反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用舉例

王永瓊

(云南省昆明市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 650051)

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了正比例函數(shù)、一次函數(shù)，以及反比例函數(shù)的概念后，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行簡(jiǎn)單應(yīng)用.如何應(yīng)用圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)生還是存在一定的困難，也易出錯(cuò).下面列舉五個(gè)方面的應(yīng)用，解決學(xué)生學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)后的簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題.

一、根據(jù)反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)，確定k值的取值范圍

分析根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)反比例函數(shù)的系數(shù)大于0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y都隨x的增大而減小，可得k-1>0，從而得k的取值范圍k>1.

點(diǎn)評(píng)本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)：當(dāng)k>0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。划?dāng)k<0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大.熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

二、反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性

圖1

分析根據(jù)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，可知由兩函數(shù)圖象組成的圖形是中心對(duì)稱圖形，所以兩圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

解∵點(diǎn)A與B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(-3，-4).

點(diǎn)評(píng)本題考查了反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱性，利用對(duì)稱性可知，兩圖象的交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，已知一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).

三、反比例函數(shù)值大小的比較

反比例函數(shù)值大小的比較，常用的比較方法有三種：①代入求值比較法；②性質(zhì)法；③圖象法.利用第二種性質(zhì)法比較時(shí)，要注意涉及到的點(diǎn)要在雙曲線同一分支上，才能用增減性比較函數(shù)值大小.

分析本題有三種解決方法.

方法二利用性質(zhì)比較，要注意到點(diǎn)A,B,C不在雙曲線同一分支上，不能直接用性質(zhì)法比較y1,y2,y3的大小,而B(niǎo)(-3，y2)，C(-5，y3)在雙曲線同一分支上，且在第三象限，可用增減性比較大小，當(dāng)k2+1>0時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減少，由-3>-5，即可得到y(tǒng)20，即可得答案y2

方法三圖象法，由k2+1>0，可知雙曲線兩分支分別在第一、三象限，畫(huà)出草圖，再根據(jù)各點(diǎn)的橫坐標(biāo)判斷出點(diǎn)所在雙曲線的大致位置，進(jìn)而通過(guò)圖象知道對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的大小，即可得出結(jié)論y2

點(diǎn)評(píng)這道題考查了反比例函數(shù)值大小的比較，需熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練應(yīng)用三種比較大小的方法.在用性質(zhì)比較法時(shí)，若涉及到的點(diǎn)不在雙曲線同一分支上，直接用性質(zhì)比較，則會(huì)導(dǎo)致解題出錯(cuò)，這也是學(xué)生容易出錯(cuò)的地方.

四、反比例函數(shù)中系數(shù)“k”的幾何意義

過(guò)反比例函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線則①兩條垂線與x軸、y軸圍成的矩形的面積等于|k|；

反之亦成立，常應(yīng)用幾何意義來(lái)確定反比例函數(shù)的解析式或進(jìn)行相應(yīng)面積的計(jì)算和比較.

圖2

點(diǎn)評(píng)這道題考查反比例函數(shù)中系數(shù)“k”的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是本題的解題關(guān)鍵.

五、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系

反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用中，常常涉及到求兩個(gè)函數(shù)的解析式、交點(diǎn)、面積，以及比較兩函數(shù)值大小的問(wèn)題.

(1)求函數(shù)解析式，常用待定系數(shù)法解決.

(2)求函數(shù)圖象的交點(diǎn)，可把兩函數(shù)解析式聯(lián)立在一起得方程組，方程組的解，即為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo). 若一次函數(shù)是特殊的正比例函數(shù)，已知一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用對(duì)稱性可直接得另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

(3)求三角形面積.若三角形有一邊在坐標(biāo)軸上，或平行于坐標(biāo)軸的直線上，則選擇這條邊為底，可直接求面積.否則，利用割補(bǔ)法，過(guò)三角形的一個(gè)頂點(diǎn)作平行(或垂直)于x軸或y軸的直線，把三角形割補(bǔ)成上述情況求解.

(4)比較兩函數(shù)值的大小.利用圖象法解決.先求出兩圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，再過(guò)交點(diǎn)作x軸的垂線(或y軸的平行線)，把整個(gè)圖象分為四個(gè)區(qū)域，在每個(gè)區(qū)域內(nèi)根據(jù)自變量的取值范圍分類(lèi)討論，圖象在上方的函數(shù)值大，下方的函數(shù)值小，從而得出結(jié)論.

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；

(2)求直線AB與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)及△AOB的面積；

(3)觀察圖象，直接寫(xiě)出反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值時(shí)x的取值范圍.

∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-2

(2)∵當(dāng)y=0時(shí)，-x-2=0 ，解得x=-2，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為(-2 ，0)

(3)由圖象得，當(dāng)-42時(shí)，反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值.

點(diǎn)評(píng)本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、求坐標(biāo)系中三角形面積問(wèn)題、兩函數(shù)值大小比較等，注意掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法，方程思想的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合的思想解題是本題的解題關(guān)鍵.

總之，在解決反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，需要我們掌握好反比例函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.以上五個(gè)方面的簡(jiǎn)單應(yīng)用列舉，在反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用中考查到的頻率比較高，注意把握好解決這幾種應(yīng)用問(wèn)題的方法技巧，并靈活的加以應(yīng)用，從而提高自己分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.