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      一道高考題錯誤解法的反思

      2021-08-19 02:07:22馮世偉
      數(shù)理化解題研究 2021年13期
      關鍵詞:同色異色種顏色

      馮世偉

      (河南省新鄉(xiāng)市第二中學 453000)

      在講排列組合復習課時,學生A拿著資料問我下面的一道題:

      題目某人有4種顏色的燈泡(每種顏色的燈泡足夠多),要在如圖1所示的6個點A,B,C,A1,B1,C1上各裝一個燈泡,要求同一條線段兩端的燈泡不同色,則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有____種(用數(shù)字作答).

      此題是高考理科填空題第16題 (重慶卷),這是一道“染色”問題與立體幾何結合的綜合試題,當時就給學生如下分析:由條件知點A處有4種選擇,點B處有3種選擇,點C處有2種選擇,從而點A1處有3種選擇,點B1處與點A處的燈泡可以同色,也可以異色,故點B1處也有3種選擇,點C1處只有1種選擇,由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(種)方法.看數(shù)據(jù)與答案相符,當時還有點沾沾自喜的“成就感”.在第二天上課時我就將此題在班里講了一下.

      學生B說:“老師,您的解題思路有問題”.

      我當時持有懷疑的心理,為了鼓勵學生B,我還是說:“請你說說錯誤之處”.

      學生B說:“在A,B,C指定了的染色方法后,A1,B1的“任意性”,可導致最終只使用了三種顏色的情況出現(xiàn)”.

      對呀!題目要求每種顏色的燈泡都至少用一個,我向同學們說:我知道,我錯了!究竟錯在何處呢,為什么我的思路所得數(shù)據(jù)又和答案“如此完美的相符”呢?同學們發(fā)現(xiàn)了老師的錯誤,真是激情高漲,為了能盡快地糾正老師的錯誤,當時在班內就熱火朝天地討論開了.

      題意分析這是一道“染色”問題與立體幾何結合的綜合試題,解題時抓住題意,“同一條線段兩端的燈泡不同色”,同時要注意“每種顏色都要使用”的限制.

      錯解由條件知點A處有4種選擇,點B處有3種選擇,點C處有2種選擇,從而點A1有3種選擇,B1處與點A處的燈泡可以同色,也可以異色,故點B1處也有3種選擇,點C1處只有1種選擇,由乘法原理共有4×3×2×3×3=216(種)方法.

      錯解分析錯誤1:在指定了A,B,C的染色方法后,A1,B1的“任意性”可導致最終只使用了三種顏色的情況出現(xiàn).

      錯誤2:染A1固然有3種方法,但只有A1與B同色時,B1才有3種方法,否則就只有2種.

      錯誤3:對于A1,B1的不同染色,C1的染法不總是唯一確定的,如,A1與B1中有一個是第四種顏色,另一個與C同色時,C1有兩種染法(與A或B同色).

      幾處錯誤“交織”在一起,既有“增根”(不是重復,而是不符合題意),又有“丟根”,而且何處“增”多少,何處“丟”多少,已難于用簡短的語言交代清楚.“難能可貴的”是,其得數(shù)與正確答案相同!這正是該錯誤的隱蔽之處.錯解之錯是思路之錯,不可容忍,答案的“一致”僅僅是題設的數(shù)據(jù)造成的巧合,在數(shù)據(jù)改變之后,以這樣的錯誤思路解題勢必鑄成大錯,這也是危害所在,解這類問題,直接“分步”的過程中,不分類討論幾乎是不可能的.

      下面看一道數(shù)學聯(lián)賽題(1995年高中數(shù)學聯(lián)賽)將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩端點異色.如果只有五種顏色可供使用,那么不同的染色方法總數(shù)是多少?

      方法1 以顏色為主分類討論

      方法2以區(qū)域為主分步計數(shù)(可以以相鄰顏色最多的區(qū)域開始)

      第一步先涂A,有5種,第二步再涂D(與A不同色)有4種,第三步涂E(與A,B不同色)有3種,此時只剩2種顏色染B,C,對角點可同色,C,A同色時,B與A(C),E不同色有3種;C,A不同色時,C有2種選擇的顏色,D也有2種選擇的顏色,從而C,D染色有1×3+2×2,由乘法原理共有60×7=420種.

      推廣1 用5種顏色將n棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩端點異色.如果只有五種顏色可供使用,那么不同的染色方法總數(shù)是an=15[3n-1+(-1)n-2];

      推廣2用m(m≥4)種顏色將n(n≥3)棱錐的每個頂點染上一種顏色,并使同一條棱的兩端點異色.如果只有m種顏色可供使用,那么不同的染色方法總數(shù)是an=m(m-2)[(m-2)n-1+(-1)n].

      解題反思錯解給了我們反思的機會,讓我們更加深刻地認識到排列組合的本質內涵,分類計數(shù)原理(加法計數(shù)原理)和分步計數(shù)原理(乘法計數(shù)原理)是解決排列組合問題的最根本的方法.

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