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    一題多解突破一道質(zhì)檢壓軸題

    2021-08-19 08:29:10李昌成車燕昭
    數(shù)理化解題研究 2021年22期
    關(guān)鍵詞:一題本題公式

    李昌成 車燕昭

    (新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002)

    一、題目呈現(xiàn)

    二、總體認(rèn)識(shí)

    本題處于試卷小題壓軸位置,以三角知識(shí)為背景,考查取值范圍.創(chuàng)新之處在于通過(guò)正切一次關(guān)系式,導(dǎo)出正余弦一次商式,它們之間關(guān)系不熟悉.抽樣發(fā)現(xiàn),我的43名參考學(xué)生,僅1人得分,足以可見(jiàn)問(wèn)題的難度(我校一本率為90%左右).因此我把此題當(dāng)做一個(gè)研究素材開展了深入探索.

    三、解法探究

    1.從同角三角函數(shù)基本關(guān)系入手

    對(duì)于(*) 的值域有4種處理方法:

    2.從萬(wàn)能公式入手

    分析已知條件是正切關(guān)系,而萬(wàn)能公式可以將所有三角函數(shù)化歸為正切函數(shù),所以可以通過(guò)升冪、擴(kuò)角、降冪、化切把問(wèn)題突破.

    以下同解法1.

    3.從函數(shù)角度入手

    4.利用構(gòu)造法,從已知入手,構(gòu)造目標(biāo)式

    分析通過(guò)對(duì)已知正切關(guān)系式切化弦,構(gòu)造出目標(biāo)式,再求目標(biāo)式的取值范圍即可.減少題目的神秘感,縮近已知與未知間的距離.

    5.從幾何入手

    分析tanB、tanC可以看作直角三角形的直角邊的比值,借助關(guān)系式tanB=2tanC,把它們構(gòu)造于共一直角邊的兩個(gè)直角三角形中,如圖1.然后再在圖中構(gòu)造sinB、sinC,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于比值的函數(shù)問(wèn)題.

    以下同解法1.

    四、教學(xué)啟示

    1.加強(qiáng)知識(shí)生成教學(xué)

    數(shù)學(xué)概念的建立,結(jié)論、公式、定理的證明,有助于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維.傳統(tǒng)教學(xué)相對(duì)比較注重結(jié)果教學(xué).學(xué)生應(yīng)用知識(shí)時(shí)就顯得比較困難.知識(shí)生成過(guò)程的教授至關(guān)重要,它不僅有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,還能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.數(shù)學(xué)的新教材很注重知識(shí)的引入和生成過(guò)程,這正是為了培養(yǎng)創(chuàng)新人才.因此我們應(yīng)當(dāng)改變那種害怕浪費(fèi)課堂時(shí)間,片面追求提高學(xué)生方法運(yùn)用能力的做法,應(yīng)當(dāng)結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,設(shè)計(jì)出利于學(xué)生參與認(rèn)知的教學(xué)環(huán)節(jié),把概念的形成過(guò)程、方法的探索過(guò)程,結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、公式定理的證明過(guò)程等充分暴露于學(xué)生面前,讓學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程變成自己探索和發(fā)現(xiàn)的過(guò)程,真正成為認(rèn)知的主體,從而提高學(xué)習(xí)能力.在必修4有關(guān)三角函數(shù)的教學(xué)中,因?yàn)檎n時(shí)緊,公式多,很多老師不太重視公式的推導(dǎo),學(xué)生只會(huì)套用公式解一些淺顯易懂的題目,類似于本題這種需要對(duì)信息二次深度加工的題目就望塵莫及.

    2.注重發(fā)散性思維培養(yǎng)

    發(fā)散性思維要求從一個(gè)目標(biāo)或思維起點(diǎn)出發(fā),沿著不同方向,順應(yīng)各個(gè)角度,提出多種設(shè)想,尋求多種解題途徑去分析和解決問(wèn)題.數(shù)學(xué)發(fā)散性思維的培養(yǎng)途徑有:(1)營(yíng)造愉悅的發(fā)散思維情境,大膽開放教學(xué)過(guò)程;(2)加強(qiáng)基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)和基本技能的訓(xùn)練.學(xué)生掌握的知識(shí)、技能不僅必須準(zhǔn)確無(wú)誤和具有良好的鞏固程度,而且要理解知識(shí)間的縱橫聯(lián)系,把握形式與實(shí)際的關(guān)系;(3)要幫助學(xué)生掌握一些解決問(wèn)題的思想方法和數(shù)學(xué)方法.(4)注意從語(yǔ)言上來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維;(5)激勵(lì)學(xué)生“聯(lián)想、猜想”,培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力 ;(6)一題多解培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.教師通過(guò)一題多解的分析訓(xùn)練,讓學(xué)生在普遍性中尋求規(guī)律性,要善于融入數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想于一體,優(yōu)化解題方法,拓寬解題思路的廣度和深度.

    發(fā)散性思維是變通的,在教學(xué)中,對(duì)一些有代表性問(wèn)題的解決,教師要充分利用學(xué)生學(xué)過(guò)的知識(shí)和技能,調(diào)動(dòng)一切解題手段,從各個(gè)側(cè)面論證同一命題的正確性.通過(guò)分析比較,讓學(xué)生知道哪種方法靈活巧妙,具有思維的敏捷性、靈活性;哪種方法呆板冗繁,具有思維的局限性.本題解法中,比較可以發(fā)現(xiàn),解法5(幾何法)最為簡(jiǎn)潔直觀.因?yàn)檫@貌似一個(gè)代數(shù)問(wèn)題,三角問(wèn)題,沒(méi)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練,學(xué)生不會(huì)從幾何角度來(lái)思考,錯(cuò)失良機(jī).

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