材料與幾何參數(shù)對薄膜超材料吸聲性能的影響

王家聲，劉 艷，李秋彤，陳亞楠

（1.上海理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，上海200093；2.上海材料研究所，上海200437；3.上海消能減震工程技術(shù)研究中心，上海200437）

聲學(xué)超材料是一種新型人工材料，通過對其在亞波長尺度下的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，可實(shí)現(xiàn)對低頻寬帶聲波的高效調(diào)控，獲得天然材料所不具備的超低頻吸聲能力，為眾多工程領(lǐng)域的低頻降噪問題開辟了新的技術(shù)路徑[1–3]。其中，薄膜聲學(xué)超材料的質(zhì)量輕、體積小，可廣泛應(yīng)用于多種輕量化應(yīng)用場景[4–6]。很多研究學(xué)者針對其隔聲性能做了大量研究，分析了胞元的結(jié)構(gòu)參數(shù)、薄膜密度及泊松比等材料參數(shù)對其隔聲性能的影響[7–9]，還通過優(yōu)化其幾何設(shè)計(jì)提高隔聲性能[10–12]；此外，又提出了多種主動控制方法用于調(diào)節(jié)薄膜聲學(xué)超材料的隔聲性能[13–15]。隨著薄膜聲學(xué)超材料研究的不斷深入，其吸聲性能也受到極大關(guān)注。Mei 等[16]提出了采用兩塊半圓形附加質(zhì)量對稱分布在矩形薄膜兩側(cè)的薄膜聲學(xué)超材料，首次發(fā)現(xiàn)了其低頻的吸聲特性；Chen 等[17]研究該薄膜聲學(xué)超材料的吸聲性能，發(fā)現(xiàn)了隨著附加質(zhì)量個數(shù)的增加，吸收峰數(shù)目也逐漸增多；張忠剛等[18]研究附加質(zhì)量厚度對其吸聲性能的影響；Zhu等[19]利用穿孔板與彈性薄膜組合成雙自由度的諧振吸聲系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)了此結(jié)構(gòu)會在低頻范圍內(nèi)出現(xiàn)兩個吸收峰，間接擴(kuò)大了低頻聲波的吸收帶寬；Ma等[20]提出在原有薄膜下部增加一個密封空氣層，通過調(diào)節(jié)空氣層厚度，可改變吸收峰頻率特征；劉怡然等[21]將吸聲薄膜聲學(xué)超材料與亥姆霍茲共鳴腔結(jié)合，發(fā)現(xiàn)調(diào)節(jié)薄膜張力與厚度可改變吸收峰值頻率。

現(xiàn)有對于薄膜聲學(xué)超材料的吸聲性能研究，大多通過改變附加質(zhì)量厚度與數(shù)目、調(diào)整附加質(zhì)量布設(shè)位置、構(gòu)建復(fù)合結(jié)構(gòu)等方式，提高其吸聲性能，重點(diǎn)關(guān)注第一吸收峰的頻率特征以及頻帶寬度，鮮有分析材料參數(shù)（泊松比、密度、彈性模量等）與幾何參數(shù)（半圓形半徑、薄膜長度）對其吸聲性能的影響，特別是薄膜的材料與幾何參數(shù)。為此，本文基于彈性波動理論，初步分析吸聲型薄膜超材料低頻吸聲性能的產(chǎn)生機(jī)理；隨后聯(lián)合有限元及邊界元法，建立聲固耦合模型，并通過常規(guī)吸聲系數(shù)實(shí)驗(yàn)對模型進(jìn)行驗(yàn)證，探究吸收峰的出現(xiàn)原因及其幅頻特性；針對材料幾何參數(shù)不同的薄膜聲學(xué)超材料，研究材料幾何參數(shù)對吸收峰幅頻特征的影響，為拓展吸收帶寬、優(yōu)化薄膜聲學(xué)超材料的吸聲性能奠定了基礎(chǔ)，同時(shí)提供了具有規(guī)律性的參考依據(jù)，對噪聲控制的多場景應(yīng)用具有重要的理論指導(dǎo)意義。

1 彈性波動理論

薄膜聲學(xué)超材料是一類由薄膜、附加質(zhì)量和框架構(gòu)成的亞波長結(jié)構(gòu)，按降噪原理，分為吸聲型和隔聲型兩大類，本文主要研究吸聲型薄膜聲學(xué)超材料（后文簡稱“薄膜聲學(xué)超材料”）。類比于彈簧振子，附加質(zhì)量可視為振子小球，薄膜可視為振動彈簧。當(dāng)入射聲波垂直入射時(shí)，考慮薄膜受張力的微變形作用，薄膜的振動微分方程可表示為[22]

式中：T為薄膜張力；ρeq為等效面密度；w(x,y,t)為薄膜表面任一點(diǎn)(x,y)在t時(shí)刻的垂向位移；p0為聲壓幅值。假設(shè)入射波為平面波，則薄膜垂向位移w(x,y,t)可表示為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)：

式中：W(x,y)為薄膜振動的主振型。去掉時(shí)間相關(guān)項(xiàng)，即可得到薄膜結(jié)構(gòu)的振動特征方程：

式中：k為波數(shù)，k=ω/c；ω為平面波角頻率；c為空氣中聲速，c2=T/ρeq。將式(3)按照模態(tài)疊加理論進(jìn)行求解，利用模態(tài)函數(shù)的正交性得：

式中：Mm為薄膜面密度矩陣，Ms為附加質(zhì)量的質(zhì)量矩陣，KT為薄膜張力剛度矩陣。由式(4)可得薄膜聲學(xué)超材料的1階固有頻率：

當(dāng)入射聲波與這一吸聲結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時(shí)，會引起薄膜和附加質(zhì)量劇烈振動，大部分聲能量轉(zhuǎn)化為薄膜的彈性應(yīng)變能，使其具有“吸聲”能力。采用能量法計(jì)算薄膜的總彈性應(yīng)變能U，即[23]：

式中：D為薄膜的抗彎剛度，D=Eh3/12(1-ν2)；h為薄膜的厚度；E為薄膜的彈性模量；ν為泊松比。若薄膜表面某一區(qū)域垂向位移w的1階偏導(dǎo)不連續(xù)，則2階偏導(dǎo)將會發(fā)散?；谑?6)預(yù)測，當(dāng)薄膜聲學(xué)超材料的局域共振狀態(tài)被激發(fā)時(shí)，薄膜與附加質(zhì)量連接區(qū)域的振動速度不連續(xù)，則共振頻率附近狹長區(qū)域薄膜聲學(xué)超材料的總彈性應(yīng)變能顯著增大。根據(jù)能量守恒定律，薄膜系統(tǒng)損耗能量(包含透射能量)可表達(dá)為

式中：E1為薄膜損耗模量，V為薄膜體積。忽略透射能量，吸聲系數(shù)可定義為

式中：P為入射聲波能量密度。由式(8)可知，吸聲系數(shù)與薄膜的總彈性應(yīng)變能呈正相關(guān)，薄膜聲學(xué)超材料的吸聲性能主要來源于薄膜的彈性應(yīng)變。

2 薄膜聲學(xué)超材料仿真計(jì)算

2.1 聲固耦合模型

以Yang 等[24]提出的吸聲型薄膜聲學(xué)超材料為研究對象，其胞元幾何結(jié)構(gòu)如圖1 所示。由外部框架、薄膜和附加質(zhì)量3部分構(gòu)成。其中，薄膜采用聚乙烯材料，四周用鋁合金框架固定，并對其附加2.2×105Pa 的張力；附加質(zhì)量為兩塊對稱放置的半圓形鐵塊（半徑為6 mm、厚度為1 mm），兩鐵塊圓心之間相距15 mm；各部分材料參數(shù)如表1所示。

表1 吸聲型薄膜聲學(xué)超材料部件材料參數(shù)

圖1 吸聲型薄膜聲學(xué)超材料胞元幾何結(jié)構(gòu)

基于上述構(gòu)型及材料參數(shù)，聯(lián)合有限元及邊界元法進(jìn)行仿真，建立薄膜聲學(xué)超材料的聲固耦合模型，如圖2所示。為減少計(jì)算時(shí)間，模型中僅包含薄膜和附加質(zhì)量兩部分，約束薄膜邊界位移用于替代外部框架。

圖2 吸聲型薄膜聲學(xué)超材料仿真模型

薄膜聲學(xué)超材料上下表面設(shè)定兩部分空氣層（設(shè)定聲速為343 m/s）：設(shè)定薄膜上部空氣層為入射聲壓面，并設(shè)置聲壓幅值p0=1.0 Pa，平面波從法向入射至薄膜；薄膜下部空氣層定義為透射聲壓面；上下兩部分空氣層的四周均定義為完全反射表面，用以模擬阻抗管試驗(yàn)。通過仿真分析，分別獲取入射及透射聲壓面的平均聲壓幅值pi和pt，采用式(9)計(jì)算其吸聲系數(shù)

同時(shí)，制作薄膜聲學(xué)超材料的小型試樣，進(jìn)行常規(guī)室內(nèi)阻抗管的吸聲系數(shù)試驗(yàn)，試驗(yàn)裝置示意圖見圖3。圖4 中實(shí)線（紅色）展示了薄膜聲學(xué)超材料吸聲系數(shù)的仿真結(jié)果，并與用虛線（黑色）表示的常規(guī)室內(nèi)阻抗管試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)兩者的峰值頻率特征與幅值特征均基本吻合，誤差主要來源于薄膜張力誤差及附加質(zhì)量厚度誤差。

圖3 吸聲系數(shù)試驗(yàn)裝置示意圖

圖4 吸聲系數(shù)的仿真與試驗(yàn)結(jié)果對比

由圖4 可知，在100 Hz～1 000 Hz 頻段內(nèi)，吸聲系數(shù)仿真結(jié)果中共出現(xiàn)3個吸收峰，頻率依次為202 Hz、378 Hz 和705 Hz，對應(yīng)峰值幅值依次為0.473、0.172和0.342。

2.2 吸聲效果分析

為進(jìn)一步探究吸收峰產(chǎn)生的原因和其幅頻特征，基于彈性波動理論，采用有限元法，求解聲學(xué)超材料結(jié)構(gòu)的前3 階模態(tài)振型，如圖5 所示。觀察可知，薄膜聲學(xué)超材料的1 階振型為附加質(zhì)量沿垂直于薄膜方向振動，帶動附加質(zhì)量之間的薄膜振動；2階振型為薄膜與附加質(zhì)量沿垂直方向的耦合振動，兩者振動方向相反；3 階振型為薄膜沿垂直方向振動，附加質(zhì)量處于平衡位置。

由彈性波動理論可知，薄膜聲學(xué)超材料的吸聲性能來自于薄膜的彈性應(yīng)變能。由圖5可知，1階振型為附加質(zhì)量帶動薄膜振動，2、3階振型中的附加質(zhì)量均抑制薄膜振動，且2 階振型中附加質(zhì)量與薄膜振動方向相反，抑制作用更加強(qiáng)烈。因此，吸聲性能應(yīng)是1 階共振＞3 階共振>2 階共振。這一變化規(guī)律與吸聲系數(shù)的峰值幅值從高到低依次為第一吸收峰、第三吸收峰及第二吸收峰基本吻合。此外，通過對比觀察3階結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率與3個吸收峰頻率發(fā)現(xiàn)，二者吻合度很好，相差不超過1 Hz。因此表明，吸聲系數(shù)曲線中的吸收峰是因超材料結(jié)構(gòu)共振所致。

圖5 吸聲型薄膜超材料前3階模態(tài)特征

計(jì)算薄膜彈性應(yīng)變能并與吸聲系數(shù)做比較，如圖6 所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，薄膜彈性應(yīng)變能及超材料吸聲系數(shù)的頻譜特征基本一致，其頻率誤差不超過5 Hz。此外，兩者峰值的幅值從高到低，均為第一吸收峰、第三吸收峰及第二吸收峰，兩者呈正相關(guān)。

圖6 薄膜彈性應(yīng)變能與吸聲系數(shù)對比

綜上可以表明，薄膜超材料吸聲系數(shù)的吸收峰主要來源于薄膜的彈性振動：在共振條件下，聲能量轉(zhuǎn)化為薄膜的彈性應(yīng)變能；薄膜振動幅度越大，彈性應(yīng)變能量越高，吸聲系數(shù)的吸收峰值越大。

3 材料幾何參數(shù)對吸聲系數(shù)的影響

3.1 計(jì)算工況

為有效改善薄膜超材料吸聲性能，拓展吸收峰帶寬，本文將分別研究材料及幾何參數(shù)對薄膜超材料吸聲性能的影響規(guī)律，初步確定關(guān)鍵影響參數(shù)對各吸聲峰的調(diào)控機(jī)制。

針對材料特征參數(shù)，分別改變薄膜和附加質(zhì)量的制作材料，具體材料屬性如表2 和表3 所示；針對結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)，保持軸對稱的附加質(zhì)量間距不變，沿垂直于附加質(zhì)量對稱軸方向，分別改變薄膜兩側(cè)長度以及附加質(zhì)量的半徑，如圖7和表4所示。以工況1為參考工況，依次改變薄膜材料、附加質(zhì)量材料、薄膜總長度及附加質(zhì)量半徑，采用同樣的邊界條件，計(jì)算共13個工況下薄膜超材料的吸聲系數(shù)曲線。

表2 薄膜的材料參數(shù)（附加質(zhì)量材料：鑄鋼）

表3 附加質(zhì)量的材料屬性（薄膜材料：聚乙烯）

表4 幾何參數(shù)工況

圖7 不同幾何參數(shù)的薄膜超材料單胞結(jié)構(gòu)

3.2 材料參數(shù)對吸聲系數(shù)的影響

為探究材料參數(shù)對薄膜超材料吸聲系數(shù)的影響機(jī)制，首先改變薄膜材料，觀察吸聲型薄膜超材料的吸聲系數(shù)隨薄膜材料的變化規(guī)律，如圖8(a)所示。

可以發(fā)現(xiàn)，第一吸收峰不受薄膜材料的影響，其幅頻特征幾乎無任何變化；第二、三吸收峰逐漸向高頻移動，峰值逐漸降低，薄膜材料依次為PVC、尼龍、聚乙烯及BOPP。比較這4種薄膜材料的特征參數(shù)，如圖8(b)所示，可以看出薄膜材料的密度隨著依次逐漸降低，但材料的泊松比及彈性模量的變化則無顯著的規(guī)律性。隨著薄膜密度減小，薄膜超材料的總質(zhì)量減小，導(dǎo)致以薄膜振動為主的第三吸收峰及以耦合振動為主的第二吸收峰向高頻移動；同時(shí)隨著薄膜密度減小，薄膜的總彈性應(yīng)變能降低，致使第二、三共振峰幅值降低。

圖8 吸聲系數(shù)隨薄膜材料參數(shù)的變化規(guī)律

同樣地，對比觀察薄膜超材料吸聲性能隨附加質(zhì)量材料的變化規(guī)律及附加質(zhì)量材料的特征參數(shù)變化，如圖9所示?？梢园l(fā)現(xiàn)，與上述薄膜材料的影響機(jī)制相似，超材料吸聲系數(shù)隨附加質(zhì)量材料的變化規(guī)律與附加質(zhì)量的密度直接相關(guān)：附加質(zhì)量的密度越小，固有頻率越大，第一、二吸收峰越向高頻移動；同時(shí)，附加質(zhì)量密度越小，對薄膜振動的抑制作用效果降低，使第二吸收峰幅值逐漸增大。第一吸收峰幅值無顯著變化是因?yàn)槲曄禂?shù)與薄膜彈性應(yīng)變能直接相關(guān)，附加質(zhì)量的振動能量對其影響較小；而第三吸收峰的幅頻特征無顯著變化，則是因?yàn)橹饕獏⒄褓|(zhì)量（薄膜）與材料特征參數(shù)的改變對象（附加質(zhì)量）不一致所致。

圖9 吸聲系數(shù)隨附加質(zhì)量材料參數(shù)的變化規(guī)律

綜上可知，無論是改變薄膜材料還是附加質(zhì)量材料，薄膜超材料的吸聲性能均直接與材料密度相關(guān)：材料密度減小會引起整體結(jié)構(gòu)的總質(zhì)量降低，使以材料改變對象振動為主的振型對應(yīng)的共振峰值及以耦合振動為主的振型對應(yīng)共振峰值均向高頻移動；薄膜材料密度減小會引起第二和第三共振吸收峰幅值降低，而附加質(zhì)量材料密度減小會引起第三共振吸收峰幅值升高。

3.3 幾何參數(shù)對吸聲系數(shù)的影響

圖10(a)展示了薄膜聲學(xué)超材料吸聲性能隨薄膜總長度的變化規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，隨著薄膜總長度減小，第二、三吸收峰均向高頻移動，第二吸收峰峰值逐漸降低，第三吸收峰峰值逐漸升高，如圖中黑色箭頭所示。這是因?yàn)楸∧た傞L度越小，相同約束下薄膜的張力越大，固有頻率越高；同時(shí)由于薄膜總長度增加，致使薄膜與附加質(zhì)量的耦合關(guān)系減弱，以兩者耦合振動為主的第二階振型很難被激起，而以附加質(zhì)量間薄膜單獨(dú)振動為主的第三階振型將產(chǎn)生更多的彈性應(yīng)變能，吸聲系數(shù)略微升高。此外，由于改變的是薄膜總長度，對附加質(zhì)量影響較小，故因附加質(zhì)量振動引起的第一吸收峰的幅頻特性變化很小。

隨后改變附加質(zhì)量半徑大小，觀察吸聲系數(shù)隨附加質(zhì)量半徑的變化規(guī)律，如圖10(b)所示。由圖可知，第一、二吸收峰的幅頻特征隨附加質(zhì)量半徑的增加而有顯著變化，而第三吸收峰的幅值和頻率則幾乎無任何變化：第一、二吸收峰均向高頻移動，第一吸收峰幅值升高，而第二吸收峰幅值降低。這一變化規(guī)律也與薄膜受力直接相關(guān)：附加質(zhì)量半徑的增加會導(dǎo)致薄膜張力增大，使超材料結(jié)構(gòu)共振頻率增加；兩者耦合關(guān)系降低，使第一、二吸收峰幅值發(fā)生顯著變化。

圖10 吸聲系數(shù)隨薄膜及附加質(zhì)量幾何參數(shù)的變化規(guī)律

綜上，無論是減小薄膜兩側(cè)長度或是增加附加質(zhì)量半徑，均會引起薄膜張力的增加，使振型以薄膜或附加質(zhì)量振動為主的共振吸收峰及以兩者耦合振動為振型的共振吸收峰向高頻移動；同時(shí)，導(dǎo)致薄膜和附加質(zhì)量之間的耦合關(guān)系減弱，使耦合共振峰的幅值降低，以薄膜或附加質(zhì)量為主的共振吸收峰幅值升高。

4 結(jié)語

(1)薄膜超材料吸聲系數(shù)的吸收峰主要來源于薄膜的彈性振動；在共振條件下，聲能量轉(zhuǎn)化為薄膜的彈性應(yīng)變能；薄膜振動幅度越大，彈性應(yīng)變能量越高，吸聲系數(shù)的吸收峰值越大。

(2)薄膜和附加質(zhì)量的密度改變均會引起薄膜聲學(xué)超材料整體質(zhì)量的變化，導(dǎo)致吸收峰的幅頻特征發(fā)生顯著變化；但兩者材料的泊松比及彈性模量對薄膜聲學(xué)超材料吸聲性能的影響則無明顯的規(guī)律性。

(3)薄膜及附加質(zhì)量的幾何參數(shù)變化均會引起薄膜張力發(fā)生改變，導(dǎo)致吸收峰的幅頻特征發(fā)生顯著變化。因此，可針對目標(biāo)頻譜特性，通過優(yōu)化薄膜及附加質(zhì)量幾何及材料密度參數(shù)，有效改善薄膜聲學(xué)超材料的吸聲性能。