利用聚類法實(shí)現(xiàn)PPP 固定解的快速靜態(tài)定位

羅玉山，張小紅

（武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，武漢 430079）

0 引言

文獻(xiàn)[1]于 1997 年提出了精密單點(diǎn)定位（precise point positioning,PPP）的概念。隨著全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)（global navigation satellite system,GNSS）的逐步建成，可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)量增多，PPP 相關(guān)技術(shù)發(fā)展迅速。PPP 是指利用國(guó)際GNSS 服務(wù)組織（International GNSS Service,IGS）或者其他機(jī)構(gòu)提供的高精度衛(wèi)星軌道和鐘差產(chǎn)品，通過(guò)模型改正、參數(shù)估計(jì)、隨機(jī)模型控制等方法精確改正各項(xiàng)誤差，并利用單臺(tái)接收機(jī)的偽距和相位觀測(cè)值進(jìn)行定位解算，實(shí)現(xiàn)高精度定位的方法[2]。

隨著PPP 技術(shù)的發(fā)展，浮點(diǎn)解技術(shù)逐步完善，國(guó)內(nèi)外的研究熱點(diǎn)也逐步轉(zhuǎn)向固定解技術(shù)。固定解技術(shù)的核心難題是恢復(fù)載波相位測(cè)量中的模糊度的整數(shù)特性，從而達(dá)到更高的定位精度。實(shí)現(xiàn)PPP 固定解的方法有相位小數(shù)偏差（fractional cycle bias,FCB）方法、整數(shù)鐘法、鐘差去耦法等，都成功地提高了PPP 浮點(diǎn)解的定位精度[3]。針對(duì)不同的應(yīng)用場(chǎng)景，PPP 可分為動(dòng)態(tài)解和靜態(tài)解。其中，靜態(tài)PPP 固定解以其毫米級(jí)的定位精度被廣泛地用于大地測(cè)量、工程測(cè)量等領(lǐng)域。

PPP 技術(shù)的理論、模型、算法已基本成熟，在定位模型研究、數(shù)據(jù)預(yù)處理、參數(shù)估計(jì)方法等方面均取得了一系列成果，但是在定位解算結(jié)果的處理和優(yōu)化上的相關(guān)研究仍然較少[3]。高精度PPP 固定解的出現(xiàn)顯著改善了PPP的定位精度；但是，由于受到各誤差影響，固定解解算通常需要較長(zhǎng)的初始化時(shí)間，且在單系統(tǒng)觀測(cè)條件下，通常需要30 min 甚至更長(zhǎng)的初始化時(shí)間，極大地延長(zhǎng)了外出測(cè)量作業(yè)的時(shí)間，影響了作業(yè)效率。尤其是在鐵路、公路、輸電線路、管線等施工測(cè)量中，數(shù)據(jù)采集時(shí)間往往比較短，因此如何利用有限的短時(shí)間數(shù)據(jù)解算出最優(yōu)的定位結(jié)果十分重要。本文提出一種利用位置聚類法對(duì)短時(shí)間的靜態(tài)PPP 固定解結(jié)果進(jìn)行優(yōu)化的方法，并利用全球IGS 跟蹤站數(shù)據(jù)驗(yàn)證該方法的精度和可靠性。

1 理論方法

1.1 靜態(tài)PPP 原理

本文靜態(tài)PPP 解算均采用GPS 單系統(tǒng)、雙頻無(wú)電離層組合函數(shù)模型。靜態(tài)觀測(cè)方程為：

式中：下標(biāo)1、2、IF 分別代表頻率1、頻率2 和無(wú)電離層組合；PIF、LIF分別為偽距和相位觀測(cè)值；ρ為衛(wèi)地距；c為光速；dtr,IF、為接收機(jī)鐘差和衛(wèi)星鐘差；TIF為對(duì)流層延遲；NIF為模糊度；λIF為無(wú)電離層組合波長(zhǎng)；εP、εL為偽距觀測(cè)噪聲和相位觀測(cè)噪聲；X代表偽距觀測(cè)值或者相位觀測(cè)值；f1、f2為衛(wèi)星載波頻率；α、β為頻率組合比例系數(shù)。

精密單點(diǎn)定位中的主要誤差處理方法如表1所示。

表1 誤差源及其處理方法

1.2 整數(shù)模糊度固定方法

本文采用FCB 方法實(shí)現(xiàn)了靜態(tài)PPP 固定解的解算。無(wú)電離層組合模糊度NIF不具有整數(shù)特性，無(wú)法直接固定，可以將其分解為寬巷（wide lane,WL）與窄巷（narrow lane,NL）模糊度分別進(jìn)行固定，即可實(shí)現(xiàn)固定解，可表示為

式中：NWL為寬巷模糊度；NNL為窄巷模糊度。

FCB 方法從改正或消除衛(wèi)星和接收機(jī)端的小數(shù)周偏差的角度出發(fā)，首先對(duì)寬巷墨爾本-維貝納（Melbourne-Wübbena,MW）組合平滑得到的寬巷模糊度作星間單差，再利用寬巷FCB 產(chǎn)品進(jìn)行改正以恢復(fù)寬巷整周模糊度；對(duì)于相關(guān)性較強(qiáng)的窄巷模糊度，則利用窄巷FCB 產(chǎn)品進(jìn)行改正并通過(guò)最小二乘模糊度降相關(guān)平差（least-square ambiguity decorrelation adjustment,LAMBDA）方法搜索得到窄巷整周模糊度。當(dāng)寬巷與窄巷模糊度都成功固定時(shí)，即可獲得無(wú)電離層組合的PPP 整周模糊度[4]。

因此，本文使用了武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院公開(kāi)發(fā)布的FCB 產(chǎn)品，即相位小數(shù)周偏差改正數(shù)后，PPP 解算的模糊度參數(shù)具有整數(shù)特性，可實(shí)現(xiàn)固定解。

1.3 模糊度檢核指標(biāo)

PPP 固定解精度提高的前提是模糊度參數(shù)被正確固定。得到模糊度固定解后，須對(duì)其質(zhì)量進(jìn)行檢核和驗(yàn)證；因?yàn)楣潭ㄥe(cuò)誤得到的模糊度參數(shù)會(huì)導(dǎo)致分米級(jí)甚至米級(jí)的誤差，嚴(yán)重影響定位精度[5]。

1）模糊度精度因子（ambiguity dilution of precision,ADOP）是一種有效判斷整周模糊度是否固定正確的模糊度檢核指標(biāo)。文獻(xiàn)[6]于1997 年引入了ADOP 這一指標(biāo)，用來(lái)描述模糊度參數(shù)的精度特性，可表示為

式中：det(QN?)表示模糊度參數(shù)協(xié)方差陣的行列式的值；n為模糊度估值的數(shù)量。

ADOP 值極高程度地反映了模糊度的平均精度，因?yàn)樵撝悼紤]了模糊度對(duì)應(yīng)方差和協(xié)方差的所有信息[7]。文獻(xiàn)[8]指出，當(dāng)其小于0.12 周時(shí)，模糊度的固定成功率接近100%。

2）模糊度固定成功率（bootstrapping）給出了模糊度正確固定概率的量化信息，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)處理模型的強(qiáng)度[9]，可表示為：

式中：Ni,(l)是Ni,(i?1,…,1)的縮寫(xiě)，表示第i個(gè)模糊度，是參考（i– 1）個(gè)整數(shù)模糊度得到的估值；σ為Ni,(l)的標(biāo)準(zhǔn)差。

成功率指標(biāo)對(duì)模糊度的檢核效果好，同時(shí)計(jì)算方便，可以反映模糊度整數(shù)解的全局質(zhì)量[10]。

3）模糊度比率檢驗(yàn)（ratio-test）指標(biāo)體現(xiàn)了浮點(diǎn)解與最優(yōu)整數(shù)解向量的接近程度，即次優(yōu)整數(shù)解殘差2 次型與最優(yōu)整數(shù)解殘差2 次型的比值[11]，可表示為

通常利用ratio-test 指標(biāo)的經(jīng)驗(yàn)閾值來(lái)判斷模糊度是否固定正確，不足之處在于不能給出固定解全局質(zhì)量[12]。

所以，合理地利用ADOP 值、bootstrapping 成功率、ratio-test 指標(biāo)可以有效地反映出整周模糊度的固定準(zhǔn)確度，且整周模糊度固定是否準(zhǔn)確將直接影響到固定解的定位精度，因此可把這3 個(gè)指標(biāo)作為PPP 固定解結(jié)果的檢核指標(biāo)。

1.4 利用聚類法實(shí)現(xiàn)快速靜態(tài)定位

本文所提出的快速靜態(tài)定位方法，是指針對(duì)短時(shí)間的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行解算和相關(guān)算法優(yōu)化后得到最優(yōu)定位結(jié)果的過(guò)程。該方法的主要思想是，通過(guò)正反向的卡爾曼（Kalman）濾波解算來(lái)增大短時(shí)間數(shù)據(jù)所解算的結(jié)果數(shù)量，利用誤差分布特性去尋找最密集的坐標(biāo)空間，通過(guò)相關(guān)的模糊度指標(biāo)對(duì)固定解進(jìn)行質(zhì)量檢核，最終得到快速靜態(tài)定位的優(yōu)化結(jié)果。算法流程如圖1 所示。

圖1 算法流程

算法的關(guān)鍵步驟如下：

1）正反向Kalman 濾波解算。對(duì)短時(shí)間數(shù)據(jù)進(jìn)行事后的正向和反向Kalman 濾波解算，并采用FCB法固定模糊度參數(shù)。其中，正反向?yàn)V波解算可以增加解算結(jié)果的數(shù)量，解決短時(shí)間數(shù)據(jù)固定解結(jié)果不足的問(wèn)題。解算得到的信息包括總歷元數(shù)A、測(cè)站的3 維坐標(biāo)以及每個(gè)歷元的ADOP 值、bootstrapping成功率、ratio-test 指標(biāo)、固定解狀態(tài)等。

2）解算結(jié)果預(yù)處理。PPP 解算的前15 min 通常為初始化收斂時(shí)間，解算結(jié)果質(zhì)量往往較差。為提高優(yōu)化方法的結(jié)果質(zhì)量，選擇去除這段PPP 初始化時(shí)間內(nèi)的解算結(jié)果。統(tǒng)計(jì)解算結(jié)果的固定解總數(shù)A1，如果A1≥0.5A，則去除未固定歷元的解算結(jié)果，僅采用定位精度更高的固定解結(jié)果進(jìn)行結(jié)果優(yōu)化。

3）確定位置聚類空間。統(tǒng)計(jì)處理后剩余歷元的3 維坐標(biāo)結(jié)果，并找到其最大值和最小值。根據(jù)這3 組閾值便可確定位置聚類的3 維空間，且所有歷元的3 維坐標(biāo)(xi,y i,zi)均滿足

4）尋找位置聚類空間的最密集區(qū)域。對(duì)于靜態(tài)定位而言，測(cè)站的3 維坐標(biāo)是一個(gè)確定的坐標(biāo)，較優(yōu)的靜態(tài)解算結(jié)果總是較緊密地分布在這個(gè)確定值的周?chē)?，而較劣的結(jié)果則較分散地分布在遠(yuǎn)離這個(gè)確定值的區(qū)域。所以為了實(shí)現(xiàn)PPP 固定解的快速靜態(tài)定位，需要找到較優(yōu)解的空間聚集區(qū)域，即位置聚類空間的最密集區(qū)域。

首先計(jì)算

圖2 分割平面示意圖

從圖可以看出，通過(guò)循環(huán)迭代地分割坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)量最多的區(qū)域，可無(wú)限逼近最密集區(qū)域的中心。同理，將該方法推廣到3 維空間，可通過(guò)有限次的分割，找到坐標(biāo)空間的最密集區(qū)域。統(tǒng)計(jì)各個(gè)空間的坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)量ni（i=1,2,…,8）以及坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)量最大值nmax，選擇保留所有ni≥ 0.5nmax（i=1,2,…,8）的坐標(biāo)點(diǎn)空間。通過(guò)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)量最多的區(qū)域并不一定能得到最好的優(yōu)化結(jié)果，所以將數(shù)量較多的幾個(gè)空間都納入?yún)⒖迹⑼ㄟ^(guò)精度指標(biāo)對(duì)參考空間進(jìn)行評(píng)判。

5）尋找最優(yōu)的坐標(biāo)空間。計(jì)算保留下來(lái)的坐標(biāo)空間的3 維坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差σx、σy、σz，標(biāo)準(zhǔn)差可體現(xiàn)一個(gè)空間里的坐標(biāo)點(diǎn)的離散程度，標(biāo)準(zhǔn)差越小，坐標(biāo)點(diǎn)分布越緊密，計(jì)算公式為

式中：k為坐標(biāo)空間的坐標(biāo)點(diǎn)總數(shù)量；變量r表示3 維坐標(biāo)x、y、z；下標(biāo)i表示坐標(biāo)空間的第i個(gè)點(diǎn)。

式中mADOP,i為第i個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的ADOP 值。

同時(shí)，計(jì)算bootstrapping 成功率、ratio-test 指標(biāo)的平均值。通過(guò)這4 個(gè)指標(biāo)，從坐標(biāo)點(diǎn)的空間聚集程度、固定解模糊度的固定準(zhǔn)確度2 個(gè)方面對(duì)坐標(biāo)空間進(jìn)行評(píng)判，即可從多個(gè)參考空間中篩選出1 個(gè)最優(yōu)的坐標(biāo)空間。重復(fù)步驟2）、步驟4）、步驟5），不斷地分割位置聚類空間，縮小坐標(biāo)空間范圍，逐步逼近位置聚類空間的最密集區(qū)域并根據(jù)各項(xiàng)指標(biāo)判定最優(yōu)坐標(biāo)空間，最后對(duì)最優(yōu)坐標(biāo)空間的坐標(biāo)點(diǎn)（xi、yi、zi）求平均值，得到最終的PPP 固定解快速靜態(tài)定位結(jié)果。

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

本文選取了IGS 數(shù)據(jù)中心的DARW、JFNG、KIRU 等6 個(gè)測(cè)站2018-01-01的數(shù)據(jù)進(jìn)行解算實(shí)驗(yàn)，觀測(cè)數(shù)據(jù)采樣率為30 s，精密數(shù)據(jù)產(chǎn)品采用IGS 提供的精密星歷和鐘差產(chǎn)品，并采用武漢大學(xué)測(cè)繪學(xué)院公開(kāi)發(fā)布的FCB 產(chǎn)品以實(shí)現(xiàn)PPP 固定解。為實(shí)現(xiàn)短時(shí)間數(shù)據(jù)的PPP 靜態(tài)快速固定解，本文的觀測(cè)數(shù)據(jù)均為1 h，即1 d的數(shù)據(jù)分為24 段，每段數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為1 h，并分別進(jìn)行單系統(tǒng)的靜態(tài)PPP固定解解算，其中單系統(tǒng)指美國(guó)全球定位系統(tǒng)（global positioning system,GPS）。

為體現(xiàn)優(yōu)化方法對(duì)于短時(shí)間靜態(tài)PPP 固定解精度的提升效果，本文從東（E）、北（N）、天頂（U）3 個(gè)方向進(jìn)行對(duì)比，分析快速靜態(tài)定位優(yōu)化結(jié)果與浮點(diǎn)解、固定解的精度差異。分別計(jì)算每個(gè)測(cè)站各自的24 段數(shù)據(jù)，可以得到每1 h的浮點(diǎn)解、固定解均值，以及PPP 固定解快速靜態(tài)定位結(jié)果（以下簡(jiǎn)稱優(yōu)化結(jié)果），其中：浮點(diǎn)解指1 h的浮點(diǎn)解收斂結(jié)果，即最后1 個(gè)歷元的解；固定解均值指該段靜態(tài)數(shù)據(jù)所解得所有收斂點(diǎn)后的固定解的平均值。為更加直觀、便捷地進(jìn)行誤差的對(duì)比分析，每一個(gè)測(cè)站的浮點(diǎn)解、固定解均值和優(yōu)化結(jié)果均取24 組對(duì)應(yīng)結(jié)果的平均值。

圖3～圖5 分別為浮點(diǎn)解與優(yōu)化結(jié)果基于真值的E、N、U 方向的偏差對(duì)比。從圖中可以看出：在E 方向上，優(yōu)化結(jié)果的偏差均優(yōu)于浮點(diǎn)解，且偏差均小于3 cm，KIRU、CEDU、CHPG、AREG測(cè)站的偏差低于 1.5 cm，而浮點(diǎn)解偏差均值為3.5 cm，因此在E 方向上，優(yōu)化結(jié)果的精度更優(yōu)；在N 方向上，優(yōu)化結(jié)果的偏差均優(yōu)于浮點(diǎn)解，且優(yōu)化結(jié)果的偏差均值為1.02 cm，而浮點(diǎn)解的偏差均值為1.38 cm，有毫米級(jí)的提升，所以在N 方向上，優(yōu)化結(jié)果的精度略優(yōu)；在U 方向上，優(yōu)化結(jié)果的偏差均小于浮點(diǎn)解，且均值為2.64 cm，而浮點(diǎn)解偏差均值為4.39 cm，大多數(shù)測(cè)站有厘米級(jí)的精度提升，所以優(yōu)化結(jié)果在U 方向上的精度也更優(yōu)。

圖3 浮點(diǎn)解與優(yōu)化結(jié)果東（E）方向偏差對(duì)比

圖4 浮點(diǎn)解與優(yōu)化結(jié)果北（N）方向偏差對(duì)比

圖5 浮點(diǎn)解與優(yōu)化結(jié)果天頂（U）方向偏差對(duì)比

圖6～圖8 分別為固定解均值與優(yōu)化結(jié)果在E、N、U 方向的偏差對(duì)比。從圖中可以看出：在E 方向上，大多數(shù)測(cè)站的固定解均值和優(yōu)化結(jié)果的偏差相差為1 cm 以上，優(yōu)化結(jié)果在E 方向上的精度更高；在N 方向上，固定解均值偏差均值為1.37 cm，優(yōu)化結(jié)果偏差均值為1.02 cm，優(yōu)化結(jié)果的精度略優(yōu)；在U 方向上，優(yōu)化結(jié)果偏差均小于固定解均值偏差，且固定解均值偏差的平均值為3.97 cm，優(yōu)化結(jié)果偏差均值為2.64 cm，所以優(yōu)化結(jié)果在U方向上的精度也更優(yōu)。

圖6 固定解均值與優(yōu)化結(jié)果東（E）方向偏差對(duì)比

圖7 固定解均值與優(yōu)化結(jié)果北（N）方向偏差對(duì)比

圖8 固定解均值與優(yōu)化結(jié)果天頂（U）方向偏差對(duì)比

綜上所述，相對(duì)于浮點(diǎn)解以及固定解，優(yōu)化結(jié)果的精度在E、N、U 方向上都有所提升。為進(jìn)一步證明優(yōu)化結(jié)果定位精度的穩(wěn)定性，本文分別計(jì)算了這3 種解算結(jié)果在E、N、U 方向上的均方根誤差（root mean square error，RMSE），其結(jié)果如表2 所示。

表2 浮點(diǎn)解、固定解均值及優(yōu)化結(jié)果RMSE 統(tǒng)計(jì) m

從表中可以看出：相對(duì)于浮點(diǎn)解，優(yōu)化結(jié)果的精度在E方向提升了3.58 cm，N方向提升了0.7 cm，U 方向提升了2.24 cm；相對(duì)于固定解均值，優(yōu)化結(jié)果的精度在E 方向提升了2.77 cm，N 方向提升了0.56 cm，U 方向提升了1.18 cm。這些數(shù)據(jù)表明，利用位置聚類方法優(yōu)化的靜態(tài)固定解結(jié)果的精度是最優(yōu)的。

為了解該算法的計(jì)算效率，本文統(tǒng)計(jì)了DARW 測(cè)站24 組數(shù)據(jù)的內(nèi)存消耗和運(yùn)行時(shí)間的平均值，最終結(jié)果表明程序內(nèi)存消耗低，運(yùn)行時(shí)間短，算法效率高。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文基于靜態(tài) PPP 短時(shí)作業(yè)時(shí)精度不高的應(yīng)用現(xiàn)狀，提出了利用位置聚類來(lái)優(yōu)化靜態(tài)PPP固定解的方法。通過(guò)模糊度精度因子、坐標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差等指標(biāo)尋找位置域最密集空間，得到優(yōu)化結(jié)果，并通過(guò)數(shù)據(jù)解算分析，驗(yàn)證了該方法所得優(yōu)化結(jié)果的精度相較于浮點(diǎn)解以及固定解均有提升，有較高的精度和穩(wěn)定性，且算法的計(jì)算效率較高，可為短時(shí)的快速靜態(tài)定位作業(yè)的實(shí)際應(yīng)用提供參考。