函數(shù)零點(diǎn)虛設(shè)后的幾種處理策略

魏東升

(江西省瑞金第一中學(xué) 342500)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)主要考查學(xué)生邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的主要載體，其一直是高考考查的重點(diǎn)之一.在處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的壓軸題時(shí)，對(duì)零點(diǎn)的處理往往是一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，有些函數(shù)的零點(diǎn)確實(shí)存在，但無(wú)法精確求解，此謂之“隱零點(diǎn)”；有些導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)雖然可求，但因含參而需要討論.對(duì)于這類問(wèn)題，常見(jiàn)的處理方式主要有虛設(shè)零點(diǎn)和化隱為顯兩大類.

其中虛設(shè)零點(diǎn)是指為了處理函數(shù)的隱零點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)采取假設(shè)函數(shù)零點(diǎn)卻不直接求解，通過(guò)謀求整體的轉(zhuǎn)化,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求的形式進(jìn)行求解的一種處理技巧.本文通過(guò)結(jié)合2019年高考的幾道導(dǎo)數(shù)壓軸題，試圖呈現(xiàn)隱零點(diǎn)問(wèn)題中虛設(shè)零點(diǎn)后的幾種策略，以供大家參考.

例1 (2019年江蘇卷)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).

證法1 (降次留參)因?yàn)閍=0,c=1，所以f(x)=x(x-b)(x-1)=x3-(b+1)x2+bx，

評(píng)析對(duì)于所求問(wèn)題對(duì)應(yīng)的高次函數(shù)含參，且其零點(diǎn)可求但形式繁瑣，以致無(wú)法通過(guò)將該零點(diǎn)正常代入函數(shù)的方式求得最值時(shí)，可考慮對(duì)函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，以便零點(diǎn)可以以整體形式代入，從而達(dá)到降次以消去主元，只留下參數(shù)的方式.

評(píng)析對(duì)于上述這種類型，除了降次留參的策略，還可以考慮通過(guò)參數(shù)的有界性消去參數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造以零點(diǎn)為主元的參函數(shù)，通過(guò)放縮的形式間接達(dá)到要證明的結(jié)論.

例2 (2019年天津卷文)設(shè)函數(shù)f(x)=lnx-a(x-1)ex，其中a∈R.

評(píng)析如果所求問(wèn)題對(duì)應(yīng)的函數(shù)含參，但是參數(shù)可以通過(guò)所建立的方程關(guān)系比較方便地分離出來(lái)，則可考慮將該參數(shù)消去，只留下與所求問(wèn)題有關(guān)的量.

(1)略；

(2)設(shè)x0是f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，證明曲線y=lnx在點(diǎn)A(x0,lnx0)處的切線也是曲線y=ex的切線.

評(píng)析如果所求問(wèn)題對(duì)應(yīng)的函數(shù)是個(gè)超越函數(shù)(和指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等函數(shù)結(jié)合的函數(shù))，在假設(shè)零點(diǎn)后，可以考慮把超越式(如lnx、ex等)分離出來(lái)再代入所求，以達(dá)到將超越函數(shù)轉(zhuǎn)化為普通函數(shù)的目的.

例4 (2019年全國(guó)2卷文)已知函數(shù)f(x)=(x-1)lnx-x-1.證明：

(1)略；

(2)f(x)=0有且僅有兩個(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根互為倒數(shù).

評(píng)析在一類函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷(或根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參、或零點(diǎn)所在區(qū)間判斷)的問(wèn)題中，往往會(huì)碰到判斷導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)對(duì)應(yīng)原函數(shù)值的符號(hào)，而零點(diǎn)本身并不可求，這時(shí)可以考慮利用該零點(diǎn)附近的特殊點(diǎn)的函數(shù)值來(lái)確定符號(hào).

通過(guò)上述幾個(gè)例題我們知道，結(jié)合已知條件和結(jié)論假設(shè)函數(shù)零點(diǎn)卻不直接求解，通過(guò)謀求整體的轉(zhuǎn)化,將函數(shù)轉(zhuǎn)化為易求的形式進(jìn)行求解的一類主要處理策略.在導(dǎo)數(shù)壓軸題的教學(xué)過(guò)程中，像這樣以專題的形式介紹隱零點(diǎn)問(wèn)題的處理策略，盡量一次性徹底地解決與其有關(guān)的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生解題水平的提升、邏輯思維的訓(xùn)練和核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，顯然都是極好的.