基于撓曲電效應(yīng)的懸臂梁式微俘能器動態(tài)響應(yīng)特性研究

于健業(yè),李安慶

齊魯工業(yè)大學(xué)(山東省科學(xué)院) 機械與汽車工程學(xué)院,濟南 250353

隨著便攜式電子設(shè)備和無線傳感器的快速發(fā)展,如何為這些低能耗的微電子器件供電成為當(dāng)前人們關(guān)注的熱點。微俘能器能直接俘獲環(huán)境能量轉(zhuǎn)換為電能,實現(xiàn)微電子器件的自供電,從而引起了人們廣泛興趣[1-2]。目前,人們基于壓電效應(yīng)開展了大量的俘能器研究工作,實現(xiàn)了以振動為基礎(chǔ)的機械能到電能的轉(zhuǎn)換[3-4]。然而,壓電效應(yīng)僅存在于非中心對稱介電材料。同時,具有大壓電系數(shù)的材料通常是鐵電體,使得壓電裝置表現(xiàn)出遲滯和非線性行為,并且只能工作于居里溫度以下[5]。這限制了壓電俘能器的應(yīng)用。

本文綜合考慮尺寸效應(yīng)、阻尼和質(zhì)量塊等因素的影響,建立撓曲電懸臂梁的動力學(xué)理論模型,對撓曲電懸臂梁的動態(tài)響應(yīng)特性進行理論研究,分析材料特性、特征尺寸和質(zhì)量塊等因素對俘能器輸出功率和能量轉(zhuǎn)換效率的影響規(guī)律,為撓曲電俘能器的設(shè)計、優(yōu)化和應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 撓曲電理論

1.1 各向同性撓曲電理論

微尺度下,應(yīng)變梯度的影響趨于明顯。不僅能夠解釋微構(gòu)件力學(xué)性能的尺寸效應(yīng),而且在介電體中能夠誘導(dǎo)明顯極化,表現(xiàn)出撓曲電效應(yīng)。撓曲電理論能夠描述介電體具有尺寸依賴性的力電耦合現(xiàn)象,其內(nèi)能密度函數(shù)表達為

(1)

(2)

應(yīng)變張量和應(yīng)變梯度張量分別定義為

(3)

其中,ui為位移矢量。應(yīng)變梯度張量ηijk的3個分量分別定義為

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

與應(yīng)變梯度張量ηijk功共軛的高階應(yīng)力張量τijk是3個高階應(yīng)力分量的和,表達為

(11)

1.2 撓曲電梁理論

根據(jù)伯努利-歐拉梁假設(shè),以梁中性面為x-y坐標(biāo)平面建立笛卡爾直角坐標(biāo)系,且x軸沿著梁長度方向,其位移場可表示為

(12)

其中,u、v、w分別是位移矢量在x-、y-、z-方向的分量。假設(shè)梁沿著厚度方向發(fā)生極化,其它兩個方向的極化可以忽略,則其極化場可表示為

P1=P2=0P3=P3(z),

(13)

相應(yīng)的電位移矢量Di的非零分量為

(14)

式中,ε0為真空中的介電常數(shù),φ為麥克斯韋自電場的勢。

把伯努利-歐拉梁的位移方程(12)代入應(yīng)變、應(yīng)變梯度的定義式(3),則非零的應(yīng)變分量和應(yīng)變梯度分量為

(15)

這里需要注意:對于伯努利-歐拉梁h

(16)

把非零的應(yīng)變、應(yīng)變梯度和極化量代入本構(gòu)方程式(7)-(10),則功共軛的非零應(yīng)力、高階應(yīng)力和電場量為

(17)

式中,E記作楊氏模量。

撓曲電理論中,由于考慮了高階應(yīng)力項,故伯努利-歐拉梁彎曲的應(yīng)力合力重新定義為

(18)

把非零的應(yīng)力和高階應(yīng)力量式(17)代入式(18),同時考慮式(11),則重新定義的高階彎矩為零,而彎矩表達為

(19)

極化為

(20)

把(20)代入式(19),同時考慮E3=-V(t)/h(V(t)為梁上下表面的電勢差),整理可得

(21)

其中,等效長度尺度參數(shù)為

(22)

用應(yīng)力合力表達的梁彎曲平衡方程

(23)

2 懸臂梁式撓曲電俘能器理論建模

考慮一懸臂梁式撓曲電俘能器如圖1所示,梁寬b,高h,長L,在自由端附加質(zhì)量塊Mt。該撓曲電懸臂梁固定在具有橫向振動g(t)的基礎(chǔ)上。在基礎(chǔ)激勵下,撓曲電懸臂梁發(fā)生彎曲振動,產(chǎn)生動態(tài)應(yīng)變梯度,從而由撓曲電效應(yīng)誘導(dǎo)極化,在梁上下表面間產(chǎn)生電勢差。懸臂梁的上下表面覆蓋電極,連接一個電負載R量化電壓輸出V(t)。

圖1 懸臂梁式撓曲電俘能器簡圖

2.1 力學(xué)方程

在自由端附加質(zhì)量塊Mt的伯努利-歐拉梁,其偏微分控制方程為[6]

(24)

其中,wrel(x,t)是撓曲電懸臂梁相對于基礎(chǔ)的橫向位移；ξs和ξa分別是應(yīng)變率和空氣阻尼系數(shù)；I是慣性矩；ρL是撓曲電懸臂梁單位長度質(zhì)量；wb是位移形式的基礎(chǔ)激勵[7],

wb(x,t)=g(t),

(25)

對于伯努利-歐拉梁,高階彎矩為零,彎矩如式(21)所示。顯然式(21)中的最后一項與x坐標(biāo)無關(guān),當(dāng)把式(21)代入到式(24)時,最后一項對x的導(dǎo)數(shù)為零。為了保證這一項的存在,本文引入了亥維賽函數(shù)H(x),彎矩重新表達為

(26)

把式(26)代入到式(24)中,控制方程變?yōu)?/p>

(27)

其中,δ(x)為狄拉克函數(shù)。懸臂梁式撓曲電俘能器的振動響應(yīng)表達為

(28)

式中,φr(x)是質(zhì)量歸一化本征函數(shù),ηr(t)是第r階振動模態(tài)的模態(tài)系數(shù)

(29)

其中,

(30)

且特征值(λr>0,r=1,2,…)滿足方程

(31)

式中,It記作質(zhì)量塊的轉(zhuǎn)動慣量,模態(tài)幅值Cr可通過正交條件獲得。短路條件下,r階振動模態(tài)的無阻尼固有頻率ωr可寫為

(32)

把式(28)代入控制方程式(27),同時考慮模態(tài)正交條件,力學(xué)方程表達為

(33)

其中,模態(tài)撓曲電耦合項為

(34)

模態(tài)力函數(shù)為

(35)

2.2 電學(xué)方程

俘能器的電路方程為

(36)

(37)

把式(37)代入式(36)中,電路方程進一步寫為

(38)

其中,電容C為

(39)

2.3 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

對于懸臂梁式撓曲電俘能器,由式(33)和(38)可得其力學(xué)方程和電學(xué)方程最終為

(40)

(41)

其中,ξ是模態(tài)機械阻尼比,滿足

(42)

對于簡諧基礎(chǔ)激勵,基礎(chǔ)位移的移動分量表達為

g(t)=W0ejωt,

(43)

其中,W0是移動位移的振幅；j是單位虛數(shù)；ω是頻率。把式(43)代入式(35)中,則模態(tài)力函數(shù)為fr(t)=Frejωt,振幅Fr為

(44)

相應(yīng)地,假設(shè)力學(xué)和電學(xué)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是相同頻率ω下的簡諧形式

ηr(t)=Hrejωt,V(t)=V0ejωt,

(45)

其中,振幅Hr和V0是復(fù)數(shù)值。力學(xué)和電學(xué)方程重新表達為

(46)

(47)

聯(lián)立方程(46)和(47),可求解振幅Hr和V0。最終,穩(wěn)態(tài)電壓響應(yīng)表達為

(48)

穩(wěn)態(tài)模態(tài)力響應(yīng)為

(49)

相對于基礎(chǔ)的橫向位移響應(yīng)為

(50)

3 俘能特性研究

懸臂梁式撓曲電俘能器在基礎(chǔ)移動激勵下,輸出振動和電壓響應(yīng)。由于g(t)=W0ejωt,相應(yīng)的基礎(chǔ)移動加速度是d2g(t)/dt2=-ω2W0ejωt。根據(jù)式(44),模態(tài)力振幅重寫為

Fr=-αrω2W0,

(51)

其中,

(52)

根據(jù)基礎(chǔ)的移動加速度,同時考慮式(51),穩(wěn)態(tài)電壓響應(yīng)式(48)表達為

V(t)=κ(ω)(-ω2W0ejωt),

(53)

其中,電壓輸出頻響函數(shù)為

(54)

同理,穩(wěn)態(tài)振動響應(yīng)式(50)表達為

wrel=χ(ω,x)(-ω2W0ejωt)+m(ω,x)(-ω2θ0ejωt)，

(55)

其中,橫向位移輸出頻響函數(shù)為

(56)

懸臂梁式撓曲電俘能器工作在共振頻率ω?ωr時將獲得最大的輸出響應(yīng)。在該條件下,僅考慮r階振動模態(tài)即可。因此,根據(jù)式(48)和(50),穩(wěn)態(tài)的電壓和橫向位移響應(yīng)可簡化為

(57)

(58)

同時,在式(53)至(56)的頻響函數(shù)中僅保留r階模態(tài)的貢獻。則穩(wěn)態(tài)的單模態(tài)電壓響應(yīng)為

(59)

其中,

(60)

穩(wěn)態(tài)的單模態(tài)位移響應(yīng)為

(61)

其中,

(62)

4 俘能器動態(tài)響應(yīng)特性

本節(jié)仿真研究懸臂梁式撓曲電俘能器在基礎(chǔ)簡諧式移動激勵下的動態(tài)響應(yīng)。梁材料為聚偏二氟乙烯。材料特性為E=3.7 Gpa;ρ=1.78×103kg/m3;ε0=8.854×10-12C2/(N·m2);a=1.38×1010N·m2/C2;l=1 μm；f=-179 N·m/C 。

梁的幾何參數(shù)為h=0.3 μm;b=3 μm;L=30 μm。質(zhì)量塊質(zhì)量為Mt=1.5ρbhL。

懸臂梁式撓曲電俘能器的電壓輸出頻響函數(shù)如圖2所示。從圖2可以看出,不同振源頻率下,撓曲電俘能器的輸出電壓不同。當(dāng)振源頻率等于俘能器的自振頻率時,俘能器輸出最大的電壓響應(yīng)。此外,隨著尖端質(zhì)量的增大,俘能器共振頻率減小,相應(yīng)的電壓輸出單調(diào)增大。尖端質(zhì)量能夠調(diào)整懸臂梁的固有頻率,使之適應(yīng)環(huán)境振源頻率。

圖2 不同尖端質(zhì)量下電壓頻響函數(shù)隨頻率的變化

懸臂梁式撓曲電俘能器的橫向位移頻響函數(shù)如圖3所示。負載電阻對俘能器的變形撓度也有較大影響。隨著電路從短路到開路(電阻從零增大到無窮大),懸臂梁式撓曲電俘能器的固有頻率從34 701 Hz偏移到35 411 Hz。在某些電阻下,由于電阻的并聯(lián)阻尼,尖端撓度減弱。該現(xiàn)象與壓電俘能器相類似。

圖3 不同負載下尖端撓度頻響函數(shù)隨頻率的變化

此外,可以通過|V(t)|2/R計算撓曲電俘能器的電功率,且功率密度頻響函數(shù)如圖4所示。從圖中可以看出隨著電阻的增大,功率密度先增大后減小,表現(xiàn)出相反的趨勢。這說明一定存在一個電阻值使得功率密度達到最大值。對于當(dāng)前情況,當(dāng)電阻在100 MΩ左右時,功率密度達到最大值,此時相應(yīng)的共振頻率為34 830 Hz。

圖4 不同電負載下電壓頻響函數(shù)隨頻率的變化規(guī)律

5 結(jié) 論

本文基于撓曲電理論,研究了自由端附加質(zhì)量塊的撓曲電懸臂梁在基礎(chǔ)激勵下的力電耦合特性。首先,建立了懸臂梁式撓曲電俘能器的理論模型。然后,解析了俘能器在簡諧激勵下的穩(wěn)態(tài)力電耦合響應(yīng)。最后,仿真了基礎(chǔ)移動激勵下懸臂梁式撓曲電俘能器的俘能特性。研究發(fā)現(xiàn),隨著電負載增大,電壓輸出增大,電流輸出減小,而電功率先增大后減小。當(dāng)電阻在100 MΩ左右時,電功率輸出達到最大值。隨著電負載從零到無窮大(從短路過渡到開路),共振頻率從34 701 Hz偏移到35 411 Hz,尖端質(zhì)量能夠調(diào)整懸臂梁固有頻率,使之與振源頻率相一致。從而使俘能器工作在共振頻率下,顯著提高能量俘獲效率。