存在性問題的探究策略

韓學(xué)奎

【摘要】存在性問題也稱探索性問題，是高考中的熱點問題，也是難點問題.解決這類問題的基本方法是：猜證法找到肯定結(jié)論;正面探求肯定結(jié)論;逆推反證得出否定結(jié)論;歸納、猜想、推理尋求肯定結(jié)論 .

【關(guān)鍵詞】探究性;問題;解決;策略

存在性問題是給出了問題的結(jié)論，但使問題結(jié)論成立的元素是否存在尚不確定，從而需要解答者予以探求的一種題目.此類問題的解決需要較高的思維品質(zhì)和分析解決問題的能力，故一度成為高考中的熱點、難點問題.下面就通過幾個例子談一下解決這類問題通常用到的策略.

一、猜證法找到肯定結(jié)論

探究一個滿足條件的參數(shù)或幾何圖形是否存在可以根據(jù)已知條件大膽猜想，然后對自己的猜想予以合理的證明，從而事半功倍地解決問題.

例1 如圖1所示，已知四面體E-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，AC交BD于O，EC⊥平面ABCD，F(xiàn)為BE的中點.

（1）求證：DE∥平面ACF.

（2）若AB=2CE，在線段EO上是否存在點G，使CG⊥平面BDE？若存在，試確定G點的位置;若不存在，說明理由.

（1）證明：如圖2所示，連接OF，因為四邊形ABCD是正方形，O是AC與BD的交點，所以點O為BD的中點.又因為F為BE的中點，所以O(shè)F∥DE.故有DE∥平面ACF.

解法一 （2）猜想存在滿足條件的點G為EO的中點.

證明如下：連接CG，因為EC⊥平面ABCD，故EC⊥AC，三角形OEC為直角三角形，又因為AB=2CE，所以CO=22AB=CE，所以三角形OEC為等腰直角三角形，故CG⊥OE.

又因為EC⊥平面ABCD，所以BD⊥EC，又四邊形ABCD是正方形，

所以BD⊥AC，又EC∩AC=C，所以BD⊥平面ACE.

而CG平面ACE，所以CG⊥BD.

又OE∩BD=O，所以CG⊥平面BDE.

所以存在點G，使CG⊥平面BDE，且G為EO的中點.

該解法根據(jù)圖形的特征大膽地猜想滿足條件的點G是線段EO的中點，然后證明該點滿足條件從而輕松解決了問題.

二、正面探求肯定結(jié)論

對存在性問題給出一個肯定答案最簡單的方法就是發(fā)現(xiàn)這個結(jié)果，用勝于雄辯的事實說明探求的元素是存在的.

上述例1（2）還可以有下面兩種解法.

解法二 （根據(jù)其他條件直接作圖探求）

因為EC⊥平面ABCD，所以BD⊥EC;又四邊形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因為EC∩AC=C，所以BD⊥平面ACE.故有平面BDE⊥平面ACE.故過C垂直于交線EO的直線必垂直于平面BDE，因此作CG⊥EO于G，則CG一定垂直于平面BDE.

又因為EC⊥平面ABCD，故EC⊥AC，三角形OEC為直角三角形.又AB=2CE，所以CO=22AB=CE，所以三角形OEC為等腰直角三角形，由此可知G為EO的中點.

解法三 如圖3所示建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)CE=2，則C（0，0，0），D（22，0，0），B（0，22，0），E（0，0，2），O（2，2，0），EO=（2，2，-2）.

假設(shè)EO上存在點G，使EG=tEO（0

由于CG⊥平面BDE，所以有CG·EB=0，

CG·ED=0，

得4t-4+4t=0，

4t-4+4t=0， 解得t=1[]2.

即EG=1[]2EO，故在線段EO上存在點G使CG⊥平面BDE，且G為EO的中點.

例2 若函數(shù) g（x）=ex-mx-1.

（1）討論g（x）的單調(diào)性.

（2）是否存在實數(shù)m，使g（x）在區(qū)間[-2，3]上單調(diào)遞減？

解 （1）g′（x）=ex-m，x∈R.

當(dāng)m≤0時，由于g′（x）=ex-m>0，故g（x）在R上單調(diào)遞增.

當(dāng)m>0時，由ex-m≥0，得ex≥m，x≥ln m.由ex-m<0，得x<ln m，

所以，當(dāng)m≤0時，g（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)m>0時，g（x）在區(qū)間[ln m，+∞）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-∞，ln m）上單調(diào)遞減.

（2）假設(shè)存在m∈R使g（x）在區(qū)間[-2，3]上單調(diào)遞減，則g′（x）=ex-m≤0在x∈[-2，3]時恒成立，即m≥ex在x∈[-2，3]時恒成立，只需m≥（ex）max .又因為ex在[-2，3]上單調(diào)遞增，所以（ex）max=e3，故m≥e3.

所以存在實數(shù)m∈e3，+∞，使g（x）在[-2，3]上單調(diào)遞減.

由上面的例子可以看出，我們可以用作圖等方法直接尋找滿足條件的元素（如例1解法二），也可以假設(shè)探尋的元素存在構(gòu)造方程（如例1解法三）求出滿足條件的元素的值，或構(gòu)造不等式（如例2）求出其取值范圍，得出肯定的結(jié)論.

三、逆推反證得出否定結(jié)論

要說明一個問題的結(jié)論是不存在的，往往很難找到一個著眼點，這時常用逆推反證的策略推出矛盾，從而說明結(jié)論不存在.

例3 已知函數(shù)f（x）=loga（3-ax）（a>0且a≠1）.

（1）當(dāng)x∈[0，2]時，函數(shù)f（x）恒有意義，求實數(shù)a的取值范圍.

（2）是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為減函數(shù)，并且最大值為1？如果存在，求出a的值;如果不存在，請說明理由.

解 （1）設(shè)t（x）=3-ax，則t（x）是關(guān)于x的一次函數(shù)，