面向動力學(xué)性能的薄壁加筋板結(jié)構(gòu)阻尼與筋條布局協(xié)同優(yōu)化設(shè)計

牛 斌 閆家銘 毛玉明 劉海洋

1.大連理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，大連,1160242.上海宇航系統(tǒng)工程研究所，上海,201109

0 引言

學(xué)術(shù)界針對動力學(xué)拓?fù)鋬?yōu)化已展開長時間的廣泛研究，包括優(yōu)化結(jié)構(gòu)的固有頻率[1]、振型[2]、頻帶[3]，或者直接優(yōu)化結(jié)構(gòu)的動態(tài)響應(yīng)，如頻域下動態(tài)柔度[4]、局部位移響應(yīng)[5]等。加筋結(jié)構(gòu)在汽車、飛機(jī)等工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)中被廣泛應(yīng)用，該結(jié)構(gòu)的設(shè)計方法包括基結(jié)構(gòu)法[6]、變厚度法[7]、均勻化方法[8]、自適應(yīng)生長法[9]等，加筋結(jié)構(gòu)的動力學(xué)優(yōu)化研究也受到關(guān)注。為抑制加筋板的振動，INOUE等[10]對齒輪箱內(nèi)的筋條進(jìn)行了振動能量最小化設(shè)計研究；LI等[11]根據(jù)葉脈形成的機(jī)理對筋條進(jìn)行簡諧力的布局優(yōu)化。此外，添加阻尼層也是提高加筋板減振能力的有效方法。在阻尼的布局優(yōu)化當(dāng)中，王睿等[12]以動柔度為設(shè)計目標(biāo)，對受簡諧外載作用附加阻尼材料的層殼體結(jié)構(gòu)最優(yōu)阻尼材料分布進(jìn)行了研究，并通過優(yōu)化算例驗證了方法的合理性；ZHANG等[13]提出了一種將局部阻尼特性與單元密度聯(lián)系起來的人工阻尼材料模型，研究了簡諧激勵下殼體結(jié)構(gòu)的主結(jié)構(gòu)和阻尼層的拓?fù)鋬?yōu)化問題；劉海等[14]研究了加筋板自由阻尼層的優(yōu)化設(shè)計；桂洪斌等[15]討論了敷設(shè)自由阻尼層和添加黏彈性筋等兩種含黏彈性阻尼的加筋結(jié)構(gòu)振動特性，分析了黏彈性阻尼材料損耗因子、阻尼層和黏彈性筋尺寸的影響；臧獻(xiàn)國等[16]以模態(tài)參與因子為設(shè)計變量對阻尼層厚度分布進(jìn)行優(yōu)化，結(jié)果表明，與均勻分布阻尼層相比，優(yōu)化后具有不同厚度阻尼層的結(jié)構(gòu)更能有效地抑制結(jié)構(gòu)振動；ALFOUNEH等[17]通過移動等閾值法優(yōu)化阻尼材料和基材料的分布，討論了結(jié)構(gòu)單模態(tài)阻尼比和多模態(tài)阻尼比的問題。

當(dāng)前，大量文獻(xiàn)多以單獨(dú)的筋條布局優(yōu)化設(shè)計或阻尼優(yōu)化設(shè)計為主要研究對象，鮮見針對筋條布局和阻尼分布的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計的研究。通過筋條和阻尼布置的協(xié)同優(yōu)化設(shè)計可以進(jìn)一步提高結(jié)構(gòu)的材料利用率，提高筋板結(jié)構(gòu)的減振性能。本文提出了一種針對薄壁加筋結(jié)構(gòu)的筋條布局和阻尼拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化設(shè)計方法，通過基結(jié)構(gòu)方法[18]優(yōu)化筋條布局，采用各向同性材料懲罰方法(simple isotropic material with penalization, SIMP)[19]優(yōu)化阻尼材料拓?fù)?，施加筋條和阻尼材料的體積約束，實現(xiàn)了筋板結(jié)構(gòu)最小化動態(tài)柔度設(shè)計。最后，分別在不同頻率和阻尼下通過數(shù)值算例討論了筋條和阻尼優(yōu)化設(shè)計對振動響應(yīng)的影響。

1 問題描述

薄壁加筋板結(jié)構(gòu)阻尼拓?fù)渑c筋條布局協(xié)同優(yōu)化結(jié)構(gòu)模型如圖1所示，在薄壁板的上下兩層分別敷設(shè)加筋條和阻尼材料，薄壁板稱為底板層，不參與優(yōu)化。采用有限元法分析加筋結(jié)構(gòu)，底板層和阻尼材料層均用板單元進(jìn)行描述，加筋層離散為偏置的梁單元。在有限元分析中加筋層的偏置梁單元、底板層的板單元和阻尼材料層的偏置板單元共節(jié)點(diǎn)，將底板層和阻尼材料層劃分為相同尺寸的網(wǎng)格。在有限元計算中敷設(shè)的阻尼材料層的薄壁加筋板結(jié)構(gòu)總剛度矩陣K、總質(zhì)量矩陣M、總阻尼矩陣C的表達(dá)式分別如下：

圖1 附加阻尼材料的加筋板結(jié)構(gòu)

K=Kb+Ks+Kz

(1)

M=Mb+Ms+Mz

(2)

C=Cb+Cs+Cz

(3)

式中，Kb、Ks、Kz分別為底板層、加筋層、阻尼材料層的剛度矩陣；Mb、Ms、Mz分別為底板層、加筋層、阻尼材料層的質(zhì)量矩陣；Cb、Cs、Cz分別為底板層、加筋層、阻尼材料層的阻尼矩陣。

動載荷作用下阻尼材料層的薄壁加筋板結(jié)構(gòu)振動控制方程為

(4)

2 優(yōu)化設(shè)計模型

采用基結(jié)構(gòu)法對加筋層筋條布局進(jìn)行優(yōu)化?；Y(jié)構(gòu)是按一定規(guī)律布局的筋條結(jié)構(gòu)，其局部3×3基結(jié)構(gòu)單胞如圖2所示，每個設(shè)計單胞中有6根筋條，整個加筋板由多個單胞組合構(gòu)成。借助拓?fù)鋬?yōu)化思想，將加筋層中筋條存在與否的離散密度情況轉(zhuǎn)化為連續(xù)密度描述，為了實現(xiàn)如圖3所示的0/1筋條布局，需在優(yōu)化設(shè)計中對筋條的密度設(shè)計變量進(jìn)行懲罰。在阻尼材料層布局優(yōu)化中，采用變密度法，將阻尼材料層的單元密度作為設(shè)計變量，同樣采用懲罰策略實現(xiàn)圖4所示的阻尼材料層布局優(yōu)化設(shè)計。

圖2 加筋層基結(jié)構(gòu)局部(3×3)示意圖

圖3 優(yōu)化后筋條拓?fù)浞植际疽鈭D

圖4 優(yōu)化后阻尼拓?fù)浞植紙D

在協(xié)同優(yōu)化過程中筋條和阻尼的設(shè)計變量都采用SIMP模型進(jìn)行懲罰，帶懲罰的總剛度矩陣和總質(zhì)量矩陣可表示為

(5)

(6)

采用瑞利阻尼形式，加筋層、底板層和阻尼材料層的阻尼矩陣可表示為

(7)

式中，αb、αs和αz分別為底板層、加筋層和阻尼材料層的質(zhì)量阻尼系數(shù)；βb、βs和βz分別為底板層、加筋層和阻尼材料層的剛度阻尼系數(shù)。

與阻尼材料層的阻尼相比，底板層和加筋層的阻尼較小，故本文只考慮阻尼材料層的阻尼效應(yīng)。據(jù)此，加筋板結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣可以表示為

(8)

式中，p、q分別為阻尼的剛度和質(zhì)量系數(shù)懲罰因子。

在本文數(shù)值算例中，u=3，v=1，h=3，c=3，p=3，q=3。

3 優(yōu)化列式

與經(jīng)典靜柔度相似，結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)的度量指標(biāo)定義為動柔度|PTU|(P表示載荷幅值，U表示位移幅值)，在動力學(xué)分析中外激勵與振動位移的相位可能相反，因此動柔度采用絕對值的形式。本文選擇動柔度平方[18]作為目標(biāo)函數(shù)，同時限制加筋層和阻尼材料層的材料體積，建立如下筋條和阻尼材料拓?fù)鋮f(xié)同優(yōu)化列式：

(9)

目標(biāo)函數(shù)靈敏度為

(10)

其中，剛度、質(zhì)量和阻尼矩陣對筋條密度和阻尼單元密度的微分K′、M′、C′分別由式(5)、式(6)、式(8)計算得到。

為了抑制拓?fù)鋬?yōu)化棋盤格等數(shù)值問題，阻尼材料層采用密度過濾[19]，過濾后的單元密度

(11)

w(dl)=R-‖dl-dj‖

式中,w(dl)為權(quán)函數(shù);‖dl-dj‖為單元l與單元j的中心點(diǎn)距離；Nj為第j個單元半徑為R的鄰域內(nèi)的單元。

4 數(shù)值算例分析

圖5所示為含阻尼層的加筋板，該板四端固支且在中心點(diǎn)受幅值為100 N的簡諧激勵。此算例中底板和筋條材料參數(shù)相同：彈性模量69 GPa，密度2700 kg/m3，泊松比0.33。阻尼材料層的彈性模量、密度、泊松比分別為0.22 GPa、980 kg/m3、0.49。底板的尺寸為0.5 m×0.5 m，厚度為0.002 m，筋條橫截面為矩形，尺寸為0.001 m×0.003 m，阻尼層的厚度為0.002 m。底板層和阻尼層均采用50×50的四節(jié)點(diǎn)板單元。筋條采用鐵木辛柯梁單元進(jìn)行模擬，加筋層的基結(jié)構(gòu)包含50×50個設(shè)計單胞。筋條體積分?jǐn)?shù)最大值設(shè)定為11.25%，阻尼材料層體積分?jǐn)?shù)最大值設(shè)定為40%。阻尼材料層的設(shè)計變量過濾半徑為0.02 m，其大小等于兩個單元。

圖5 中心位置受簡諧激勵的四端固支方板結(jié)構(gòu)

設(shè)定剛度罰因子和質(zhì)量罰因子都等于1的初始設(shè)計的固有頻率見表1。由頻率響應(yīng)圖可以看出，第1階和第6階固有頻率為共振頻率。激勵頻率fw分別選取15 Hz(小于第一階共振頻率)、25 Hz和100 Hz(位于第一、第二階共振頻率之間)。通過施加不同頻率的簡諧激勵，對比研究阻尼材料層和加筋層在不同的阻尼系數(shù)下的最優(yōu)拓?fù)?，相?yīng)分析結(jié)果見圖6～圖20。

表1 含阻尼層加筋板初始設(shè)計的固有頻率

考慮阻尼系數(shù)αz=0、βz=0，αz=0.05、βz=0.1和αz=0.5、βz=1三種情況，激勵頻率fw分別為15 Hz、25 Hz、100 Hz時優(yōu)化得到的筋條分布圖分別見圖6、圖11和圖16，阻尼材料層的拓?fù)鋱D分別見圖7、圖12和圖17，優(yōu)化前后結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)圖分別見圖8、圖13和圖18，優(yōu)化后結(jié)構(gòu)Z向(板面外方向)振動位移幅值分別見圖9、圖14和圖19。激勵頻率分別為25 Hz、100 Hz，小阻尼和大阻尼情況下優(yōu)化后結(jié)構(gòu)Z向振動實部位移幅值圖見15和圖20。

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1 (c)αz=0.5,βz=1

(a)αz=0,βz=0

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1

圖10 激勵頻率為15 Hz，阻尼系數(shù)αz=0.5、βz=1時迭代歷程曲線

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1

(a)αz=0,βz=0

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1

不考慮阻尼層的阻尼效應(yīng)(即αz=0,βz=0)時，采用比初始設(shè)計一階共振頻率更低的激勵頻率15 Hz，筋條和阻尼材料層優(yōu)化結(jié)果分別如圖6a、圖7a所示，目標(biāo)函數(shù)值從初始設(shè)計的55.38下降為0.445，優(yōu)化效果顯著。優(yōu)化設(shè)計的筋條材料的體積分?jǐn)?shù)達(dá)到上限，但阻尼材料的體積分?jǐn)?shù)僅為13.2%，阻尼材料僅出現(xiàn)在結(jié)構(gòu)的四角。若筋條布局與圖6a所示相同，同時用材料將阻尼材料層填滿，則該參考結(jié)構(gòu)的目標(biāo)函數(shù)值為0.529，基頻為24.94 Hz，而圖6a和圖7a優(yōu)化設(shè)計的基頻為28.40 Hz。由此可知，只在阻尼材料層四角布置材料的優(yōu)化設(shè)計會增大結(jié)構(gòu)基頻，減小目標(biāo)函數(shù)值，而完全填滿阻尼材料層反而會使基頻下降，使目標(biāo)函數(shù)值增大。此外，激勵頻率仍為15 Hz，采用αz=0.05、βz=0.1阻尼系數(shù)時的優(yōu)化結(jié)果見圖6b和圖7b，此時使用的阻尼材料體積達(dá)到設(shè)定的最大值，阻尼材料主要集中在靠近支撐位置的板的四個角周圍，對比圖6b和圖6a可知兩種情形下筋條布局優(yōu)化結(jié)果相近。采用更大的阻尼系數(shù)αz=0.5、βz=1時的優(yōu)化結(jié)果如圖6c和圖7c所示，由圖可知，結(jié)構(gòu)四角處阻尼材料減少，中間位置阻尼材料增多，同時筋條布局發(fā)生了明顯改變，板中部的筋條數(shù)量減少，結(jié)構(gòu)邊界的筋條數(shù)量增加，這表明同時優(yōu)化筋條層和阻尼材料層可以降低結(jié)構(gòu)動態(tài)響應(yīng)。

由圖8可以看出,通過優(yōu)化顯著降低了指定激勵頻率15 Hz處的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，而且一階共振峰向右移動遠(yuǎn)離該激勵頻率。激勵頻率15 Hz，阻尼系數(shù)αz=0.5、βz=1情況下的優(yōu)化迭代情況見圖10，其中右側(cè)坐標(biāo)軸約束體積φ為所用筋條和阻尼材料體積與所允許的筋條和阻尼材料體積的比值。由圖10可以看出，隨著迭代的進(jìn)行，目標(biāo)函數(shù)逐步下降到收斂，筋條和阻尼材料使用量逐漸增大達(dá)到允許上限。

采用比初始設(shè)計一階共振頻率更高的激勵頻率25 Hz，不同阻尼系數(shù)下的優(yōu)化設(shè)計結(jié)果見圖11和圖12，可以看出不同阻尼系數(shù)下的阻尼材料層和加筋層的拓?fù)鋱D有很大的不同。當(dāng)阻尼較小或無阻尼時，由圖11a、圖11b和圖12a、圖12b可知，筋條以叉形分布在板的中間，阻尼在板的中間呈菱形分布；由圖11c和圖12c可知，考慮較大阻尼αz=0.5、βz=1 時，板的中間位置和四邊分布有筋條和阻尼材料，中間位置分布的形狀也不同于小阻尼時的結(jié)果。如圖13所示，在沒有阻尼和阻尼很小情況下，優(yōu)化前后25 Hz均在一階共振峰的右側(cè)，阻尼很大時，一階共振峰變平緩?？紤]不同阻尼系數(shù)，計算優(yōu)化后結(jié)構(gòu)在25 Hz激勵下的振動響應(yīng)，其振動位移幅值如圖14所示，對比圖14b和14c可知，位移幅值圖中間部分差異明顯，兩種阻尼下的振型虛部相似，而振型實部變化較大。圖15a所示為小阻尼系數(shù)時的實部響應(yīng)，對應(yīng)于一階共振峰右側(cè)的振型，板的四邊處下凹，與中心偏外的位置處相比，板的中心位置處高但低于水平面。圖15b所示為大阻尼系數(shù)時的實部響應(yīng)，板的中間部分是凸起的，說明實際的振型在兩種阻尼下變化較大，由此可以解釋25 Hz時小阻尼系數(shù)與大阻尼系數(shù)下筋條和阻尼拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計變化較大的現(xiàn)象。

(a)αz=0.05,βz=0.1 (b)αz=0.5,βz=1

當(dāng)激勵頻率達(dá)到100 Hz時，由圖16a、圖16b和圖17a、圖17b可知，在結(jié)構(gòu)的四角和中間位置處分布較多的筋條和阻尼材料，在無阻尼和小阻尼的情況下，結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)振型相似(圖19a、圖19b)。圖17a、圖17b的不同之處在于，無阻尼的情況下，阻尼材料層的剛度和質(zhì)量影響優(yōu)化設(shè)計，而且使用的阻尼材料較少，沒有達(dá)到阻尼材料用量上限，而考慮阻尼效應(yīng)時阻尼材料用量達(dá)到上限，這也表明阻尼效應(yīng)對降低振動目標(biāo)函數(shù)的作用。但是，當(dāng)阻尼系數(shù)增大至αz=0.5、βz=1時，圖16c的筋條更多分布在板的中部和四邊的中間位置，圖17c中阻尼材料以圓形分布在板中部，與無阻尼和小阻尼情況下的筋條和阻尼材料分布明顯不同，其對應(yīng)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)振型(圖19c)相比于圖19a、圖19b也有較大差異。由圖18可以看出，不同阻尼情況下100 Hz所處的位置是不同的，即100 Hz對應(yīng)于小阻尼和無阻尼情況下的第一反共振峰的右側(cè)(圖18a、圖18b)，對應(yīng)于大阻尼情況下的第一反共振峰的左側(cè)(圖18c)，這也給出了優(yōu)化結(jié)構(gòu)在大阻尼下拓?fù)浞植己驼駝禹憫?yīng)明顯差異的原因。優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在小阻尼下的振型實部圖見圖20a，激勵的振型對應(yīng)的是反共振峰右側(cè)的振型，即板四邊中間位置下凹，板中部在水平以上；優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)在大阻尼下的振型實部圖見圖20b，激勵的振型對應(yīng)反共振峰左側(cè)的振型。與圖20a相比，圖20b的四邊中間位置下凹區(qū)域更大，板的中間位置比中部偏外位置高。

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1

(a)αz=0,βz=0

(a)αz=0,βz=0 (b)αz=0.05,βz=0.1

(a)αz=0.05,βz=0.1 (b)αz=0.05,βz=0.1

對比圖8a、圖13a和圖18a可以看出,優(yōu)化使得相鄰諧振峰值遠(yuǎn)離激勵頻率，從而實現(xiàn)降低振動響應(yīng)的目標(biāo)。具體如下:fw=15 Hz時一階共振峰值右移,fw=25 Hz時一階共振峰值左移,fw=100 Hz時二階共振峰值右移。由圖8、圖13和圖18可知,隨著阻尼系數(shù)的增大，初始結(jié)構(gòu)的響應(yīng)峰值減小，而且響應(yīng)峰值曲線更趨平緩。對比優(yōu)化前后的振動響應(yīng)，優(yōu)化后的響應(yīng)小于初始結(jié)構(gòu)對應(yīng)的響應(yīng)，說明優(yōu)化效果非常明顯。

5 結(jié)論

本文結(jié)合基結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法和阻尼材料變密度拓?fù)鋬?yōu)化方法，以最小化結(jié)構(gòu)動柔度為優(yōu)化目標(biāo)，考慮筋條和阻尼材料的用量約束，建立了筋條和阻尼材料層一體化優(yōu)化模型，推導(dǎo)了目標(biāo)函數(shù)對設(shè)計變量的靈敏度，采用梯度類算法實現(xiàn)筋條布局和阻尼材料拓?fù)涞膬?yōu)化設(shè)計，討論了不同的激勵頻率和不同的阻尼系數(shù)對優(yōu)化設(shè)計的影響。本研究得出以下結(jié)論：

(1)結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中筋條與阻尼材料的分布相互影響。通過協(xié)同優(yōu)化筋條和阻尼材料的分布，使相鄰的共振頻率遠(yuǎn)離激勵頻率，從而使結(jié)構(gòu)在激勵頻率下的振動響應(yīng)明顯下降。當(dāng)激勵頻率小于第一階共振頻率時，優(yōu)化后第一階共振頻率向右移動，振動響應(yīng)降低；當(dāng)激勵頻率位于其他階次共振頻率之間時，優(yōu)化后相鄰共振頻率遠(yuǎn)離激勵頻率，從而減小目標(biāo)函數(shù)值。激勵頻率不同，所對應(yīng)的響應(yīng)模態(tài)也不同，當(dāng)激勵頻率增大時模態(tài)復(fù)雜化，阻尼材料層和筋條的拓?fù)浞植家搽S之改變。

(2)阻尼系數(shù)對阻尼拓?fù)浜徒顥l布局影響較大。阻尼系數(shù)的變化不僅使結(jié)構(gòu)的共振峰移動或消失，還會引起激勵頻率相對于初始設(shè)計共振頻率的位置發(fā)生變化，影響優(yōu)化后結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)模態(tài)，因此不同阻尼條件下的筋條和阻尼材料最優(yōu)拓?fù)浒l(fā)生明顯變化。