超混沌系統(tǒng)的控制研究

周群利

(蕪湖職業(yè)技術(shù)學(xué)院電氣與自動(dòng)化學(xué)院，安徽蕪湖 241006 )

0 引言

混沌運(yùn)動(dòng)是一種廣泛存在于數(shù)學(xué)、物理、生物、化學(xué)、地質(zhì)以及某些技術(shù)性科學(xué)中的動(dòng)力學(xué)行為，它具有對(duì)初始條件極度敏感、遍歷性以及類(lèi)似于隨機(jī)系統(tǒng)的偽隨機(jī)性等性質(zhì).混沌現(xiàn)象由某些確定性的系統(tǒng)產(chǎn)生，并由耗散和非線(xiàn)性?xún)煞N運(yùn)動(dòng)共同作用而形成的結(jié)果.它在耗散型的作用下在宏觀上表現(xiàn)為相體積的收縮和穩(wěn)定的現(xiàn)象，而在非線(xiàn)性運(yùn)動(dòng)的作用下導(dǎo)致了混沌系統(tǒng)軌道的不穩(wěn)定性，從而使得運(yùn)動(dòng)軌道逐漸地局部分離，混沌運(yùn)動(dòng)和混沌現(xiàn)象就是在宏觀的穩(wěn)定與微觀的不穩(wěn)定的共同作用下產(chǎn)生的[1].相比于低維的混沌系統(tǒng)，超混沌系統(tǒng)(維數(shù)大于 3)具有更多正 Lyapunov 指數(shù)，具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為[2]，從而使得超混沌系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性更加復(fù)雜、混沌程度更高.超混沌系統(tǒng)被廣泛用于各個(gè)領(lǐng)域且具有非常廣闊的應(yīng)用前景[3-4].此外，超混沌系統(tǒng)的混沌吸引子也不具有幾何直觀性，所以相比于現(xiàn)有的低維混沌系統(tǒng)形狀同步的研究成果，高維混沌系統(tǒng)控制的研究具有更高的難度[5].在一些實(shí)際應(yīng)用中，混沌系統(tǒng)顯得較為簡(jiǎn)單，已不能滿(mǎn)足人們的需要，因此對(duì)超混沌系統(tǒng)的深入研究對(duì)于理論和實(shí)際運(yùn)用都具有重大意義[6].

混沌控制在工程技術(shù)上有著重大的研究?jī)r(jià)值和廣闊的應(yīng)用前景，引起了國(guó)際上非線(xiàn)性動(dòng)力系統(tǒng)和工程控制專(zhuān)家的極大關(guān)注[7-10].自混沌與超混沌的概念被提出以來(lái)，學(xué)者們一直致力于對(duì)混沌與超混沌系統(tǒng)的研究，并將其應(yīng)用于保密通信、信息安全與工業(yè)等領(lǐng)域[11].

Liu等在2004年提出了一種三維自治混沌系統(tǒng)[12]，文獻(xiàn)[13]在已有的三維Liu 系統(tǒng)基礎(chǔ)上通過(guò)增加一個(gè)新的狀態(tài)變量和微分方程來(lái)構(gòu)造一個(gè)全新的超混沌系統(tǒng).本文對(duì)此超混沌系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)分析，采用自適應(yīng)控制方法通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制，并用Matlab(R2014a)數(shù)值仿真證明該方法的有效性，為這一類(lèi)超混沌系統(tǒng)的控制問(wèn)題提供一種行之有效的控制思路.

1 一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

文獻(xiàn)[13]在Liu系統(tǒng)的模型基礎(chǔ)上，提出了一種新的超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)由十項(xiàng)構(gòu)成，含有四個(gè)非線(xiàn)性項(xiàng)，其形式如下：

(1)

當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)取值為：a=19，b=8，c=42，d=2時(shí)，系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，文獻(xiàn)[13 ]分析計(jì)算了它的混沌特性參數(shù)，在此不再贅述.由Matlab(R2014a)軟件編程計(jì)算結(jié)果可知，系統(tǒng)有3個(gè)平衡點(diǎn)，分別為：Q1(0,0,0,0)，Q2(38.08,8.823,42,185.292)，Q3(-38.08,-8.823,42,-185.292)，利用此軟件可求出系統(tǒng)在這些平衡點(diǎn)處的特征值.經(jīng)Matlab軟件編程求解發(fā)現(xiàn)：每個(gè)平衡點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的特征值均存在正實(shí)部的特征根，所以系統(tǒng)的3個(gè)平衡點(diǎn)均不是穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，屬于不穩(wěn)定的鞍點(diǎn).

當(dāng)在該組參數(shù)下系統(tǒng)初值取[x,y,z,w]T=[0.01,0.01,0.01,0.01]T時(shí)，系統(tǒng)的混沌吸引子如圖1所示，從圖1可以看出，該超混沌系統(tǒng)蘊(yùn)含著非常豐富的動(dòng)力學(xué)特性，系統(tǒng)狀態(tài)變量變化毫無(wú)規(guī)律可循，其相軌跡在混沌吸引子內(nèi)盤(pán)繞折疊，呈現(xiàn)出總體吸引，但局部排斥且有界的精細(xì)的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)是典型的混沌系統(tǒng)所具有的，在初始參數(shù)取值下，系統(tǒng)最終進(jìn)入非周期的混沌運(yùn)動(dòng).

圖1 一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractor of a new hyperchaotic system

2 一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)控制

控制系統(tǒng)最重要的特性是它的穩(wěn)定性，一個(gè)不穩(wěn)定的控制系統(tǒng)不但無(wú)法完成預(yù)期的控制任務(wù)，而且還存在一定的潛在危險(xiǎn)性.穩(wěn)定性指的是，如果一個(gè)系統(tǒng)在靠近其期望工作點(diǎn)的某處開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，且總是能保持在期望工作點(diǎn)附近運(yùn)動(dòng)，那么就稱(chēng)該系統(tǒng)是穩(wěn)定的.在許多工程應(yīng)用中，僅有李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定是不夠的.一些工程要求由漸近穩(wěn)定性概念來(lái)表達(dá).對(duì)于一個(gè)自治系統(tǒng)，如果平衡點(diǎn)xe=0是穩(wěn)定的，而且存在δ>0，使得當(dāng)

受控的新的自治超混沌系統(tǒng)為：

(2)

其中U=[u1,u2,u3,u4]T為要設(shè)計(jì)的控制器，在系統(tǒng)參數(shù)未知的情況下，采用自適應(yīng)控制方法，對(duì)系統(tǒng)(1)式設(shè)計(jì)控制律和參數(shù)自適應(yīng)律，使新的超混沌系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定到系統(tǒng)的任意一個(gè)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)Q(x0,y0,z0,w0).在系統(tǒng)的任意一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)Q(x0,y0,z0,w0)處，對(duì)新的超混沌系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型(1)式進(jìn)行坐標(biāo)變換，狀態(tài)變量設(shè)為

(3)

將(3)式代入受控的新的超混沌系統(tǒng)(2)式得：

(4)

從而將超混沌系統(tǒng)(1)式控制到任意一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)Q(x0,y0,z0,w0)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為變換后的系統(tǒng)(4)式在坐標(biāo)原點(diǎn)的鎮(zhèn)定問(wèn)題.

定理對(duì)于變換后的系統(tǒng)(4)式設(shè)計(jì)如下的控制器：

(5)

以及參數(shù)自適應(yīng)律

(6)

時(shí)，變換后的受控系統(tǒng)(4)式在原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的.即受控的新的超混沌系統(tǒng)(2)式被控制到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)Q(x0,y0,z0,w0).(5)、(6)兩式中a1,b1,c1,d1分別為對(duì)未知參數(shù)a,b,c,d的估計(jì)值，控制增益k1,k2,k3,k4均大于零.

證明：(5)、(6)兩式代入(4)式得：

(7)

對(duì)V求導(dǎo)并化簡(jiǎn)可得：

3 系統(tǒng)仿真結(jié)果

采用自適應(yīng)控制方法對(duì)一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)進(jìn)行控制，使其鎮(zhèn)定到系統(tǒng)的任意一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，假定這個(gè)平衡點(diǎn)取為Q2(38.08,8.823,42,185.292)，假設(shè)“已知”系統(tǒng)參數(shù)為(a,b,c,d)=(5,5,4,8)，系統(tǒng)初始狀態(tài)取值((x(0)，y(0)，z(0),w(0))=(0.01,0.01,0.01,0.01)，系統(tǒng)參數(shù)估計(jì)值初始值取為((a1(0)，b1(0)，c1(0),d1(0))=(7,4,-5,-2)，系統(tǒng)控制增益取值為(k1,k2,k3,k4)=(6,8,7,10).

下面利用Matlab軟件進(jìn)行系統(tǒng)仿真.從圖2可以看出超混沌系統(tǒng)(1)式在所設(shè)計(jì)的控制器及自適應(yīng)律作用下四個(gè)狀態(tài)變量在1.5s左右穩(wěn)定控制在系統(tǒng)的其中一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)Q2(38.08,8.823,42,185.292)，圖3為參數(shù)a1,b1,c1,d1對(duì)未知參數(shù)a,b,c,d的估計(jì)收斂曲線(xiàn)，在2s左右的時(shí)間里參數(shù)a1,b1,c1,d1即可穩(wěn)定收斂于其相應(yīng)的估計(jì)值.當(dāng)適當(dāng)增加系統(tǒng)控制增益時(shí)，超混沌系統(tǒng)(1)式四個(gè)狀態(tài)變量被穩(wěn)定控制在其中一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)Q2(38.08,8.823,42,185.292)的速度加快，同時(shí)系統(tǒng)參數(shù)a1,b1,c1,d1穩(wěn)定收斂于其相應(yīng)的估計(jì)值的速度也加快了，從而提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，滿(mǎn)足了控制要求.當(dāng)取系統(tǒng)控制增益(k1,k2,k3,k4)=(20,13,12,15)時(shí)仿真結(jié)果如圖4、圖5所示，從仿真結(jié)果可以看出四個(gè)狀態(tài)變量在1s內(nèi)即可穩(wěn)定收斂于不穩(wěn)定平衡點(diǎn)Q2(38.08,8.823,42,185.292)，系統(tǒng)參數(shù)a1,b1,c1,d1穩(wěn)定收斂于其相應(yīng)的估計(jì)值大約只需要1s左右.

圖2 超混沌系統(tǒng)(1)式的狀態(tài)被控制到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)Q2Fig.2 The state of hyperchaotic system (1) is controlled to the unstable equilibrium point Q2

圖3 a1,b1,c1,d1對(duì)系統(tǒng)未知參數(shù)a,b,c,d的估計(jì)收斂曲線(xiàn)Fig.3 Convergence curve of estimation a1,b1,c1,d1 for unknown parameters a,b,c,d of system

圖4 超混沌系統(tǒng)(1)式的狀態(tài)被控制到不穩(wěn)定平衡點(diǎn) Q2(仿真)Fig.4 The state of hyperchaotic system (1) is controlled to the unstable equilibrium point Q2(Simulation)

圖5 a1,b1,c1,d1對(duì)系統(tǒng)未知參數(shù)a,b,c,d的估計(jì)收斂曲線(xiàn)(仿真)Fig.5 Convergence curve of estimation a1,b1,c1,d1 for unknown parameters a,b,c,d of system(Simulation)

以上仿真結(jié)果表明自適應(yīng)控制方法對(duì)超混沌系統(tǒng)(1)式的控制是完全有效的.也可以設(shè)計(jì)合適的控制器和參數(shù)自適應(yīng)律，將超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)控制到其他的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，在此不再贅述.

4 結(jié)論

對(duì)一個(gè)新的超混沌系統(tǒng)采用自適應(yīng)方法進(jìn)行控制，設(shè)計(jì)了合適的控制器以及參數(shù)自適應(yīng)律，在其作用下可將超混沌系統(tǒng)的狀態(tài)快速地控制到系統(tǒng)的任意一個(gè)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，同時(shí)還可對(duì)超混沌系統(tǒng)的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，在極短時(shí)間內(nèi)可使未知參數(shù)的估計(jì)值收斂于一個(gè)恒定值.仿真結(jié)果表明自適應(yīng)控制方法是處理參數(shù)不確定混沌系統(tǒng)的有效方法，為其它非線(xiàn)性不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制提供了一種行之有效的解決思路.