徑小、應(yīng)力三軸度大的試驗(yàn)時(shí)存在較大誤差，帶小缺口的圓棒和平板試驗(yàn)的誤差均超過了8%。通過引入應(yīng)力三軸度參數(shù)對von Mises初始應(yīng)力進(jìn)行修正后，明顯提高了帶缺口試驗(yàn)件初始屈服載荷的預(yù)測精度。

對比缺口圓棒試驗(yàn)和缺口槽平板試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，初始屈服修正準(zhǔn)則對缺口圓棒試驗(yàn)的預(yù)測精度要高于對缺口平板試驗(yàn)的預(yù)測精度。這說明雖然應(yīng)力三軸度和Lode角對材料初始屈服均產(chǎn)生影響，但應(yīng)力三軸度對初始屈服應(yīng)力的影響起主導(dǎo)作用。Lode角更重要的作用體現(xiàn)在對塑性流動（即塑性切線模量）的影響上，這也是本文修正屈服準(zhǔn)則的試驗(yàn)基礎(chǔ)。

對于試驗(yàn)件后繼屈服塑性流變行為，從圖4~圖7以及表2可以看出：只修正初始屈服應(yīng)力的準(zhǔn)則已經(jīng)能很好地符合缺口圓棒試驗(yàn)件后繼屈服階段的塑性硬化曲線，在此基礎(chǔ)上引入Lode角對切線模量的修正，基本沒有改善缺口圓棒試驗(yàn)的預(yù)測精度；但切線模量修正明顯提高了帶缺口槽平板試驗(yàn)塑性硬化階段的預(yù)測精度。從表2可看出：切線模量修正使帶缺口槽平板試件斷裂載荷的數(shù)值預(yù)測誤差降低至2%左右。

圖4 小缺口圓棒試驗(yàn)與數(shù)值模擬的載荷—位移曲線對比Fig.4 Comparison of test and simulation of small notched bar in force-displacement curves

上述研究表明，塑性切線模量修正對提高材料復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下塑性流動行為的預(yù)測精度具有重要意義。

5 耳片結(jié)構(gòu)試驗(yàn)與分析驗(yàn)證

選取典型金屬耳片拉伸試驗(yàn)，應(yīng)用本文提出的修正屈服準(zhǔn)則對耳片結(jié)構(gòu)屈服過程進(jìn)行研究，并與試驗(yàn)結(jié)果、經(jīng)典von Mises屈服準(zhǔn)則以及Bai-Wierzbicki屈服準(zhǔn)則的分析結(jié)果進(jìn)行對比。

耳片結(jié)構(gòu)平面尺寸及加載方式如圖8所示，耳片厚度為10 mm；結(jié)構(gòu)左端固支，右端通過接觸將銷釘?shù)奈灰萍虞d傳遞到耳片結(jié)構(gòu)上，加載方向與耳片軸線呈5°夾角。耳片材料為鋁合金AL2024，其具體的材料屬性見第4節(jié)所述。銷釘材料為合金鋼，其彈性模量為210 GPa，泊松比為0.3。

圖8 耳片結(jié)構(gòu)平面尺寸及加載方式示意Fig.8 Sketch of the size and loading of lug structure

應(yīng)用本文提出的修正屈服準(zhǔn)則的分析結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對比如圖9所示，圖中同時(shí)給出了經(jīng)典Mises屈服準(zhǔn)則、Bai-Wierzbicki屈服準(zhǔn)則的分析結(jié)果。

圖9 耳片結(jié)構(gòu)拉伸試驗(yàn)與數(shù)值分析結(jié)果對比Fig.9 Comparison of experiment and simulation of lug structure

從圖9可以看出：經(jīng)典Mises屈服準(zhǔn)則預(yù)測的載荷—位移曲線與試驗(yàn)結(jié)果在彈塑性階段存在明顯偏差，而本文提出的修正屈服準(zhǔn)則與Bai-Wierz‐bicki屈服準(zhǔn)則分析結(jié)果基本一致，且和試驗(yàn)結(jié)果吻合較好，表明基于應(yīng)力狀態(tài)修正的屈服準(zhǔn)則能夠顯著提高復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)金屬結(jié)構(gòu)彈塑性行為。對比本文提出的修正屈服準(zhǔn)則與Bai-Wierzbicki屈服準(zhǔn)則，結(jié)果表明本文提出的應(yīng)力三軸度和Lode角參數(shù)分別對初始屈服應(yīng)力與后繼屈服斜率的解耦準(zhǔn)則的合理性。本文的解耦修正準(zhǔn)則不僅形式變得更加簡潔，同時(shí)也簡化了準(zhǔn)則標(biāo)定的元件試驗(yàn)規(guī)模，更有利于工程應(yīng)用。

6 結(jié) 論

（1）對于三維復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的拉伸試驗(yàn)，使用經(jīng)典von Mises屈服準(zhǔn)則時(shí)，有限元模擬計(jì)算的初始屈服應(yīng)力以及后繼屈服應(yīng)力結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在較大差異，揭示了應(yīng)力狀態(tài)是影響材料屈服及塑性流動的一個(gè)重要因素。

（2）本文結(jié)合試驗(yàn)研究，發(fā)現(xiàn)應(yīng)力三軸度主要影響材料初始屈服應(yīng)力，Lode角參數(shù)主要影響切線模量，并提出了一個(gè)慮及兩者的修正von Mises屈服準(zhǔn)則，給出了修正準(zhǔn)則的塑性流動方程。

（3）試驗(yàn)與有限元對比分析表明該準(zhǔn)則能夠很好地預(yù)測復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下金屬結(jié)構(gòu)的初始屈服及后繼屈服塑性硬化行為，對工程應(yīng)用有較高參考價(jià)值。