泛指數(shù)產(chǎn)量遞減模型在評(píng)價(jià)美國(guó)頁(yè)巖氣田井控可采儲(chǔ)量中的應(yīng)用

陳元千，徐 良,2，王麗寧

（1.中國(guó)石油勘探開發(fā)研究院，北京100083；2.中國(guó)地質(zhì)大學(xué)（北京）能源學(xué)院，北京100083）

頁(yè)巖氣是一種非常規(guī)的天然氣資源，而且也是一種吸附于頁(yè)巖微顆粒表面的吸附氣，需要通過打水平井進(jìn)行多段水力壓裂，降壓解吸后投產(chǎn)。由于頁(yè)巖層是一種超致密的納達(dá)西（1 nD=10-6mD）滲透率級(jí)別的巖層，在頁(yè)巖層內(nèi)不會(huì)發(fā)生解吸氣的流動(dòng)，因此，每口水平井就是一個(gè)獨(dú)立封閉的開采單元。應(yīng)當(dāng)指出，頁(yè)巖氣田的可采儲(chǔ)量評(píng)價(jià)，是以水平井為單元，由產(chǎn)量遞減法先進(jìn)行井控可采儲(chǔ)量的評(píng)價(jià)，再將其相加可得頁(yè)巖氣田的可采儲(chǔ)量，因此，該可采儲(chǔ)量將隨井?dāng)?shù)的加密而增加。目前國(guó)外用于評(píng)價(jià)頁(yè)巖氣田井控可采儲(chǔ)量的模型有：Arps（1945）的模型、Ilk等人（2008）的模型、Valko 等人（2009）的模型、Duong（2010）的模型和Ali等人（2014）的模型。然而，這五個(gè)評(píng)價(jià)模型，均存在有明顯的不確定性和不可靠性。本文應(yīng)用陳元千近年提出的泛指數(shù)產(chǎn)量遞減（GEPD）模型，對(duì)美國(guó)的Barnett（巴尼特）、Woodfort（沃得福特）和Haynesville（哈依尼斯維爾）三個(gè)大型頁(yè)巖氣田的井控可采儲(chǔ)量進(jìn)行了比較有效的評(píng)價(jià)。

1 泛指數(shù)產(chǎn)量遞減（GEPD）模型及求解方法

陳元千[1-3]提出的泛指數(shù)產(chǎn)量遞減（Generic Exponential Production Decline）模型如下：產(chǎn)量與時(shí)間的關(guān)系式為：

應(yīng)當(dāng)指出，式（1）中的m為泛指數(shù)，它的理論范圍為0＜m＜1；當(dāng)t=0時(shí)，q=qi，即氣井的初始理論產(chǎn)量，或可以稱為模型的產(chǎn)量常數(shù)。

遞減率與時(shí)間的關(guān)系式為：

井控可采儲(chǔ)量的關(guān)系式為：

評(píng)價(jià)區(qū)的可采儲(chǔ)量為：

為了求解GEPD 的模型常數(shù)qi、c和m的數(shù)值，將式（1）改寫為可進(jìn)行線性迭代試差法求解的式（5）：

式中：

文獻(xiàn)[1-3]的實(shí)際應(yīng)用表明，當(dāng)m=0.5 和時(shí)，可得更為簡(jiǎn)單實(shí)用的m=0.5 GEPD模型如下。

產(chǎn)量與時(shí)間的關(guān)系式為：

遞減率與時(shí)間的關(guān)系式為：

井控可采儲(chǔ)量的關(guān)系式為：

評(píng)價(jià)區(qū)的可采儲(chǔ)量為：

應(yīng)當(dāng)指出，由于qi的時(shí)間單位為d（天），生產(chǎn)時(shí)間的單位為mon（月），而累積產(chǎn)量沒有時(shí)間單位，因此，對(duì)式（10）和式（11）需乘以一個(gè)值為30.5 的時(shí)間單位換算常數(shù)（1 mon=30.5 d），于是式（10）和式（11）即可寫為式（12）：

為了求解m=0.5 GEPD 模型的qi和c的數(shù)值，將式（8）取自然對(duì)數(shù)后得線性回歸的關(guān)系式為：

式中：

考慮到m=0.5 GEPD模型的實(shí)用性和有效性，現(xiàn)對(duì)其進(jìn)行無(wú)因次量的理論分析。若設(shè)無(wú)因次產(chǎn)量qD=q/qi和無(wú)因次時(shí)間tD=t/c，那么，由式（8）可得無(wú)因次產(chǎn)量的關(guān)系式為：

若給出不同的c值（c＞1），由式（17）可得不同c值的qD與tD的無(wú)因次關(guān)系的曲線（見圖1）。由圖1看出，c值愈大，qD下降的愈慢。在tD＞30后，不同c值的qD的下降逐漸變慢。這表明c值與遞減率成反比關(guān)系。

圖1 m=0.5 GEPD模型qD與tD的關(guān)系圖Fig.1 Relation between qD and tD of GEPD model with m=0.5

2 現(xiàn)有的評(píng)價(jià)模型及存在的問題

除本文的GEPD模型外，現(xiàn)有評(píng)價(jià)頁(yè)巖氣井產(chǎn)量和井控可采儲(chǔ)量的模型及其存在的問題，按發(fā)表時(shí)間為序逐一簡(jiǎn)評(píng)如下。

2.1 Arps的遞減模型

Arps[4-5]于1945年基于油井產(chǎn)量遞減曲線研究，首先提出并于1956年得以完善的指數(shù)遞減模型和雙曲線遞減模型。根據(jù)油井的產(chǎn)量遞減的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，Arps首先提出的產(chǎn)量遞減率定義為：

當(dāng)遞減率D為常數(shù)時(shí)，由式（18）分離變量積分后得指數(shù)遞減模型的產(chǎn)量為：指數(shù)遞減模型的累積產(chǎn)量為：

根據(jù)統(tǒng)計(jì)研究，Arps 提出了遞減率與產(chǎn)量的正比指數(shù)經(jīng)驗(yàn)關(guān)系式[5]：

對(duì)于t=0時(shí)的初始條件：

由式（21）除以式（22）可得下式：

將式（18）代入式（23），經(jīng)分離變量積分后得，Arps的雙曲線遞減模型的產(chǎn)量為：

式中qi為t=0時(shí)的初始理論產(chǎn)量；Di為t=0時(shí)的初始遞減率；b為遞減指數(shù)（decline exponent），其理論范圍0＜b＜1。

雙曲線遞減模型的累積產(chǎn)量為：

由式（23）代入式（24）可得雙曲線遞減模型的遞減率為：

據(jù)上可知，Arps 的雙曲線遞減模型是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性模型。根據(jù)文獻(xiàn)[2]的研究表明，雙曲線遞減模型的遞減率在初期變化較小，并不適用于初期產(chǎn)量遞減較大的頁(yè)巖氣井。

應(yīng)當(dāng)指出。一般認(rèn)為指數(shù)遞減是b=0 時(shí)的雙曲線遞減的特例。但從式（24）看出，當(dāng)b=0 時(shí)，并不能直接得到指數(shù)遞減的式（19）。由文獻(xiàn)[6]對(duì)式（24）的變換與推導(dǎo)，可以得到指數(shù)遞減模型的式（19）。

2.2 陳氏的冪函數(shù)遞減模型

陳元千[7]于2008年經(jīng)推導(dǎo)建立的Pareto（帕雷托）分布模型為：

由式（27）看出，這是一個(gè)冪函數(shù)遞減模型，式中的a和n為模型常數(shù)，n為冪指數(shù)，理論范圍0＜n＜1。由于當(dāng)t=0 時(shí)，q=∞（無(wú)窮）是不正確的，因此，對(duì)式（27）作出了如下的修正：

由式（28）看出，當(dāng)t=0時(shí)，q=a=qi，即t=0時(shí)的初始理論產(chǎn)量。陳元千[8]于2017年基于式（28），經(jīng)推導(dǎo)得到可用于油氣資源評(píng)價(jià)的Pareto 分布密度和累積分布的關(guān)系式。陳元千[9]于2019年基于修正的冪函數(shù)遞減模型，經(jīng)推導(dǎo)得到了評(píng)價(jià)頁(yè)巖氣井的遞減率、累積產(chǎn)量和井控可采儲(chǔ)量的關(guān)系式為：

式中：qEL為頁(yè)巖氣井的經(jīng)濟(jì)極限月產(chǎn)量。

2.3 Ilk等人的PLED遞減模型

Ilk[10]等人于2008年發(fā)現(xiàn)致密氣井壓裂后的產(chǎn)量遞減，不符合Arps的雙曲線遞減模型，未經(jīng)推導(dǎo)提出的遞減率與時(shí)間的關(guān)系式為：

式中的D∞作者注明為t=∞（無(wú)窮）時(shí)的遞減率；Di為Arps 的初始遞減率；n為時(shí)間指數(shù)，即冪指數(shù)。將式（32）代入式（19）得Ilk 等人的PLED（Power Law Exponential Decline）模型，即冪律指數(shù)遞減模型為：

由于作者沒有提供求解模型常數(shù)qi、D∞和n數(shù)值的線性迭代試差法，因此，事實(shí)上ILK 等人的遞減模型是不能求解和應(yīng)用的。

2.4 Valko等人的SPED遞減模型

Valko[11]和Valko 與Lee[12]分別于2009 和2010年未經(jīng)推導(dǎo)直接提出的SEPD（Stretched Exponential Production Decline）模型，即延伸的指數(shù)產(chǎn)量遞減模型為：

由式（34）看出，當(dāng)t=0，q=qi，即頁(yè)巖氣井t=0時(shí)的初始理論產(chǎn)量。由于作者沒有提出求解模型常數(shù)n、qi和τ 的方法，將qi用氣井投產(chǎn)后的最高產(chǎn)量qmax代替，因而會(huì)引起評(píng)價(jià)結(jié)果的偏低。具體情況請(qǐng)參考文獻(xiàn)[3]的內(nèi)容。

2.5 Duong的冪函數(shù)遞減模型

Duong[13]于2010年對(duì)致密氣井壓裂后的產(chǎn)量遞減，未經(jīng)推導(dǎo)直接提出的冪函數(shù)遞減模型為：

作者注明式中的q1為氣井投產(chǎn)后第1天的產(chǎn)量；n為裂縫流動(dòng)指數(shù)，線性流n=1/2；雙線性流n=1/4。由式（35）分離變量積分后，可得累積產(chǎn)量為：

由式（35）除以式（36）可得：

由式（37）可知，在文獻(xiàn)[13]中，Duong未經(jīng)推導(dǎo)提出的式（38）是不正確的:

式中的a和m作者分別注明為式（38）的截距和斜率。這一注釋是不正確的，而應(yīng)當(dāng)是式（38）雙對(duì)數(shù)直線關(guān)系的截距和斜率。

令人不解的是，Ali[14]等人于2014年對(duì)于壓裂的致密氣井和頁(yè)巖氣井，未經(jīng)推導(dǎo)和參考文獻(xiàn)的引用，直接提出了與Duong[14]完全相同的遞減模型。

3 應(yīng)用m=0.5 GEPD 模型對(duì)美國(guó)頁(yè)巖氣田井控可采儲(chǔ)量的評(píng)價(jià)

在圖2上繪出了近20年美國(guó)天然氣年產(chǎn)量變化曲線。由圖2看出，在2007年后美國(guó)天然氣的年產(chǎn)量快速增長(zhǎng)。這主要是由于在2003年Barnett（巴尼特）頁(yè)巖氣田，以及在2006年Woodfort（沃得福特）和Haynesville（哈依尼斯維爾）頁(yè)巖氣田相繼投入規(guī)模性商業(yè)開發(fā)，三個(gè)頁(yè)巖氣田的區(qū)帶分布位置見圖3。

圖2 美國(guó)2000年以后天然氣的年產(chǎn)量曲線Fig.2 Annual production curve for natural gas in the United States after 2000

圖3 美國(guó)三個(gè)頁(yè)巖氣田的區(qū)帶分布位置圖Fig.3 Location of three shale gas fields in the United States

在表1中列出了Paul[15]提供的Woodfort頁(yè)巖氣田的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)變化范圍值，這些數(shù)值對(duì)我們會(huì)有一定的參考價(jià)值。

表1 Woodfort頁(yè)巖氣田的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)Table 1 Basic data for Woodfort Shale Gas Field

按法定的井占面積（Well Spacing）的推算，水平井段長(zhǎng)度約為1 000～1 500 m。當(dāng)頁(yè)巖層厚度比較均勻、水平井段的長(zhǎng)度相同和氣井生產(chǎn)的調(diào)節(jié)嘴相同時(shí)，會(huì)產(chǎn)生氣井產(chǎn)量的遞減曲線基本相同的現(xiàn)象。

Baihly[16-17]等人對(duì)美國(guó)頁(yè)巖氣田井的月產(chǎn)量，按月平均的日產(chǎn)量遞減曲線，提出了DOFP（Data of First Production）歸一化曲線的位移法。該方法是將不同年份投產(chǎn)氣井的月平均日產(chǎn)量，統(tǒng)一向縱軸方向位移到頁(yè)巖氣田投產(chǎn)年份的12月或0 的時(shí)間，發(fā)現(xiàn)這些不同年份投產(chǎn)氣井的產(chǎn)量遞減曲線非常接近。這樣就可以得到一條具有代表性的歸一化的產(chǎn)量遞減曲線（見圖4—圖6）。根據(jù)歸一化的產(chǎn)量遞減曲線，利用評(píng)價(jià)模型可對(duì)井控可采儲(chǔ)量進(jìn)行評(píng)價(jià)。

圖4 Barnett頁(yè)巖氣田歸一化產(chǎn)量遞減曲線Fig.4 Normalization yield reduction curve of Barnett Shale Gas Field

圖5 Woodfort頁(yè)巖氣田歸一化產(chǎn)量遞減曲線Fig.5 Normalization yield reduction curve of Woodfort Shale Gas Field

圖6 Haynesville頁(yè)巖氣田歸一化產(chǎn)量遞減曲線Fig.6 Normalization yield reduction curve of Haynesville Shale Gas Field

根據(jù)Baihly[17-18]提出的的產(chǎn)量遞減曲線歸一化位移法，得到的美國(guó)三個(gè)大型頁(yè)巖氣田歸一化單井月平均日產(chǎn)量（qB、qW、qH）的數(shù)據(jù)列于表2。

表2 美國(guó)三個(gè)頁(yè)巖氣田的歸一化產(chǎn)量數(shù)據(jù)Table 2 Normalization yield data for three U.S.shale gas fields

將表2中三個(gè)頁(yè)巖氣田的歸一化產(chǎn)量數(shù)據(jù)繪于圖7，并按式（14）的關(guān)系繪于圖8。由圖8看出，對(duì)于m=0.5 GEPD模型的lnq與t0.5具有很好的線性關(guān)系。

圖7 三個(gè)頁(yè)巖氣田的歸一化產(chǎn)量曲線Fig.7 Normalization yield reduction curve of three shale gas fields

圖8 三個(gè)頁(yè)巖氣田歸一化的lnq與t0.5的關(guān)系圖Fig.8 Relation between lnq normalized by three shale gas fields and t0.5

根據(jù)表2上的歸一化產(chǎn)量數(shù)據(jù)，由式（5）進(jìn)行線性回歸求得三個(gè)頁(yè)巖氣田歸一化產(chǎn)量的α值、β值和R2值，以及由式（6）和式（7）求得的qi值和c值列于表3。由式（8）求得的產(chǎn)量累加的30年的累積產(chǎn)量ECR30a的數(shù)值，以及由式（10）求得的三個(gè)頁(yè)巖氣田的井控可采儲(chǔ)量GR也列于表3。由表3看出，三個(gè)頁(yè)巖氣田井控可采儲(chǔ)量介于（6 577～1 6211）× 104m3，這與表1中所列Woodfort頁(yè)巖氣田井控可采儲(chǔ)量基本一致。

再將表3中的c值代入式（9），可以得到如下三個(gè)頁(yè)巖氣田歸一化產(chǎn)量遞減率的關(guān)系式。

表3 美國(guó)三個(gè)頁(yè)巖氣田m=0.5 GEPD模型評(píng)價(jià)井控可采儲(chǔ)量Table 3 Well-controlled recoverable reserves evaluated by GEPD model with m=0.5 for three U.S.shale gas fields

利用式（39）至式（41）預(yù)測(cè)三個(gè)頁(yè)巖氣田氣井產(chǎn)量的遞減率繪于圖9。由圖9看出，三個(gè)頁(yè)巖氣田氣井的遞減率開始下降的比較快，在生產(chǎn)20 個(gè)月后遞減率較慢的下降。這與頁(yè)巖氣井產(chǎn)量遞減的變化特點(diǎn)完全一致。

圖9 三個(gè)頁(yè)巖氣田氣井的D與t關(guān)系Fig.9 Relation between D and t in three shale gas wells

4 結(jié)論

頁(yè)巖氣田是一種非常規(guī)的氣田。頁(yè)巖氣是一種飽和狀態(tài)的吸附氣。頁(yè)巖是納達(dá)西（naga Darcy）級(jí)別的滲透性巖層（1 nD=10-6mD）。頁(yè)巖氣田的開發(fā)，需要通過打水平井進(jìn)行多段水力壓裂，降壓解吸后投產(chǎn)。由于，水平井是一個(gè)人工裂縫控制的獨(dú)立開發(fā)單元，因此，需要先評(píng)價(jià)井控可采儲(chǔ)量，而后再評(píng)價(jià)氣田的可采儲(chǔ)量。

現(xiàn)有評(píng)價(jià)頁(yè)巖氣田井控可采儲(chǔ)量的五種模型，除陳氏的冪函數(shù)遞減模型外，均因缺乏理論上的推導(dǎo)和求解模型的方法，存在著明顯的不確定性和不可靠性。陳元千基于理論上的推導(dǎo)和簡(jiǎn)化，得到的m=0.5 GEPD 模型及其模型的求解方法，經(jīng)對(duì)美國(guó)三個(gè)頁(yè)巖氣田的實(shí)際應(yīng)用評(píng)價(jià)表明，具有較好的實(shí)用性和可靠性，所評(píng)價(jià)的井控可采儲(chǔ)量與表1中所列Woodfort頁(yè)巖氣田的井控可采儲(chǔ)量基本一致。同時(shí)，利用m=0.5 GEPD模型的遞減率關(guān)系式，所評(píng)價(jià)的遞減率變化規(guī)律與頁(yè)巖氣井產(chǎn)量的變化特征基本一致。

符號(hào)注釋

q—頁(yè)巖氣井的日產(chǎn)量，104m3；

qB、qW、qH—三個(gè)頁(yè)巖氣田歸一化的月平均日產(chǎn)量，104m3；

qi—t=0時(shí)的初始理論產(chǎn)量，104m3/d；

t—生產(chǎn)時(shí)間，mon；

τ—Valko的表征時(shí)間常數(shù)，mon；

m—GEPD模型的泛指數(shù)，dim；

n—冪指數(shù)，dim；

np—評(píng)價(jià)區(qū)的井?dāng)?shù)；

b—Arps的遞減指數(shù)，dim；

c—GEPD模型的時(shí)間常數(shù)，mon；

D—遞減率，mon-1，或%mon-1；

Di—t=0時(shí)的初始遞減率，mon-1，或%mon-1；

D∞—t=∞時(shí)的遞減率，mon-1，或%mon-1；

R2—相關(guān)系數(shù)，dim；

Gp—累積產(chǎn)量，104m3；

GR—井控可采儲(chǔ)量，104m3；

ECR30a—評(píng)價(jià)30年的累積產(chǎn)量，104m3；

Γ(1/m)—伽馬函數(shù)（Gamma function）；

exp（-x）=e-x—指數(shù)函數(shù)符號(hào)；

α和β—GEPD模型lnq和t的直線的截距和斜率；

αo和βo—m=0.5 GEPD 模型lnq和t0.5直線截距和斜率。