初中數(shù)學(xué)因式分解技巧淺談

摘 要：多項式因式分解就是恒等變形，將多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式的乘積形式。在中考中，因式分解是比較常見的類型，是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。因式分解方法具有很強(qiáng)的技巧性，使用靈活，是學(xué)生必須掌握的數(shù)學(xué)解題方法，對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)及解題能力的提高具有促進(jìn)作用?；诖耍疚闹匮芯砍踔袛?shù)學(xué)因式分解技巧。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);因式分解技巧;教學(xué)策略

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2095-624X（2021）18-0062-02

引 言

在解決數(shù)學(xué)難題過程中使用因式分解法，可以將復(fù)雜的問題簡單化。學(xué)生掌握這種方法，不僅解題思路會更加清晰，提高解題效率，其數(shù)學(xué)思維能力還會得到有效培養(yǎng)。

一、多項式因式分解的步驟及常用方法

（一）多項式因式分解的步驟

在應(yīng)用多項式因式分解的過程中，學(xué)生只有按照步驟進(jìn)行，才能獲得良好的效果。多項式因式分解的具體步驟為：其一，在多項式中如果各項都有公因式，就需要先將公因式提出來;其二，在多項式中如果各項都沒有公因式，在分解時可以使用公式法或者十字相乘法解決;其三，如果采用上面的方法都不能有效分解，在分解時可以采用十字相乘法、分組分解法、拆項補(bǔ)項法等;其四，在分解因式的過程中，對每一個多項式因式都要進(jìn)行分解，直到不能進(jìn)一步分解為止[1]。

（二）多項式因式分解的簡單記憶法

多項式因式分解方法有很多。為了有效利用，學(xué)生需要將這些方法記憶下來，從而在解決數(shù)學(xué)難題時可以靈活運(yùn)用[2]。下面的因式分解記憶方法是比較有效的：先做公因式提取，然后考慮用公式，思考十字相乘法，之后用分組分解法;如果幾種方法都無效，可以試試拆項添項法。

二、解決數(shù)學(xué)問題中常用的因式分解技巧

（一）提公因式法

提公因式法就是在多項式中，對四則運(yùn)算中乘法分配律進(jìn)行反向使用。教師可以讓學(xué)生在多項式分解的過程中仔細(xì)觀察，將最低指數(shù)冪找出來。由于學(xué)生在提取的過程中容易產(chǎn)生漏項的問題，教師要指導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用還原法檢驗(yàn)因式分解是否正確。如果各項有公因式，需將公因式提出來放在括號外面，用因式乘積的形式表達(dá);如果各項系數(shù)均為整數(shù)，提取公因式系數(shù)需要將最大的公約數(shù)提取出來;如果公因式用字母表達(dá)，則需要將各項相同的字母提取出來;在提取各項指數(shù)時，需要將次數(shù)最低的提取出來;多項式中的第一項是負(fù)數(shù)，需要將負(fù)號提取出來，讓括號中的第一項系數(shù)為正。

具體的解題思路是，提取公因式，即an+bn+cn+ dn+…=n（a+b+c+d+…），公因式提取完畢，將另一個因式確定下來。比如，對3x3-2x2-x提取公因式，即為3x3-2x2-x=x（x2-2x-1）。

（二）運(yùn)用公式法

在解決數(shù)學(xué)問題時運(yùn)用公式法，學(xué)生需要對各種數(shù)學(xué)公式熟練掌握，明確公式之間的關(guān)聯(lián)性，從而能夠靈活運(yùn)用。初中生往往存在記住數(shù)學(xué)公式卻不能合理運(yùn)用的問題。所以，在實(shí)際教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，引導(dǎo)學(xué)生掌握學(xué)習(xí)公式的方法，使其在面對數(shù)學(xué)問題時能夠遴選出靈活解題的公式，逐漸掌握解題規(guī)律[3]。比如，平方差公式為a2-b2=（a+b）（a-b），完全平方公式為（a+b）2=a2+2ab+b2;（a-b）2=a2-2ab+b2。

將完全平方公式充分運(yùn)用起來分解因式，要求多項式一定是三項式，其中有兩項可以用兩個數(shù)的平方和表達(dá)或者用兩個式表達(dá)的平方和表達(dá)，另一項則是兩個數(shù)乘積的2倍或者兩個式乘機(jī)的2倍。比如，立方差公式為a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）;立方和公式為a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）;完全立方公式為（a+b）3=a3+3ab2+3a2b+b3， （a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3。

（三）分組分解法

在解決數(shù)學(xué)問題時應(yīng)用分組分解法，就是在應(yīng)用提取公因式法的同時使用公式運(yùn)用法。由于多項式在表達(dá)形式上各有不同，采用分組分解法進(jìn)行處理時所應(yīng)用的方法也存在差異。數(shù)學(xué)教師要想讓學(xué)生充分理解這部分內(nèi)容，講解時要做到具體問題具體分析，并遵循循序漸進(jìn)的原則，讓學(xué)生從淺到深地掌握所學(xué)知識。具體而言就是將一個多項式進(jìn)行分組，之后運(yùn)用分解因式的方法處理。采用分組分解法時，學(xué)生必須明確目標(biāo)，分組后將公因式直接提取出來，也可以運(yùn)用公式進(jìn)行處理。

例如，對多項式am+an+bm+bn進(jìn)行因式分解時，要判斷項式之間所存在的共同之處，如果將前兩項分為一組，可以將公因式a提取出來，將后兩項分為一組，可以將公因式b提取出來，從而所獲得的公式是am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n），再將公因式（m+n）提取出來，得出am+an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）;

如果將第一項和第三項分為一組，可以將公因式m提取出來，將第二項和第四項分為一組，可以將公因式n提取出來，從而所獲得的公式是am+an+bm+bn= m（a+b）+n（a+b），將公因式（a+b）提取出來，得出am+ an+bm+bn=a（m+n）+b（m+n）=（a+b）（m+n）。

又如，在分解多項式7ax+7bx+8ay+8by時，采用分組分解法可以得出：7ax+7bx+8ay+8by=7x（a+b）+8y（a+b）=（7x+8y）（a+b）或者7ax+7bx+8ay+8by=a（7x+8y）+ b（7x+8y）=? （7x+8y）（a+b）。

從案例分析可以看出，對于一個多項式進(jìn)行分解，雖然進(jìn)行分組分解時采用不同的分組方法，但是所獲得的結(jié)果是一樣的，將7ax和8bx分為一個組，將x提取出來，將把8ay和8by分為一組，將y提取出來，采用逆用乘法分配律解答問題，就能夠做到化繁為簡。比如，將多項式m2+5n-mn-5m分解，即m2+5n-mn-5m=（m2-mn）+（5n-5m）=? m（m-n）+5（n-m）=-m（n-m）+5（n-m）=（5-m）（n-m）。

（四）十字相乘法

對于二次三項式的分解，通常應(yīng)用十字相乘法。二次項系數(shù)包括兩種情況，即為“1”的情況和不為“1”的情況。與前三種方法相比較，初中生掌握這種方法存在一定的難度。所以，通常教師在講解這種方法之前，需要先講解前三種方法，在學(xué)生熟練掌握后，再對這部分內(nèi)容進(jìn)行講解。

例如，對二次三項式x2+（p+q）x+pq進(jìn)行因式分解時，要分析該二次項，其系數(shù)是1;常數(shù)項為兩個數(shù)的積，即pq;一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩個因數(shù)的相加。在分解這個項式時，對于二次項系數(shù)為1的二次三項式進(jìn)行因式分解，可以得出：x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）。

又如，對二次三項式kx2+mx+n進(jìn)行因式分解的過程中，如果可以分解為k=ac，n=bd，則acx2+mx+bd;如果m=ad+bc時，acx2+mx+bd=acx2+（ad+bc）x+bd，那么就可以將因式分解為：kx2+mx+n=（ax+b）（cx+d）。對7x2-19x-6進(jìn)行因式分解，其中的-19可以分解為-21+2，那么，7x2-19x-6=7x2-21x+2x-6=7x（x-3）+2（x-3）=（7x+2）（x-3）。

（五）拆項法和補(bǔ)項法

將多項式的某一項拆開或者對多項式中的某一項填補(bǔ)上相反數(shù)的兩項，也可以是相反數(shù)的幾項，在保持原式表達(dá)含義不變的情況下，更加適用于公因式提取。在使用這種方法時需要注意，對多項式進(jìn)行變形時要堅持保持與原多項式相等的原則，先將多項式拆成幾個部分，之后再對因式進(jìn)行分解。

例如，對bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）進(jìn)行因式分解， 將bc（b+c）分解為bc（c-a+a+b），得bc（b+c）+ca（c-a）= bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b），對公式提?。╝+b），得出c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）。

結(jié) 語

通過上面的研究可以得出，初中數(shù)學(xué)中的因式分解方法有多種，而解題中較為常用的是公式法、提取公因式法、十字相乘法、分組分解法、拆項補(bǔ)項法。雖然教學(xué)存在一定的難度，但是其解題思路是有一定規(guī)律的，所以教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生明確解題思路，讓學(xué)生對因式分解方法有系統(tǒng)性認(rèn)識，從而提高數(shù)學(xué)解題效率[4]。

[參考文獻(xiàn)]

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作者簡介：張炳瑞（1973.6—），男，甘肅天水人，中小學(xué)高級教師。