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    高中數(shù)學辯證思維賞析

    2021-08-19 08:29:16李莉莉
    數(shù)理化解題研究 2021年22期
    關鍵詞:交點單調(diào)賞析

    李莉莉

    (四川師范大學附屬中學 610066)

    數(shù)學與哲學是兩門獨立的學科,同時又是兩門聯(lián)系緊密的學科.正如數(shù)學家Demollins所指出的那樣:“沒有數(shù)學,我們無法看透哲學的深度;沒有哲學,人們也無法看透數(shù)學的深度;若沒有二者,人們就什么也看不透.”恩格斯也指出:“數(shù)學中的轉(zhuǎn)折點是笛卡兒的變數(shù).有了變數(shù),運動進入了數(shù)學,有了變數(shù),辯證法進入了數(shù)學,……”.在《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》修訂的基本原則中也要求:“堅持正確的政治方向……充分體現(xiàn)馬克思主義的指導地位和基本立場……”.課程標準全書的表述中也滲透了辯證法的很多觀點,本文將結合高中數(shù)學代數(shù)課程教學現(xiàn)狀中的相關教學內(nèi)容,對基于辯證思維的高中數(shù)學題型講解策略展開具體的分析和探究.

    一、辯證思維中對立統(tǒng)一的規(guī)律

    高中代數(shù)中蘊含了豐富的對立統(tǒng)一思想,從不同的角度看問題,有不同的解法,會讓我們對問題的研究更深入.

    例1(2014年全國新課標Ⅱ文科21第Ⅱ問)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(0,2)處的切線與x軸交點的橫坐標為-2.

    (1)求a;(a=1,解略)

    (2)證明:當k<1時,曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個交點.

    賞析一(2) (虛設零點法)原命題等價于函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4與x軸只有一個交點,問題轉(zhuǎn)為研究函數(shù)g(x)的圖像性質(zhì).由g′(x)=3x2-6x+1-k,

    ①當Δ=36-12(1-k)=24+12k≤0,即k≤-2時,g(x)在R上單調(diào)遞增,因為g(-1)=k-1<0,g(0)=4>0,所以存在唯一x0∈(-1,0),使得g(x0)=0,得證.

    ②當Δ>0,即-20,g′(1)=-2-k<0,所以0

    由單調(diào)性,易知g(x)的圖象與x軸只有一個交點,只需要證得g(x2)>0即可.

    所以,當-2

    綜上可知,命題得證.

    此方法從整體出發(fā),直譯條件,思維簡單,在計算中使用了“反代消參”的方法,用零點x2來表示參數(shù)k,降低了計算的難度.

    賞析二(2) (放縮法)從局部入手,考慮到1-k>0,可以采用放縮法去掉參數(shù),變動為靜,簡化問題.

    (1)當x≤0時,g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增,又因為g(-1)=k-1<0,g(0)=4,所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一實根.

    (2)當x>0時,令h(x)=x3-3x2+4,則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x).h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增,所以g(x)>h(x)≥h(2)=0,所以g(x)=0在(0,+∞)沒有實根,問題得證.

    二、辯證思維中否定的否定在解題中的運用

    否定之否定規(guī)律表明事物自身發(fā)展的整個過程是由肯定、否定和否定之否定諸環(huán)節(jié)構成的,揭示了事物發(fā)展的全過程和總趨勢.事物都有肯定方面和否定方面,當肯定方面居于主導地位時,事物保持現(xiàn)有的性質(zhì)、特征和傾向,當事物內(nèi)部的否定方面戰(zhàn)勝肯定方面時,舊事物就需要轉(zhuǎn)化為新事物.高中數(shù)學解題思想方法中的補集思想,反證法就是否定之否定規(guī)律的具體運用.

    三、辯證思維中已知與未知的相互轉(zhuǎn)化在解題中的運用

    我們在高中數(shù)學課堂上解決一類關于函數(shù)、方程、不等式的雙變量(或多變量)的問題時,常常會用到“變更主元”的思想.實時轉(zhuǎn)變觀察和思考問題的角度,合理選擇恰當?shù)摹爸髟眮斫鉀Q問題可能更迅速.

    例3(2006年四川卷文科21題)已知函數(shù)f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f'(x)-ax-5,其中f'(x)是f(x)的導函數(shù).對滿足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,若實數(shù)x的取值范圍是____.

    四、辯證思維中特殊與一般的轉(zhuǎn)化

    特殊與一般的關系反映了客觀世界普遍聯(lián)系的規(guī)律,因此數(shù)學解題中我們要充分利用二者的關系,將一般問題特殊化或者將特殊問題一般化來解決.

    例4 已知(1-x)2(2x+1)5=a0+a1x+…+a7x7,則a0=____,a1+a3+a5+a7=____.

    賞析由x∈R及式子結構特點,對x進行賦值.

    令x=0,得a0=12×15=1.

    五、辯證思維中相等與不等的關系

    常量與變量間的相等與不等關系是最常見的兩種數(shù)量關系,它們在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化,既可以由相等關系得到不等結果,又可以由不等關系得到相等的結果.

    賞析本題如果用純用三角知識求解,過程較繁,認真觀察式子的結構特點,引入柯西不等式,實現(xiàn)了從不等向相等的轉(zhuǎn)化:

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